Question

Tres arcos circulares de radio $5$ unidades delimitan la región mostrada. Los arcos $AB$ y $AD$ son cuartos de círculo, y el arco $BCD$ es un semicírculo. ¿Cuál es el área, en unidades cuadradas, de la región?

Three circular arcs of radius $5$ units bound the region shown. Arcs $AB$ and $AD$ are quarter-circles, and arc $BCD$ is a semicircle. What is the area, in square units, of the region?

$25$

$10+5\pi$

$50$

$50+5\pi$

$25\pi$

Solución:

Crea un rectángulo que cubra la mitad inferior de la figura, como se muestra a continuación.

Entonces, obtenemos $[ABCD] = [ABD] + [BCD].$

También sabemos que $[ABD] = [BDEF] - [ABE]$ $- [ADF].$

$ABE$ y $ADF$ son ambos cuartos de círculo que forman un semicírculo con la misma área que $BCD.$

Esto significa que $[ABD] = [BDEF] - [BCD]$ y $[ABCD] = [BCD] + [BDEF]$ $- [BCD]$ $= [BDEF] = 10 \cdot 5 = 50.$

Así, C es la respuesta correcta.

Create a rectangle that covers the bottom half of the figure as shown below.

Then, we get that $[ABCD] = [ABD] + [BCD].$

We also know that $[ABD] = [BDEF] - [ABE]$ $- [ADF].$

$ABE$ and $ADF$ are both quarter-circles that form a semicircle with the same area as $BCD.$

This means that $[ABD] = [BDEF] - [BCD]$ and $[ABCD] = [BCD] + [BDEF]$ $- [BCD]$ $= [BDEF] = 10 \cdot 5 = 50.$

Thus, C is the correct answer.

2000 AMC 8 Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años