Question

Un número se llama flippy si sus dígitos se alternan entre dos dígitos distintos. Por ejemplo, $2020$ y $37373$ son flippy, pero $3883$ y $123123$ no lo son. ¿Cuántos números flippy de cinco dígitos son divisibles entre $15$ ?

A number is called flippy if its digits alternate between two distinct digits. For example, $2020$ and $37373$ are flippy, but $3883$ and $123123$ are not. How many five-digit flippy numbers are divisible by $15?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$8$

Solución en video:

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Solución escrita:

Para que un número sea divisible entre $15$ el número debe ser divisible entre $3$ y entre $5.$

Primero, para asegurar que el número sea divisible entre $5$ debe terminar en $0$ o en $5.$

Como los dígitos se alternan entre dos dígitos distintos, llamamos al otro dígito $d.$

Esto haría que nuestro número fuera $d0d0d$ o $5d5d5.$ Como el último dígito debe ser $0$ o $5$ y el primer dígito no puede ser $0,$ el número debe tener la forma $5d5d5.$

Así, sabemos que nuestro número es $5d5d5$ para algún dígito $d.$

Para asegurar que nuestro número también sea múltiplo de $3$ la suma de los dígitos debe ser múltiplo de $3.$

La suma de nuestros dígitos es $5+d+5+d+5 = 15+2d.$ Como $15$ es múltiplo de $3,$ todo lo que se requiere es que $2d$ sea múltiplo de $3,$ así que $d$ es múltiplo de $3.$

Esto significa que $d$ puede ser $0,3,6$ o $9.$

Por lo tanto, tenemos $4$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For a number to be divisible by $15$ the number must be divisible by $3$ and by $5.$

First, to ensure the number is divisible by $5$ it must end in $0$ or in $5.$

Since the digits alternate between two distinct digits, we call the other digit $d.$

This would make our number either $d0d0d$ or $5d5d5.$ Since the last digit must be $0$ or $5$ and the first digit cannot be $0,$ the number must have the form $5d5d5.$

Thus, we know our number is $5d5d5$ for some digit $d.$

To ensure our number is also a multiple of $3$ the sum of the digits must be a multiple of $3.$

The sum of our digits is $5+d+5+d+5 = 15+2d.$ Since $15$ is a multiple of $3,$ all that is required is that $2d$ is a multiple of $3,$ so $d$ is a multiple of $3.$

This means $d$ can be $0,3,6$ or $9.$

Therefore, we have $4$ solutions.

Thus, the correct answer is B.

2020 AMC 8 Problema 19

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 19 en otros años