Question

Un triángulo equilátero se coloca dentro de un triángulo equilátero mayor de modo que la región entre ellos se pueda dividir en tres trapecios congruentes, como se muestra abajo. La longitud del lado del triángulo interior es $\frac{2}{3}$ de la longitud del lado del triángulo mayor. ¿Cuál es la razón entre el área de un trapecio y el área del triángulo interior?

An equilateral triangle is placed inside a larger equilateral triangle so that the region between them can be divided into three congruent trapezoids, as shown below. The side length of the inner triangle is $\frac{2}{3}$ the side length of the larger triangle. What is the ratio of the area of one trapezoid to the area of the inner triangle.

$1 : 3$

$3 : 8$

$5 : 12$

$7 : 16$

$4 : 9$

Solución en video:

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Solución escrita:

Como la longitud del lado del triángulo interior es $\frac{2}{3}$ de la del triángulo exterior, su área es $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ del área del triángulo exterior.

Esto significa que los tres trapecios son $1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ del área del triángulo exterior.

Por lo tanto, un trapecio es $\frac{5}{9} \div 3 = \frac{5}{27}$ del área del triángulo exterior.

Esto hace que la razón entre las áreas de un trapecio y el triángulo interior sea $\dfrac{\frac{5}{27}}{\frac{4}{9}} = \dfrac{5}{27} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{5}{12}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since the inner triangle's side length is $\frac{2}{3}$ the side length of the outer triangle, its area is $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ the area of the outer triangle.

This means that the three trapezoids are $1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ the area of the outer triangle.

Therefore, one trapezoid is $\frac{5}{9} \div 3 = \frac{5}{27}$ the area of the outer triangle.

This makes the ratio of the areas of one trapezoid and the inner triangle $\dfrac{\frac{5}{27}}{\frac{4}{9}} = \dfrac{5}{27} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{5}{12}.$

Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 19

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Solución escrita:

El Problema 19 en otros años