Question

Para cualquier entero positivo $M,$ la notación $M!$ denota el producto de los enteros de $1$ a $M.$ ¿Cuál es el mayor entero $n$ para el cual $5^n$ es un factor de la suma $98!+99!+100!$ ?

For any positive integer $M,$ the notation $M!$ denotes the product of the integers $1$ through $M.$ What is the largest integer $n$ for which $5^n$ is a factor of the sum: $98!+99!+100!$

$23$

$24$

$25$

$26$

$27$

Solución en video:

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Solución escrita:

La expresión se puede factorizar de la siguiente manera:

$\begin{align*} &98! + 99! + 100! \\ &= 98! + 99 \cdot 98! + 100 \cdot 99 \cdot 98! \\ &= 98!(1 + 99 + 100 \cdot 99) \\ &= 98!(100 + 100 \cdot 99) \\ &= 98! \cdot 100 \cdot (1 + 99) \\ &= 98! \cdot 100^2 \end{align*}$

Cada $100$ posee dos factores de $5.$ El número de factores de $5$ en $98!$ es $\lfloor 98 / 5 \rfloor$ $+ \lfloor 98 / 25 \rfloor$ $= 19 + 3 = 22.$ Esto cuenta la cantidad de números divisibles por $5$ y la cantidad de números divisibles por $25$ para obtener ambos factores de $5.$ El número total de factores de $5$ es $2 + 2 + 22 = 26.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The expression can be factored as follows:

$\begin{align*} &98! + 99! + 100! \\ &= 98! + 99 \cdot 98! + 100 \cdot 99 \cdot 98! \\ &= 98!(1 + 99 + 100 \cdot 99) \\ &= 98!(100 + 100 \cdot 99) \\ &= 98! \cdot 100 \cdot (1 + 99) \\ &= 98! \cdot 100^2 \end{align*}$

Each $100$ possesses two factors of $5.$ The number of factors of $5$ in $98!$ is $\lfloor 98 / 5 \rfloor$ $+ \lfloor 98 / 25 \rfloor$ $= 19 + 3 = 22.$ This counts the number of numbers divisible by $5$ and the number of numbers divisible by $25$ to get both factors of $5.$ The total number of factors of $5$ is $2 + 2 + 22 = 26.$

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 8 Problema 19

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 19 en otros años