Question

¿Cuántos enteros entre $1000$ y $2000$ tienen los tres números $15, 20,$ y $25$ como factores?

How many integers between $1000$ and $2000$ have all three of the numbers $15, 20,$ and $25$ as factors?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Si un número $x$ tiene estos tres números como factores, entonces su mínimo común múltiplo también debe dividir a $x.$

Estos números tienen las siguientes factorizaciones en primos: $15 = 3 \cdot 5,$ $20 = 2^2 \cdot 5,$ $25 = 5^2.$

A partir de estos valores, obtenemos que el mínimo común múltiplo es $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300.$

Por lo tanto, los múltiplos de $300$ entre $1000$ y $2000$ son $1200, 1500,$ y $1800.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

If a number $x$ has these three numbers as factors, then their least common multiple must also divide $x.$

These numbers have the following prime factorizations: $15 = 3 \cdot 5,$ $20 = 2^2 \cdot 5,$ $25 = 5^2.$

From these values, we get that the least common multiple is $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300.$

Therefore, the multiples of $300$ between $1000$ and $2000$ are $1200, 1500,$ and $1800.$

Thus, C is the correct answer.