Question

El Sr. Ramos aplicó una prueba a su clase de $20$ estudiantes. El diagrama de puntos de abajo muestra la distribución de las calificaciones.

Más tarde el Sr. Ramos descubrió que había un error de puntuación en una de las preguntas. Volvió a calificar las pruebas, otorgando a algunos estudiantes $5$ puntos adicionales, lo que aumentó la mediana de las calificaciones a $85.$ ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que recibieron puntos adicionales?

(Ten en cuenta que la mediana de las calificaciones es igual al promedio de las $2$ calificaciones del medio si las $20$ calificaciones se ordenan de menor a mayor.)

Mr. Ramos gave a test to his class of $20$ students. The dot plot below shows the distribution of test scores.

Later Mr. Ramos discovered that there was a scoring error on one of the questions. He regraded the tests, awarding some of the students $5$ extra points, which increased the median test score to $85.$ What is the minimum number of students who received extra points?

(Note that the median test score equals the average of the $2$ scores in the middle if the $20$ test scores are arranged in increasing order.)

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Solución:

Del diagrama de puntos, hay $7$ calificaciones de al menos $85$ : dos $85$ , tres $90$ , una $95$ y una $100$ . Para que la mediana sea $85$ , la $10$ .ª y la $11$ .ª calificación en orden creciente deben ser ambas al menos $85$ , así que al menos $11$ calificaciones deben ser al menos $85$ .

Cada estudiante recalificado puede ganar solo $5$ puntos, así que las únicas calificaciones por debajo de $85$ que pueden llegar a al menos $85$ son las de $80$ . Hay suficientes calificaciones de $80$ , y necesitamos $11-7=4$ calificaciones más de al menos $85$ . Recalificar a cuatro estudiantes que originalmente sacaron $80$ logra esto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From the dot plot, there are $7$ scores at least $85$ : two $85$ 's, three $90$ 's, one $95$ , and one $100$ . For the median to be $85$ , the $10$ th and $11$ th scores in increasing order must both be at least $85$ , so at least $11$ scores must be at least $85$ .

Each regraded student can gain only $5$ points, so the only scores below $85$ that can become at least $85$ are the $80$ 's. There are enough $80$ 's, and we need $11-7=4$ more scores at least $85$ . Regrading four students who originally scored $80$ achieves this.

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 8 Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años