Question

Los dos círculos de la figura tienen el mismo centro $C.$ La cuerda $\overline{AD}$ es tangente al círculo interior en $B,$ $AC$ mide $10,$ y la cuerda $\overline{AD}$ tiene longitud $16.$ ¿Cuál es el área entre los dos círculos?

The two circles pictured have the same center $C.$ Chord $\overline{AD}$ is tangent to the inner circle at $B,$ $AC$ is $10,$ and chord $\overline{AD}$ has length $16.$ What is the area between the two circles?

$\ 36 \pi$

$\ 49 \pi$

$\ 64 \pi$

$\ 81 \pi$

$\ 100 \pi$

Solución:

El área entre los dos círculos es el área del círculo mayor menos el área del círculo menor, es decir $(AC)^2\pi - (CB)^2 \pi$ $= \pi(AC^2 - CB^2).$ Por el teorema de Pitágoras, obtenemos $AC^2 - CB^2 = AB^2.$ Por lo tanto, necesitamos hallar $AB^2 \pi.$

Como $AB$ es la mitad de $AD,$ obtenemos $AB = 8.$ Esto hace que $AB^2 \pi = 64 \pi.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

The area between the two circles is the area of the larger circle minus the area of the smaller circle. This would be $(AC)^2\pi - (CB)^2 \pi$ $= \pi(AC^2 - CB^2).$ By the Pythagorean Theorem, we can get $AC^2 - CB^2 = AB^2.$ Therefore, we need to find $AB^2 \pi.$

Since $AB$ is half of $AD,$ we get $AB = 8.$ This makes $AB^2 \pi = 64 \pi.$

Thus, the answer is C .

2010 AMC 8 Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años