Question

Tienes nueve monedas: una colección de peniques, monedas de cinco centavos, monedas de diez centavos y monedas de veinticinco centavos con un valor total de $\$1.02,$ con al menos una moneda de cada tipo. ¿Cuántas monedas de diez centavos debes tener?

You have nine coins: a collection of pennies, nickels, dimes, and quarters having a total value of $\$1.02,$ with at least one coin of each type. How many dimes must you have?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

El número de peniques debe tener el mismo residuo que $102$ módulo $5$ , así que hay $2$ o $7$ peniques. Siete peniques dejarían solo dos monedas para las de cinco, diez y veinticinco centavos, lo cual es imposible porque se necesita al menos una de cada tipo.

Entonces hay $2$ peniques. Las $7$ monedas restantes valen $100$ centavos. Si $n,d,q$ son los números de monedas de cinco, diez y veinticinco centavos, entonces $n+d+q=7$ y $5n+10d+25q=100$ .

Dividiendo la ecuación del valor entre $5$ y restando la ecuación del número de monedas se obtiene $d+4q=13$ . La única solución positiva es $q=3$ , $d=1$ y $n=3$ .

Por lo tanto, debe haber $1$ moneda de diez centavos.

Así, A es la respuesta correcta.

The number of pennies must have the same remainder as $102$ modulo $5$ , so there are either $2$ or $7$ pennies. Seven pennies would leave only two coins for nickels, dimes, and quarters, impossible because at least one of each type is needed.

So there are $2$ pennies. The remaining $7$ coins are worth $100$ cents. If $n,d,q$ are the numbers of nickels, dimes, and quarters, then $n+d+q=7$ and $5n+10d+25q=100$ .

Dividing the value equation by $5$ and subtracting the coin-count equation gives $d+4q=13$ . The only positive solution is $q=3$ , $d=1$ , and $n=3$ .

Thus there must be $1$ dime.

Thus, A is the correct answer.

2000 AMC 8 Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años