Question

En un frasco de canicas rojas, verdes y azules, todas menos $6$ son rojas, todas menos $8$ son verdes, y todas menos $4$ son azules. ¿Cuántas canicas hay en el frasco?

In a jar of red, green, and blue marbles, all but $6$ are red marbles, all but $8$ are green, and all but $4$ are blue. How many marbles are in the jar?

$6$

$8$

$9$

$10$

$18$

Respuesta: C

Conceptos:sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Traduce cada afirmación de “todas menos” en una suma de dos colores.

Translate each “all but” statement into a sum of two colors.

Pista grande:

Al sumar las tres ecuaciones, cada canica se cuenta dos veces.

Adding the three equations counts every marble twice.

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean $r,g,b$ las cantidades de canicas rojas, verdes y azules, respectivamente. Por las afirmaciones dadas, sabemos que $r+g+b -r=6,$ $r+g+b-g = 8,$ $r+g+b-b = 4$ Sumar estas ecuaciones da $3(r+g+b) -(r+g+b) = 18.$ Esto significa que $2(r+g+b) = 18,$ así que $r+g+b = 9.$ Por lo tanto, la cantidad total de canicas es $9.$

Así, la respuesta es C.

Let $r,g,b$ be the number of red marbles, green marbles, and blue marbles respectively. We then know $r+g+b -r=6,$ $r+g+b-g = 8,$ $r+g+b-b = 4$ by the statements given. Adding these equations yields $3(r+g+b) -(r+g+b) = 18.$ This would mean $2(r+g+b) = 18,$ so $r+g+b = 9.$ Therefore, the sum of all of the marbles is $9.$

Thus, the answer is C .

2012 AMC 8 Problema 19