Question

En un torneo hay seis equipos que se enfrentan entre sí dos veces. Un equipo gana $3$ puntos por una victoria, $1$ punto por un empate y $0$ puntos por una derrota. Después de haberse jugado todos los partidos, resulta que los tres mejores equipos obtuvieron el mismo número total de puntos. ¿Cuál es el mayor número posible de puntos totales para cada uno de los tres mejores equipos?

In a tournament there are six teams that play each other twice. A team earns $3$ points for a win, $1$ point for a draw, and $0$ points for a loss. After all the games have been played it turns out that the top three teams earned the same number of total points. What is the greatest possible number of total points for each of the top three teams?

$22$

$23$

$24$

$26$

$30$

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Podemos suponer que los $3$ mejores equipos ganaron todos los partidos contra cada equipo que no estaba entre ellos.

Juegan $3 \cdot 2 = 6$ partidos en total, obteniendo un total de $6 \cdot 3 = 18$ puntos.

Ahora, entre los $3$ mejores equipos, cada par de equipos juega dos veces. Para igualar los puntajes, podemos dejar que un equipo gane un partido y que el otro equipo gane el otro.

Para hacer que los tres puntajes sean iguales conservando todos los puntos posibles, reparte los dos partidos de cada par de modo que cada equipo obtenga $3$ puntos de ese par. Hay $3$ pares de este tipo, y cada equipo aparece en $2$ pares.

Esto significa que cada equipo obtendrá $3 \cdot 2 = 6$ puntos adicionales. Por lo tanto, su puntaje máximo es $18 + 6 = 24.$

Así, la respuesta correcta es C.

We can assume that the top $3$ teams won every game against every team not amongst themselves.

They play $3 \cdot 2 = 6$ games in total, getting a total of $6 \cdot 3 = 18$ points.

Now, among the top $3,$ each pair of teams plays twice. To even out the scores, we can let one team win one game and let the other team win the other game.

To make the three scores equal while keeping all possible points, split the two games in each pair so each team gets $3$ points from that pair. There are $3$ such pairs, with each team appearing in $2$ pairs.

This means that each team will get an extra $3 \cdot 2 = 6$ points. Therefore, their maximum score is $18 + 6 = 24.$

Thus, the correct answer is C.

2019 AMC 8 Problema 19

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 19 en otros años