Question

En una habitación, $2/5$ de las personas usan guantes, y $3/4$ de las personas usan sombrero. ¿Cuál es el número mínimo de personas en la habitación que usan tanto sombrero como guantes?

In a room, $2/5$ of the people are wearing gloves, and $3/4$ of the people are wearing hats. What is the minimum number of people in the room wearing both a hat and gloves?

$\ 3$

$\ 5$

$\ 8$

$\ 15$

$\ 20$

Solución:

Como en nuestra habitación $\dfrac 25$ de las personas usan guantes, el número de personas debe ser múltiplo de $5.$ Como $\dfrac 34$ de las personas usan sombrero, el número de personas debe ser múltiplo de $4.$ Por lo tanto, las personas en la habitación deben ser un múltiplo de $20.$

Ahora, también podemos usar la siguiente fórmula por el principio de inclusión-exclusión: Fracción de personas que usan ambos = Fracción de personas que usan guantes + Fracción de personas que usan sombrero - Fracción de personas que usan alguno de los dos.

Esto hace que nuestra fracción buscada sea igual a $\dfrac{2}{5} + \dfrac 34 -$ la fracción de personas que usan alguno de los dos. Si queremos minimizar el número que usa ambos, maximizamos la fracción de personas que usan alguno, hasta $1.$ Por lo tanto, la fracción de personas que usan ambos es $\dfrac{2}{5} + \dfrac 34- 1 = \dfrac 3{20}.$

Como nuestro número es un múltiplo (positivo) de $20,$ tenemos que el número de personas que usan ambos es $3$ si elegimos tener solo $20$ personas.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since our room has $\dfrac 25$ of the people wearing gloves, the number of people must be a multiple of $5.$ Since our room has $\dfrac 34$ of the people wearing hats, the number of people must be a multiple of $4.$ Therefore, the people in the room must be a multiple of $20.$

Now, we can also use the following formula by the principle of inclusion exclusion: Fraction of people wearing both = Fraction of people wearing gloves + Fraction of people wearing hats - Fraction of people wearing either.

This makes our desired fraction equal to $\dfrac{2}{5} + \dfrac 34 -$ Fraction of people who wear either. If we wish to minimize the number who wear both, we maximize the fraction of people who wear either, up to $1.$ Therefore, the fraction of people that wear both is $\dfrac{2}{5} + \dfrac 34- 1 = \dfrac 3{20}.$

Since our number is a (positive) multiple of $20,$ we have the number of people wearing both as $3$ if we choose to have just $20$ people.

Therefore, A is the correct answer.

2010 AMC 8 Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años