Question

Una ventana decorativa está formada por un rectángulo con semicírculos en cada extremo. La razón de $AD$ a $AB$ es $3:2,$ y $AB=30$ pulgadas. ¿Cuál es la razón entre el área del rectángulo y las áreas combinadas de los semicírculos?

A decorative window is made up of a rectangle with semicircles on either end. The ratio of $AD$ to $AB$ is $3:2,$ and $AB=30$ inches. What is the ratio of the area of the rectangle to the combined areas of the semicircles?

$\ 2:3$

$\ 3:2$

$\ 6:\pi$

$\ 9:\pi$

$\ 30 :\pi$

Solución:

Al combinar los semicírculos se forma un círculo de diámetro $d=30.$ Esto hace que el radio sea igual a $\dfrac{d}{2}.$ Por lo tanto, el área combinada de los semicírculos es $(\dfrac{d}{2})^2 \cdot \pi = \dfrac{\pi d^2}{4}.$

El lado $AD = \dfrac 32 d$ porque $AD:AB=3:2$ y $AB=d.$ Por lo tanto, el área del rectángulo es $\dfrac 32 d^2.$ La razón entre el área del rectángulo y el área de los semicírculos es $\dfrac{\dfrac 32 d^2}{\dfrac{\pi d^2}{4}} = \dfrac{6}{\pi}.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

Combining the semicircles would make a circle of diameter $d=30.$ This would make the radius equal to $\dfrac{d}{2}.$ Therefore, the combined area of the semicircles is $(\dfrac{d}{2})^2 \cdot \pi = \dfrac{\pi d^2}{4}.$

Side $AD = \dfrac 32 d$ because $AD:AB=3:2$ and $AB=d.$ The area of the rectangle is therefore $\dfrac 32 d^2.$ The ratio of the area of the rectangle to the area of the semicircles is $\dfrac{\dfrac 32 d^2}{\dfrac{\pi d^2}{4}} = \dfrac{6}{\pi}.$

Thus, the answer is C .

2010 AMC 8 Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años