Question

El rectángulo $ABCD$ está inscrito en un semicírculo con diámetro $\overline{FE},$ como se muestra en la figura. Sea $DA=16,$ y sea $FD=AE=9.$ ¿Cuál es el área de $ABCD$ ?

Rectangle $ABCD$ is inscribed in a semicircle with diameter $\overline{FE},$ as shown in the figure. Let $DA=16,$ and let $FD=AE=9.$ What is the area of $ABCD?$

$240$

$248$

$256$

$264$

$272$

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $FE$ es el diámetro del semicírculo, sabemos que la longitud del diámetro es $34,$ y por lo tanto el radio es $17.$ Sea $O$ el centro del diámetro.

La longitud de $OF$ es por lo tanto $17.$

Como $D$ está sobre $OF,$ sabemos que $\begin{align*} OD + FD &= OF\\ OD + 9 &= 17 \\ OD &= 8. \end{align*}$

Además, como tenemos un semicírculo, sabemos que $OC = 17.$

Finalmente, como $ABCD$ es un rectángulo, sabemos que $\angle ODC$ es un ángulo recto. Esto significa que podemos hallar $DC$ por el Teorema de Pitágoras. Sabemos que $\begin{align*} OD^2+DC^2&=OC^2 \\ 8^2+DC^2 &= 17^2 \\ DC &= 15. \end{align*}$

Así, el área del rectángulo es $DC\cdot DA = 15\cdot 16=240.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $FE$ is the diameter of the semicircle, we know the length of the diameter is $34,$ and so the radius is $17.$ Let $O$ be the center of the diameter.

The length from $OF$ therefore is $17.$

Since $D$ is on $OF,$ we know $\begin{align*} OD + FD &= OF\\ OD + 9 &= 17 \\ OD &= 8. \end{align*}$

Also, since we have a semicircle, we know $OC = 17.$

Finally, since $ABCD$ is a rectangle, we know $\angle ODC$ is a right angle. This means we can find $DC$ by the Pythagorean Theorem. We know $\begin{align*} OD^2+DC^2&=OC^2 \\ 8^2+DC^2 &= 17^2 \\ DC &= 15. \end{align*}$

Thus, the area of the rectangle is $DC\cdot DA = 15\cdot 16=240.$

Thus, the correct answer is A.

2020 AMC 8 Problema 18

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 18 en otros años