Question

¿De cuántas maneras se puede escribir $60$ como la suma de dos o más enteros positivos impares consecutivos ordenados de manera creciente?

In how many ways can $60$ be written as the sum of two or more consecutive odd positive integers that are arranged in increasing order?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución en video:

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Solución escrita:

Supongamos que hay $k\ge2$ términos, comenzando con el entero positivo impar $a$ . La suma es $a+(a+2)+\cdots+(a+2k-2)$ $=k(a+k-1)$ $=60$ . Probando los divisores $k$ de $60$ , los inicios impares positivos ocurren para $k=2$ , dando $29+31$ , y para $k=6$ , dando $5+7+9+11+13+15$ . Así, hay $2$ maneras.

Suppose there are $k\ge2$ terms, starting with odd positive integer $a$ . The sum is $a+(a+2)+\cdots+(a+2k-2)$ $=k(a+k-1)$ $=60$ . Testing divisors $k$ of $60$ , the positive odd starts occur for $k=2$ , giving $29+31$ , and for $k=6$ , giving $5+7+9+11+13+15$ . Thus there are $2$ ways.

2026 AMC 8 Problema 18

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 18 en otros años