Question

En el cuadrilátero no convexo $ABCD$ que se muestra abajo, $\angle BCD$ es un ángulo recto, $AB=12,$ $BC=4,$ $CD=3,$ y $AD=13.$ ¿Cuál es el área del cuadrilátero $ABCD$ ?

In the non-convex quadrilateral $ABCD$ shown below, $\angle BCD$ is a right angle, $AB=12,$ $BC=4,$ $CD=3,$ and $AD=13.$ What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$12$

$24$

$26$

$30$

$36$

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Como $\angle BCD$ es un ángulo recto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras al $\triangle BCD$ para obtener que $\overline{BD} = 5.$ También obtenemos que $\angle DBA$ es recto, ya que los lados del $\triangle BDA$ forman un triple pitagórico.

Entonces el área de $ABCD$ es igual a $\begin{align*} \text{area}(\triangle &BDA) - \text{area}(\triangle BCD) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 - \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 30 - 6 \\ &= 24. \end{align*}$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since $\angle BCD$ is a right angle, we can apply the Pythagorean theorem to $\triangle BCD$ to get that $\overline{BD} = 5.$ We also get that $\angle DBA$ is right since the sides of $\triangle BDA$ form a Pythagorean triple.

Then the area of $ABCD$ is equal to $\begin{align*} \text{area}(\triangle &BDA) - \text{area}(\triangle BCD) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 - \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 30 - 6 \\ &= 24. \end{align*}$

Thus, B is the correct answer.

2017 AMC 8 Problema 18

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 18 en otros años