Question

Considera estos dos cuadriláteros en el geoplano. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Consider these two geoboard quadrilaterals. Which of the following statements is true?

El área del cuadrilátero $I$ es mayor que el área del cuadrilátero $II.$

The area of quadrilateral $I$ is more than the area of quadrilateral $II.$

El área del cuadrilátero $I$ es menor que el área del cuadrilátero $II.$

The area of quadrilateral $I$ is less than the area of quadrilateral $II.$

Los cuadriláteros tienen la misma área y el mismo perímetro.

The quadrilaterals have the same area and the same perimeter.

Los cuadriláteros tienen la misma área, pero el perímetro de $I$ es mayor que el perímetro de $II.$

The quadrilaterals have the same area, but the perimeter of $I$ is more than the perimeter of $II.$

Los cuadriláteros tienen la misma área, pero el perímetro de $I$ es menor que el perímetro de $II.$

The quadrilaterals have the same area, but the perimeter of $I$ is less than the perimeter of $II.$

Solución:

Supón que las clavijas de esta cuadrícula están separadas por $1$ unidad.

Observa que la región $I$ es un paralelogramo con base $1$ y altura $1,$ lo que hace que su área sea $1 \cdot 1 = 1.$

Podemos dividir la región $II$ en $2$ triángulos, ambos con base $1$ y altura $1.$ Esto hace que la suma de las áreas sea $2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 1.$ Esto muestra que ambas regiones tienen la misma área.

Observa que cada región tiene $2$ lados de longitud $\sqrt{2}.$ La región $I$ tiene $2$ lados unitarios, mientras que la región $II$ solo tiene $1.$

El otro lado de la región $II$ es claramente mayor que $1,$ lo que muestra que la región $II$ tiene el mayor perímetro.

Así, E es la respuesta correcta.

Assume that the pegs on this grid are separated by $1$ unit.

Note that region $I$ is a parallelogram with base $1$ and height $1,$ makings its area $1 \cdot 1 = 1.$

We can split region $II$ into $2$ triangles. Both with base $1$ and height $1.$ This makes the sum of the areas $2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 1.$ This shows that both regions have the same area.

Note that each region has $2$ sides that are of length $\sqrt{2}.$ Region $I$ has $2$ unit sides, whereas region $II$ only has $1.$

The other side of region $II$ is clearly greater than $1,$ which shows that region $II$ has the greater perimeter.

Thus, E is the correct answer.

2000 AMC 8 Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años