Question

¿Cuántos enteros entre

1000

y

2000

tienen los tres números

15,

20,

y

25

como factores?

How many integers between

1000

and

2000

have all three of the numbers

15,

20,

and

25

as factors?

1

2

3

4

5

Respuesta: C

Conceptos:mínimo común múltiplo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Usa el mínimo común múltiplo de

15,

20

y

25

Use the least common multiple of

15,

20,

and

25.

Pista grande:

Cuenta los múltiplos de ese mínimo común múltiplo entre

1000

y

2000

Count the multiples of that LCM between

1000

and

2000.

Solución:

Si un número

x

tiene estos tres números como factores, entonces su mínimo común múltiplo también debe dividir a

x.

Estos números tienen las siguientes factorizaciones en primos:

15 = 3 \cdot 5,

20 = 2^2 \cdot 5,

25 = 5^2.

A partir de estos valores, obtenemos que el mínimo común múltiplo es

2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300.

Por lo tanto, los múltiplos de

300

entre

1000

y

2000

son

1200,

1500,

y

1800.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

If a number

x

has these three numbers as factors, then their least common multiple must also divide

x.

These numbers have the following prime factorizations:

15 = 3 \cdot 5,

20 = 2^2 \cdot 5,

25 = 5^2.

From these values, we get that the least common multiple is

2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300.

Therefore, the multiples of

300

between

1000

and

2000

are

1200,

1500,

and

1800.

Thus, C is the correct answer.

2003 AMC 8 Problema 19

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años