Question

Tres círculos concéntricos con centro en $O$ tienen radios $1,$ $2,$ y $3.$ Los puntos $B$ y $C$ están en el círculo más grande. La región entre los dos círculos más pequeños está sombreada, así como la parte de la región entre los dos círculos más grandes limitada por el ángulo central $BOC,$ como se muestra en la figura de abajo. Supón que las regiones sombreada y sin sombrear tienen igual área. ¿Cuál es la medida de $\angle BOC$ en grados?

Three concentric circles centered at $O$ have radii of $1,$ $2,$ and $3.$ Points $B$ and $C$ lie on the largest circle. The region between the two smaller circles is shaded, as is the portion of the region between the two larger circles bounded by central angle $BOC,$ as shown in the figure below. Suppose the shaded and unshaded regions are equal in area. What is the measure of $\angle BOC$ in degrees?

$108$

$120$

$135$

$144$

$150$

Solución:

Sea $\theta$ la medida de $\angle BOC.$

Un componente de la región sombreada es el área del círculo de radio $2$ menos el área del círculo de radio $1.$ Esta parte tiene área $4\pi-\pi=3\pi.$ El área restante es un sector del círculo más grande menos el área del círculo de radio $2$ . Esta tiene área $\dfrac{\theta}{360}(9\pi-4\pi) = \dfrac{\theta}{360}(5\pi).$ Por lo tanto, el área total de la región sombreada es $3\pi + \dfrac{\theta}{360}(5\pi).$

A continuación, notamos que la región sin sombrear está compuesta por el círculo más pequeño y la parte sin sombrear del anillo exterior. Esto tendrá un área total de $\pi + \dfrac{360-\theta}{360}(5\pi)$

Por último, igualamos las áreas de ambas regiones y despejamos $\theta:$ $\begin{gathered} 3\pi + \dfrac{\theta}{360}(5\pi) \\ = \pi + \dfrac{360-\theta}{360}(5\pi) \end{gathered}$ $2\pi = \dfrac{360-\theta-\theta}{360}(5\pi)$ $\dfrac{2}{5} = 1 - \dfrac{2\theta}{360}$ $2\theta = \dfrac{3}{5}(360)$ $\theta = 108.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $\theta$ be the measure of $\angle BOC.$

One component of the shaded region is the area of the circle with radius $2$ minus the area of the circle with radius $1.$ This part has area $4\pi-\pi=3\pi.$ The remaining area is a sector of the biggest circle minus the area of the circle with radius $2$ . This has area $\dfrac{\theta}{360}(9\pi-4\pi) = \dfrac{\theta}{360}(5\pi).$ Hence, the total area of the shaded region is $3\pi + \dfrac{\theta}{360}(5\pi).$

Next, we note that the unshaded region is composed of the smallest circle and the unshaded portion of the outer ring. This will have a total area of $\pi + \dfrac{360-\theta}{360}(5\pi)$

Lastly, we equate the area of both regions and solve for $\theta:$ $\begin{gathered} 3\pi + \dfrac{\theta}{360}(5\pi) \\ = \pi + \dfrac{360-\theta}{360}(5\pi) \end{gathered}$ $2\pi = \dfrac{360-\theta-\theta}{360}(5\pi)$ $\dfrac{2}{5} = 1 - \dfrac{2\theta}{360}$ $2\theta = \dfrac{3}{5}(360)$ $\theta = 108.$

Thus, A is the correct answer.

2024 AMC 8 Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años