Soluciones del 2000 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La tía Anna tiene $42$ años. Caitlin es $5$ años menor que Brianna, y Brianna tiene la mitad de la edad de la tía Anna. ¿Cuántos años tiene Caitlin?

Aunt Anna is $42$ years old. Caitlin is $5$ years younger than Brianna, and Brianna is half as old as Aunt Anna. How old is Caitlin?

$15$

$16$

$17$

$21$

$37$

Conceptos:edades

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Primero halla la edad de Brianna.

Find Brianna’s age first

Pista grande:

Caitlin es $5$ años menor que Brianna.

Caitlin is $5$ years younger than Brianna

Solución:

Brianna tiene $42 \div 2 = 21$ años. Por lo tanto, Caitlin tiene $21 - 5 = 16$ años.

Así, B es la respuesta correcta.

Brianna is $42 \div 2 = 21$ years old. Caitlin is therefore $21 - 5 = 16$ years old.

Thus, B is the correct answer.

2.

¿Cuál de estos números es menor que su recíproco?

Which of these numbers is less than its reciprocal?

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

Conceptos:desigualdad

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Comprueba si $0$ tiene recíproco.

Check whether $0$ has a reciprocal

Pista grande:

Compara $-2$ con $-\frac{1}{2}.$

Compare $-2$ with $-\frac{1}{2}$

Solución:

$0$ no tiene recíproco, y $1$ y $-1$ son sus propios recíprocos.

El recíproco de $2$ es $\frac{1}{2},$ pero $2$ no es menor que $\frac{1}{2}.$

Por lo tanto, como $-2 < -\frac 12,$ sabemos que $-2$ es la única de las opciones de respuesta que es menor que su recíproco.

Así, A es la respuesta correcta.

$0$ has no reciprocal, and $1$ and $-1$ are their own reciprocals.

The reciprocal of $2$ is $\frac{1}{2},$ but $2$ is not less than $\frac{1}{2}.$

Therefore, as $-2 < -\frac 12,$ we know that $-2$ is the only one of the answer choices that is less than its reciprocal.

Thus, A is the correct answer.

3.

¿Cuántos números enteros hay en el intervalo entre $\frac{5}{3}$ y $2\pi$ ?

How many whole numbers lie in the interval between $\frac{5}{3}$ and $2\pi?$

$2$

$3$

$4$

$5$

infinitos

infinitely many

Conceptos:conteo de enteros en un rango estimación

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Ubica $\frac{5}{3}$ y $2\pi$ entre números enteros.

Locate $\frac{5}{3}$ and $2\pi$ between whole numbers

Pista grande:

Cuenta los números enteros estrictamente dentro del intervalo.

Count the whole numbers strictly inside the interval

Solución:

El menor número entero mayor que $\frac{5}{3}$ es $2.$ El mayor número entero menor que $2\pi$ es $6.$

Los números enteros dentro de este rango son $2, 3, 4, 5, 6.$

Así, D es la respuesta correcta.

The smallest whole number greater than $\frac{5}{3}$ is $2.$ The greatest whole number less than $2\pi$ is $6.$

The whole numbers within this range are $2, 3, 4, 5, 6.$

Thus, D is the correct answer.

4.

En $1960,$ solo el $5\%$ de los adultos trabajadores de la ciudad de Carlin trabajaba en casa. Para $1970,$ la fuerza laboral que trabajaba “en casa” había aumentado al $8\%.$ En $1980$ había aproximadamente un $15\%$ trabajando en casa, y en $1990$ había un $30\%.$ La gráfica que mejor ilustra esto es

In $1960$ only $5\%$ of the working adults in Carlin City worked at home. By $1970$ the “at-home” work force had increased to $8\%.$ In $1980$ there were approximately $15\%$ working at home, and in $1990$ there were $30\%.$ The graph that best illustrates this is

Conceptos:interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Empareja los cuatro porcentajes con los cuatro años.

Match the four percentages to the four years

Pista grande:

Los valores graficados deben subir desde aproximadamente $5$ hasta $30.$

The plotted values should rise from about $5$ to $30$

Solución:

La única gráfica que muestra todos los puntos de datos es la gráfica E.

Así, E es la respuesta correcta.

The only graph that shows all the data points is graph E .

Thus, E is the correct answer.

5.

Cada director de Lincoln High School cumple exactamente un mandato de $3$ años. ¿Cuál es el número máximo de directores que esta escuela podría tener durante un período de $8$ años?

Each principal of Lincoln High School serves exactly one $3$ -year term. What is the maximum number of principals this school could have during an $8$ -year period?

$2$

$3$

$4$

$5$

$8$

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Haz que la ventana de $8$ años comience al final de un mandato.

Let the $8$ -year window start at the end of a term

Pista grande:

Un director puede aparecer solo durante parte del período de $8$ años.

A principal can appear for only part of the $8$ -year period

Solución:

Para maximizar el número de directores, supón que el primer año de este período es el último año del mandato de algún director.

Luego, puede haber $2$ directores más durante $6$ años, seguidos de otro director que trabaja el último año.

Esto da $4$ directores.

Así, C es la respuesta correcta.

To maximize the number of principals, assume that the first year of this period is the final year of some principal’s term.

Then, there can be $2$ more principals for $6$ years, followed by another principal who works the final year.

This is $4$ principals.

Thus, C is the correct answer.

6.

La figura $ABCD$ es un cuadrado. Dentro de este cuadrado se dibujan tres cuadrados más pequeños con las longitudes de lado indicadas. El área de la región sombreada en forma de L es

Figure $ABCD$ is a square. Inside this square three smaller squares are drawn with side lengths as labeled. The area of the shaded L-shaped region is

$7$

$10$

$12.5$

$14$

$15$

Conceptos:descomposición de áreas cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Divide la L sombreada en rectángulos.

Break the shaded L into rectangles

Pista grande:

Un cuadrado de $4\times4$ menos un cuadrado de $3\times3$ también funciona.

A $4\times4$ square minus a $3\times3$ square also works

Solución:

Podemos restar las áreas del cuadrado unitario superior, el cuadrado unitario inferior derecho y el cuadrado $4 \times 4$ superior derecho.

El área sombreada en $ABCD$ es, por lo tanto, $5^2 - 2 \cdot 1^2 - 4^2 = 7.$

Así, A es la respuesta correcta.

We can subtract out the areas of the top unit square, the bottom right unit square, and the top right $4 \times 4$ square.

The shaded area in $ABCD$ is therefore $5^2 - 2 \cdot 1^2 - 4^2 = 7.$

Thus, A is the correct answer.

7.

¿Cuál es el producto mínimo posible de tres números diferentes del conjunto $\{-8,-6,-4,0,3,5,7\}?$

What is the minimum possible product of three different numbers of the set $\{-8,-6,-4,0,3,5,7\}?$

$-336$

$-280$

$-210$

$-192$

$0$

Conceptos:optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Un producto negativo necesita un número impar de factores negativos.

A negative product needs an odd number of negative factors

Pista grande:

Compara usar tres negativos frente a un negativo y dos positivos.

Compare using three negatives versus one negative and two positives

Solución:

Un producto negativo proviene de tres factores negativos o de un factor negativo y dos factores positivos.

Con tres factores negativos, el producto mínimo es $-8 \cdot -6 \cdot -4 = -192.$ Con un factor negativo, usamos el número más negativo y los dos positivos mayores para obtener $-8 \cdot 5 \cdot 7 = -280.$ Como $-280<-192,$ el producto mínimo posible es $-280.$

Así, B es la respuesta correcta.

A negative product comes either from three negative factors or from one negative factor and two positive factors.

With three negative factors, the minimum is $-8 \cdot -6 \cdot -4 = -192.$ With one negative factor, use the most negative number and the two largest positive numbers to get $-8 \cdot 5 \cdot 7 = -280.$ Since $-280<-192,$ the minimum possible product is $-280.$

Thus, B is the correct answer.

8.

Tres dados con caras numeradas del $1$ al $6$ se apilan como se muestra. Siete de las dieciocho caras son visibles, quedando once caras ocultas (atrás, abajo, entre ellas). El número total de puntos que NO son visibles en esta vista es

Three dice with faces numbered $1$ through $6$ are stacked as shown. Seven of the eighteen faces are visible, leaving eleven faces hidden (back, bottom, between). The total number of dots NOT visible in this view is

$21$

$22$

$31$

$41$

$53$

Conceptos:conteo complementario

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Cada dado tiene $21$ puntos en total.

Each die has $21$ total dots

Pista grande:

Resta los puntos visibles del total de los tres dados.

Subtract the visible dots from the total on all three dice

Solución:

La suma de los números de un dado es $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.$ Por lo tanto, la suma de los números de los $3$ dados es $3 \cdot 21 = 63.$

Los números visibles suman $1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 22.$ Esto hace que la suma de los números no vistos sea $63 - 22 = 41.$

Así, D es la respuesta correcta.

The sum of the numbers on one die is $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.$ Therefore, the sum of the numbers on all $3$ dice is $3 \cdot 21 = 63.$

The visible numbers add up to $1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 22.$ This makes the sum of the unseen numbers $63 - 22 = 41.$

Thus, D is the correct answer.

9.

En este acertijo de “crucinúmeros” se usan potencias de tres dígitos de $2$ y de $5.$ ¿Cuál es el único dígito posible para el cuadrado destacado? $\begin{array}{lcl} \textbf{\text{HORIZONTAL}} & & \textbf{\text{VERTICAL}} \\ \textbf{2. } 2^m & & \textbf{1. } 5^n \end{array}$

Three-digit powers of $2$ and $5$ are used in this “cross-number” puzzle. What is the only possible digit for the outlined square? $\begin{array}{lcl} \textbf{\text{ACROSS}} & & \textbf{\text{DOWN}} \\ \textbf{2. } 2^m & & \textbf{1. } 5^n \end{array}$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:dígitos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Enumera las potencias de tres dígitos de $5.$

List the three-digit powers of $5$

Pista grande:

La entrada horizontal es una potencia de tres dígitos de $2$ que empieza con $2.$

The across entry is a three-digit power of $2$ starting with $2$

Solución:

Las únicas potencias de $3$ dígitos de $5$ son $125$ y $625.$ Esto significa que la casilla $2$ se llena con un $2.$

La única potencia de $3$ dígitos de $2$ que empieza con $2$ es $256,$ así que el cuadrado destacado se llena con un $6.$

Así, D es la respuesta correcta.

The only $3$ -digit powers of $5$ are $125$ and $625.$ This means that the $2$ spot is filled with a $2.$

The only $3$ -digit power of $2$ beginning with a $2$ is $256,$ so the outlined square is filled with a $6.$

Thus, D is the correct answer.

10.

Ara y Shea alguna vez tuvieron la misma estatura. Desde entonces, Shea ha crecido un $20\%,$ mientras que Ara ha crecido la mitad de pulgadas de lo que creció Shea. Shea ahora mide $60$ pulgadas. ¿Cuántas pulgadas mide Ara ahora?

Ara and Shea were once the same height. Since then Shea has grown $20\%$ while Ara has grown half as many inches as Shea. Shea is now $60$ inches tall. How tall, in inches, is Ara now?

$48$

$51$

$52$

$54$

$55$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Recupera la estatura común original a partir de la nueva estatura de Shea.

Recover the original common height from Shea’s new height

Pista grande:

Ara creció la mitad de pulgadas de lo que creció Shea.

Ara grew half as many inches as Shea

Solución:

Sea $x$ la estatura inicial de Ara y Shea. Entonces obtenemos $\begin{align*} 1.2x &= 60 \\ x &= 50. \end{align*}$

Esto significa que Shea creció $10$ pulgadas, lo que significa que Ara creció $10 \div 2 = 5$ pulgadas, por lo que ahora mide $50 + 5 = 55$ pulgadas.

Así, E es la respuesta correcta.

Let $x$ be Ara and Shea’s initial height. Then we get that $\begin{align*} 1.2x &= 60 \\ x &= 50. \end{align*}$

This means that Shea grew $10$ inches, which means that Ara grew $10 \div 2 = 5$ inches, making her $50 + 5 = 55$ inches tall.

Thus, E is the correct answer.

11.

El número $64$ tiene la propiedad de que es divisible entre su dígito de las unidades. ¿Cuántos números enteros entre $10$ y $50$ tienen esta propiedad?

The number $64$ has the property that it is divisible by its unit digit. How many whole numbers between $10$ and $50$ have this property?

$15$

$16$

$17$

$18$

$20$

Conceptos:divisibilidad dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Agrupa los números por su dígito de las unidades.

Group numbers by their units digit

Pista grande:

Recuerda que los números que terminan en $0$ no funcionan.

Remember numbers ending in $0$ do not work

Solución:

Los números que terminan en $1,$ $2,$ o $5$ funcionan todos en las listas $11,$ $21,$ $31,$ y $41;$ $12,$ $22,$ $32,$ y $42;$ y $15,$ $25,$ $35,$ y $45.$ Esto da $12$ números.

Los demás números que funcionan son $24,$ $33,$ $36,$ $44,$ y $48.$ Los números que terminan en $0$ no funcionan porque la división entre $0$ no está definida.

Por lo tanto, hay $12+5=17$ números de este tipo.

Así, C es la respuesta correcta.

Numbers ending in $1,$ $2,$ or $5$ all work in the lists $11,$ $21,$ $31,$ and $41;$ $12,$ $22,$ $32,$ and $42;$ and $15,$ $25,$ $35,$ and $45.$ This gives $12$ numbers.

The remaining working numbers are $24,$ $33,$ $36,$ $44,$ and $48.$ Numbers ending in $0$ do not work because division by $0$ is undefined.

Thus there are $12+5=17$ such numbers.

Thus, C is the correct answer.

12.

Se construirá un muro de bloques de $100$ pies de largo y $7$ pies de alto usando bloques de $1$ pie de alto y de $2$ pies de largo o $1$ pie de largo (no se pueden cortar los bloques). Las juntas verticales de los bloques deben estar escalonadas como se muestra, y el muro debe quedar parejo en los extremos. ¿Cuál es el menor número de bloques necesarios para construir este muro?

A block wall $100$ feet long and $7$ feet high will be constructed using blocks that are $1$ foot high and either $2$ feet long or $1$ foot long (no blocks may be cut). The vertical joins in the blocks must be staggered as shown, and the wall must be even on the ends. What is the smallest number of blocks needed to build this wall?

$344$

$347$

$350$

$353$

$356$

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Empieza con todos los bloques de $2$ pies.

Start with all $2$ -foot blocks

Pista grande:

Solo una fila de cada dos necesita un bloque extra para escalonar las juntas.

Only every other row needs an extra block to stagger joins

Solución:

El número total de filas del muro es $7,$ y cada fila tiene $1$ pie de alto.

Para usar el número mínimo de bloques, las filas $1,$ $3,$ $5,$ y $7$ tendrán el mismo patrón que la fila inferior de la imagen, que requiere $50$ bloques.

Las filas $2,$ $4,$ y $6$ tendrán el mismo patrón que la fila superior de la imagen, que tiene $49$ bloques de $2$ pies en el centro y un bloque de $1$ pie en cada extremo, para un total de $51$ bloques.

Al sumar $4$ filas de $50$ bloques y $3$ filas de $51$ bloques, se obtiene un total de $4 \cdot 50 + 3 \cdot 51 = 200 + 153 = 353$ bloques.

Así, D es la respuesta correcta.

The total number of rows in the wall is $7,$ with each row being $1$ foot high.

To use the minimum number of bricks, rows $1,$ $3,$ $5,$ and $7$ will have the same pattern as the bottom row in the picture, which requires $50$ bricks to construct.

Rows $2,$ $4,$ and $6$ will have the same pattern as the upper row in the picture, which has $49$ $2$ -foot bricks in the middle and one $1$ -foot brick on each end, for a total of $51$ bricks.

When you add up $4$ rows of $50$ bricks and $3$ rows of $51$ bricks, you get a total of $4 \cdot 50 + 3 \cdot 51 = 200 + 153 = 353$ bricks.

Thus, D is the correct answer.

13.

En el triángulo $CAT,$ tenemos $\angle ACT =\angle ATC$ y $\angle CAT = 36^\circ.$ Si $\overline{TR}$ biseca $\angle ATC,$ entonces $\angle CRT =$

In triangle $CAT,$ we have $\angle ACT =\angle ATC$ and $\angle CAT = 36^\circ.$ If $\overline{TR}$ bisects $\angle ATC,$ then $\angle CRT =$

$16^\circ$

$51^\circ$

$72^\circ$

$90^\circ$

$108^\circ$

Conceptos:persecución de ángulos bisectriz

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Primero halla los dos ángulos de la base iguales de $\triangle CAT.$

First find the two equal base angles of $\triangle CAT$

Pista grande:

Usa la bisectriz del ángulo en $T.$

Use the angle bisector at $T$

Solución:

Obtenemos $\begin{aligned} \angle CAT + \angle ATC \\ \quad {}+ \angle ACT &= 180 \\ 36 + 2 \cdot \angle ATC &= 180 \\ \angle ATC &= 72^{\circ}. \end{aligned}$

Debido a la bisección, también sabemos que $\angle RTC = 72 \div 2 = 36^{\circ}.$

Finalmente, vemos que $\begin{aligned} \angle RTC + \angle TCR \\ \quad {}+ \angle CRT &= 180 \\ 36 + 72 + \angle CRT &= 180 \\ \angle CRT &= 72^{\circ}. \end{aligned}$

Así, C es la respuesta correcta.

We get $\begin{aligned} \angle CAT + \angle ATC \\ \quad {}+ \angle ACT &= 180 \\ 36 + 2 \cdot \angle ATC &= 180 \\ \angle ATC &= 72^{\circ}. \end{aligned}$

Due to bisection, we also know that $\angle RTC = 72 \div 2 = 36^{\circ}.$

Finally, we see that $\begin{aligned} \angle RTC + \angle TCR \\ \quad {}+ \angle CRT &= 180 \\ 36 + 72 + \angle CRT &= 180 \\ \angle CRT &= 72^{\circ}. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

14.

¿Cuál es el dígito de las unidades de $19^{19} + 99^{99}$ ?

What is the units digit of $19^{19} + 99^{99}?$

$0$

$1$

$2$

$8$

$9$

Conceptos:dígito de las unidades exponenciación modular

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Solo importa el dígito de las unidades.

Only the units digit matters

Pista grande:

Las potencias impares de un número que termina en $9$ terminan en $9.$

Odd powers of a number ending in $9$ end in $9$

Solución:

Observa que el dígito de las unidades de una potencia depende solo del dígito de las unidades de la base.

Experimentando, obtenemos que $9$ elevado a una potencia par termina en $1$ y elevado a una potencia impar termina en $9.$

Por lo tanto, $19^{19}$ termina en $9$ y $99^{99}$ también termina en $9.$ Sumándolos se obtiene un número que termina en $8.$

Así, D es la respuesta correcta.

Note that the units digit of a power depends only upon the units digit of the base.

Experimenting, we get that $9$ to an even power ends with a $1$ and to an odd power ends with a $9.$

Therefore, $19^{19}$ ends with a $9$ and $99^{99}$ also ends with a $9.$ Adding them together yields a number that ends in $8.$

Thus, D is the correct answer.

15.

Los triángulos $ABC,$ $ADE,$ y $EFG$ son todos equiláteros. Los puntos $D$ y $G$ son los puntos medios de $\overline{AC}$ y $\overline{AE},$ respectivamente. Si $AB = 4,$ ¿cuál es el perímetro de la figura $ABCDEFG$ ?

Triangles $ABC,$ $ADE,$ and $EFG$ are all equilateral. Points $D$ and $G$ are midpoints of $\overline{AC}$ and $\overline{AE},$ respectively. If $AB = 4,$ what is the perimeter of figure $ABCDEFG?$

$12$

$13$

$15$

$18$

$21$

Conceptos:triángulo equilátero perímetro

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Usa la información de los puntos medios para hallar las longitudes de lado de los triángulos equiláteros más pequeños.

Use the midpoint information to find smaller equilateral side lengths

Pista grande:

Suma solo las longitudes del contorno exterior.

Add the outside boundary lengths only

Solución:

El triángulo equilátero grande tiene lado $4,$ el mediano tiene lado $2,$ y el más pequeño tiene lado $1.$

El perímetro es, por lo tanto, $\begin{gather*} CB + CD + DE + EF \\ {}+ FG + GA + AB \\ = 4 + 4 + 2 + 2 + 1 \\ + 1 + 1 = 15. \end{gather*}$

Así, C es la respuesta correcta.

The large equilateral triangle has side length $4,$ the middle one has side length $2,$ and the smaller one has side length $1.$

The perimeter is therefore $\begin{gather*} CB + CD + DE + EF \\ {}+ FG + GA + AB \\ = 4 + 4 + 2 + 2 + 1 \\ + 1 + 1 = 15. \end{gather*}$

Thus, C is the correct answer.

16.

Para que Mateen camine un kilómetro ( $1000$ metros) en su patio rectangular, debe caminar el largo $25$ veces o caminar su perímetro $10$ veces. ¿Cuál es el área del patio de Mateen en metros cuadrados?

In order for Mateen to walk a kilometer ( $1000$ meters) in his rectangular backyard, he must walk the length $25$ times or walk its perimeter $10$ times. What is the area of Mateen’s backyard in square meters?

$40$

$200$

$400$

$500$

$1000$

Conceptos:perímetro área

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

El largo proviene de caminarlo $25$ veces.

The length comes from walking it $25$ times

Pista grande:

El perímetro proviene de caminarlo $10$ veces.

The perimeter comes from walking it $10$ times

Solución:

Podemos ver que el largo es $1000 \div 25 = 40$ metros y el perímetro es $1000 \div 10 = 100$ metros.

Observa que el perímetro es $2$ veces la suma del largo y el ancho.

Esto significa que el ancho es $100 \div 2 - 40 = 10$ metros y el área es $40 \cdot 10 = 400$ metros cuadrados.

Así, C es la respuesta correcta.

We can see that the length is $1000 \div 25 = 40$ meters, and the perimeter is $1000 \div 10 = 100$ meters.

Note that the perimeter is $2$ times the sum of the length and width.

This means that the width is $100 \div 2 - 40 = 10$ meters, and the area is $40 \cdot 10 = 400$ square meters.

Thus, C is the correct answer.

17.

La operación $\otimes$ se define para todos los números distintos de cero por $a\otimes b =\dfrac{a^{2}}{b}.$

Determina $[(1\otimes 2)\otimes 3]-[1\otimes (2\otimes 3)].$

The operation $\otimes$ is defined for all nonzero numbers by $a\otimes b =\dfrac{a^{2}}{b}.$

Determine $[(1\otimes 2)\otimes 3]-[1\otimes (2\otimes 3)].$

$-\dfrac{2}{3}$

$-\dfrac{1}{4}$

$0$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Evalúa cada expresión $\otimes$ de adentro hacia afuera.

Evaluate each $\otimes$ expression from the inside out

Pista grande:

Conserva los paréntesis; la operación no es asociativa.

Keep the parentheses; the operation is not associative

Solución:

Podemos calcularlo de la siguiente manera: $\begin{gather*} [(1\otimes 2)\otimes 3]-[1\otimes (2\otimes 3)] \\ = [\dfrac{1^2}{2} \otimes 3] - [1 \otimes \dfrac{2^2}{3}] \\ = [\dfrac{1}{2} \otimes 3] - [1 \otimes \dfrac{4}{3}] \\ = \dfrac{(\frac{1}{2})^2}{3} - \dfrac{1^2}{(\frac{4}{3})} \\ = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4} \\ = \dfrac{1}{12} - \dfrac{3}{4} \\= -\dfrac{2}{3}. \end{gather*}$

Así, A es la respuesta correcta.

We can calculate it as follows. $\begin{gather*} [(1\otimes 2)\otimes 3]-[1\otimes (2\otimes 3)] \\ = [\dfrac{1^2}{2} \otimes 3] - [1 \otimes \dfrac{2^2}{3}] \\ = [\dfrac{1}{2} \otimes 3] - [1 \otimes \dfrac{4}{3}] \\ = \dfrac{(\frac{1}{2})^2}{3} - \dfrac{1^2}{(\frac{4}{3})} \\ = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4} \\ = \dfrac{1}{12} - \dfrac{3}{4} \\= -\dfrac{2}{3}. \end{gather*}$

Thus, A is the correct answer.

18.

Considera estos dos cuadriláteros en el geoplano. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Consider these two geoboard quadrilaterals. Which of the following statements is true?

El área del cuadrilátero $I$ es mayor que el área del cuadrilátero $II.$

The area of quadrilateral $I$ is more than the area of quadrilateral $II.$

El área del cuadrilátero $I$ es menor que el área del cuadrilátero $II.$

The area of quadrilateral $I$ is less than the area of quadrilateral $II.$

Los cuadriláteros tienen la misma área y el mismo perímetro.

The quadrilaterals have the same area and the same perimeter.

Los cuadriláteros tienen la misma área, pero el perímetro de $I$ es mayor que el perímetro de $II.$

The quadrilaterals have the same area, but the perimeter of $I$ is more than the perimeter of $II.$

Los cuadriláteros tienen la misma área, pero el perímetro de $I$ es menor que el perímetro de $II.$

The quadrilaterals have the same area, but the perimeter of $I$ is less than the perimeter of $II.$

Conceptos:área perímetro punto reticular

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Descompón ambos cuadriláteros en triángulos rectángulos unitarios.

Decompose both quadrilaterals into unit right triangles

Pista grande:

Calcula las longitudes de los cuatro lados de cada cuadrilátero.

Compute all four side lengths of each quadrilateral

Solución:

Supón que las clavijas de esta cuadrícula están separadas por $1$ unidad.

Observa que la región $I$ es un paralelogramo con base $1$ y altura $1,$ lo que hace que su área sea $1 \cdot 1 = 1.$

Podemos dividir la región $II$ en $2$ triángulos, ambos con base $1$ y altura $1.$ Esto hace que la suma de las áreas sea $2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 1.$ Esto muestra que ambas regiones tienen la misma área.

Observa que cada región tiene $2$ lados de longitud $\sqrt{2}.$ La región $I$ tiene $2$ lados unitarios, mientras que la región $II$ solo tiene $1.$

El otro lado de la región $II$ es claramente mayor que $1,$ lo que muestra que la región $II$ tiene el mayor perímetro.

Así, E es la respuesta correcta.

Assume that the pegs on this grid are separated by $1$ unit.

Note that region $I$ is a parallelogram with base $1$ and height $1,$ making its area $1 \cdot 1 = 1.$

We can split region $II$ into $2$ triangles, both with base $1$ and height $1.$ This makes the sum of the areas $2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 1.$ This shows that both regions have the same area.

Note that each region has $2$ sides that are of length $\sqrt{2}.$ Region $I$ has $2$ unit sides, whereas region $II$ only has $1.$

The other side of region $II$ is clearly greater than $1,$ which shows that region $II$ has the greater perimeter.

Thus, E is the correct answer.

19.

Tres arcos circulares de radio $5$ unidades delimitan la región mostrada. Los arcos $AB$ y $AD$ son cuartos de círculo, y el arco $BCD$ es un semicírculo. ¿Cuál es el área, en unidades cuadradas, de la región?

Three circular arcs of radius $5$ units bound the region shown. Arcs $AB$ and $AD$ are quarter-circles, and arc $BCD$ is a semicircle. What is the area, in square units, of the region?

$25$

$10+5\pi$

$50$

$50+5\pi$

$25\pi$

Conceptos:descomposición de áreas área del círculo

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Mueve las piezas curvas para formar un rectángulo.

Move the curved pieces to make a rectangle

Pista grande:

El rectángulo reorganizado tiene dimensiones $5$ y $10.$

The rearranged rectangle has dimensions $5$ and $10$

Solución:

Crea un rectángulo que cubra la mitad inferior de la figura, como se muestra a continuación.

Entonces, obtenemos $[ABCD] = [ABD] + [BCD].$

También sabemos que $[ABD] = [BDEF] - [ABE]$ $- [ADF].$

$ABE$ y $ADF$ son ambos cuartos de círculo que forman un semicírculo con la misma área que $BCD.$

Esto significa que $[ABD] = [BDEF] - [BCD]$ y $[ABCD] = [BCD] + [BDEF]$ $- [BCD]$ $= [BDEF] = 10 \cdot 5 = 50.$

Así, C es la respuesta correcta.

Create a rectangle that covers the bottom half of the figure as shown below.

Then, we get that $[ABCD] = [ABD] + [BCD].$

We also know that $[ABD] = [BDEF] - [ABE]$ $- [ADF].$

$ABE$ and $ADF$ are both quarter-circles that form a semicircle with the same area as $BCD.$

This means that $[ABD] = [BDEF] - [BCD]$ and $[ABCD] = [BCD] + [BDEF]$ $- [BCD]$ $= [BDEF] = 10 \cdot 5 = 50.$

Thus, C is the correct answer.

20.

Tienes nueve monedas: una colección de monedas de un centavo, monedas de cinco centavos, monedas de diez centavos y monedas de veinticinco centavos con un valor total de $\$1.02,$ con al menos una moneda de cada tipo. ¿Cuántas monedas de diez centavos debes tener?

You have nine coins: a collection of pennies, nickels, dimes, and quarters having a total value of $\$1.02,$ with at least one coin of each type. How many dimes must you have?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:dinero aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Usa los centavos módulo $5$ para hallar el número de monedas de un centavo.

Use cents modulo $5$ to find the number of pennies

Pista grande:

Después de las monedas de un centavo, resuelve para las monedas de cinco, diez y veinticinco centavos.

After the pennies, solve for nickels, dimes, and quarters

Solución:

El número de monedas de un centavo debe tener el mismo residuo que $102$ módulo $5,$ así que hay $2$ o $7$ monedas de un centavo. Siete de estas monedas dejarían solo dos monedas para las de cinco, diez y veinticinco centavos, lo cual es imposible porque se necesita al menos una de cada tipo.

Entonces hay $2$ monedas de un centavo. Las $7$ monedas restantes valen $100$ centavos. Si $n,$ $d,$ y $q$ son los números de monedas de cinco, diez y veinticinco centavos, entonces $n+d+q=7$ y $5n+10d+25q=100.$

Dividiendo la ecuación del valor entre $5$ y restando la ecuación del número de monedas se obtiene $d+4q=13.$ La única solución positiva es $q=3,$ $d=1,$ y $n=3.$

Por lo tanto, debe haber $1$ moneda de diez centavos.

Así, A es la respuesta correcta.

The number of pennies must have the same remainder as $102$ modulo $5,$ so there are either $2$ or $7$ pennies. Seven pennies would leave only two coins for nickels, dimes, and quarters, impossible because at least one of each type is needed.

So there are $2$ pennies. The remaining $7$ coins are worth $100$ cents. If $n,$ $d,$ and $q$ are the numbers of nickels, dimes, and quarters, then $n+d+q=7$ and $5n+10d+25q=100.$

Dividing the value equation by $5$ and subtracting the coin-count equation gives $d+4q=13.$ The only positive solution is $q=3,$ $d=1,$ and $n=3.$

Thus there must be $1$ dime.

Thus, A is the correct answer.

21.

Keiko lanza una moneda de un centavo y Ephraim lanza dos monedas de un centavo. La probabilidad de que Ephraim obtenga el mismo número de caras que Keiko es

Keiko tosses one penny and Ephraim tosses two pennies. The probability that Ephraim gets the same number of heads that Keiko gets is

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Enumera el resultado de Keiko y el resultado de las dos monedas de un centavo de Ephraim.

List Keiko’s result and Ephraim’s two-coin result

Pista grande:

Cuenta los totales de caras que coinciden entre los resultados igualmente probables.

Count matching head totals among the equally likely outcomes

Solución:

Hay $8$ resultados igualmente probables si registramos la moneda de Keiko y las dos monedas de Ephraim.

Si Keiko obtiene cara, Ephraim debe obtener exactamente una cara; esto ocurre en $2$ resultados. Si Keiko obtiene cruz, Ephraim no debe obtener ninguna cara; esto ocurre en $1$ resultado.

Así que $3$ de los $8$ resultados igualmente probables funcionan y la probabilidad es $\dfrac{3}{8}.$

Así, B es la respuesta correcta.

There are $8$ equally likely outcomes if we record Keiko’s coin and Ephraim’s two coins.

If Keiko gets heads, Ephraim must get exactly one head; this happens in $2$ outcomes. If Keiko gets tails, Ephraim must get no heads; this happens in $1$ outcome.

So $3$ of the $8$ equally likely outcomes work, and the probability is $\dfrac{3}{8}.$

Thus, B is the correct answer.

22.

Un cubo tiene arista de longitud $2.$ Supón que pegamos un cubo de arista $1$ sobre el cubo grande de modo que una de sus caras descanse por completo sobre la cara superior del cubo mayor. El aumento porcentual del área de superficie (lados, parte superior y parte inferior) del cubo original al nuevo sólido formado es más cercano a

A cube has edge length $2.$ Suppose that we glue a cube of edge length $1$ on top of the big cube so that one of its faces rests entirely on the top face of the larger cube. The percent increase in the surface area (sides, top, and bottom) from the original cube to the new solid formed is closest to

$10$

$15$

$17$

$21$

$25$

Conceptos:área de superficie porcentaje

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

El cubo original tiene área de superficie $6\cdot2^2.$

The original cube has surface area $6\cdot2^2$

Pista grande:

El cubo pequeño oculta un cuadrado unitario pero agrega cinco.

The small cube hides one unit square but adds five

Solución:

El área de superficie original es simplemente $6 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4 = 24.$

Observa que la cara superior del cubo unitario más el área visible de la cara superior del cubo mayor es igual al área de una cara del cubo mayor.

Esto significa que el cuadrado unitario de arriba solo agrega $4$ cuadrados unitarios al área de superficie total, por lo que el aumento es $4.$

El aumento porcentual es, por lo tanto, $100 \cdot \dfrac{4}{24} = 100 \cdot \dfrac{1}{6} \approx 16.7\%.$

Así, C es la respuesta correcta.

The original surface area is just $6 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4 = 24.$

Note that the top face of the unit cube plus the visible area of the top face of the larger cube is the same as the area of one face of the larger cube.

This means that the unit square on top only adds $4$ unit squares to the total surface area, making the increase $4.$

The percent increase is therefore $100 \cdot \dfrac{4}{24} = 100 \cdot \dfrac{1}{6} \approx 16.7\%.$

Thus, C is the correct answer.

23.

Hay una lista de siete números. El promedio de los primeros cuatro números es $5,$ y el promedio de los últimos cuatro números es $8.$ Si el promedio de los siete números es $6\frac{4}{7},$ entonces el número común a ambos conjuntos de cuatro números es

There is a list of seven numbers. The average of the first four numbers is $5,$ and the average of the last four numbers is $8.$ If the average of all seven numbers is $6\frac{4}{7},$ then the number common to both sets of four numbers is

$5\frac{3}{7}$

$6$

$6\frac{4}{7}$

$7$

$7\frac{3}{7}$

Conceptos:media doble conteo

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Convierte cada promedio en una suma.

Convert each average into a sum

Pista grande:

El número compartido se cuenta dos veces en las dos sumas de cuatro números.

The shared number is counted twice in the two four-number sums

Solución:

La suma de los primeros cuatro números es $4 \cdot 5 = 20.$ La suma de los últimos cuatro números es $4 \cdot 8 = 32.$

La suma de los siete números es $7 \cdot 6\frac{4}{7} = 46.$ Sabemos que el número común a ambos conjuntos está incluido en las dos primeras sumas.

Esto significa que la suma de las dos primeras sumas incluye cada número una vez, excepto el número común, que se incluye dos veces.

La tercera suma, sin embargo, solo incluye cada número una vez. Esto significa que la suma de las dos primeras sumas menos la tercera suma da el número deseado.

Por lo tanto, el número común es $20 + 32 - 46 = 52 - 46 = 6.$

Así, B es la respuesta correcta.

The sum of the first four numbers is $4 \cdot 5 = 20.$ The sum of the last four numbers is $4 \cdot 8 = 32.$

The sum of all seven numbers is $7 \cdot 6\frac{4}{7} = 46.$ We know that the number common to both sets is included in both of the first two sums.

This means that the sum of the first two sums includes every number once, except for the common number which is included twice.

The third sum, however, only includes every number once. This means that the sum of the first two sums minus the third sum yields our desired number.

Therefore, the common number is $20 + 32 - 46 = 52 - 46 = 6.$

Thus, B is the correct answer.

24.

Si $\angle A = 20^\circ$ y $\angle AFG =\angle AGF,$ entonces $\angle B+\angle D =$

If $\angle A = 20^\circ$ and $\angle AFG =\angle AGF,$ then $\angle B+\angle D =$

$48^\circ$

$60^\circ$

$72^\circ$

$80^\circ$

$90^\circ$

Conceptos:persecución de ángulos triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Usa primero el triángulo isósceles $AFG.$

Use the isosceles triangle $AFG$ first

Pista grande:

Luego usa la suma de los ángulos de $\triangle BFD.$

Then use the angle sum of $\triangle BFD$

Solución:

En $\triangle AFG,$ los dos ángulos de la base son iguales y $\angle A=20^\circ,$ así que

$\begin{aligned} \angle AFG &= \angle AGF \\ &= \frac{180^\circ-20^\circ}{2} \\ &= 80^\circ. \end{aligned}$

Como $\angle AFG$ y $\angle BFD$ forman un ángulo llano, $\angle BFD=100^\circ.$

En $\triangle BFD,$ $\angle B+\angle D=180^\circ-100^\circ=80^\circ.$

Así, D es la respuesta correcta.

In $\triangle AFG,$ the two base angles are equal and $\angle A=20^\circ,$ so

$\begin{aligned} \angle AFG &= \angle AGF \\ &= \frac{180^\circ-20^\circ}{2} \\ &= 80^\circ. \end{aligned}$

Since $\angle AFG$ and $\angle BFD$ form a straight angle, $\angle BFD=100^\circ.$

In $\triangle BFD,$ $\angle B+\angle D=180^\circ-100^\circ=80^\circ.$

Thus, D is the correct answer.

25.

El área del rectángulo $ABCD$ es $72$ unidades cuadradas. Si el punto $A$ y los puntos medios de $\overline{BC}$ y $\overline{CD}$ se unen para formar un triángulo, el área de ese triángulo es

The area of rectangle $ABCD$ is $72$ square units. If point $A$ and the midpoints of $\overline{BC}$ and $\overline{CD}$ are joined to form a triangle, the area of that triangle is

$21$

$27$

$30$

$36$

$40$

Conceptos:descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Sean los lados del rectángulo $2a$ y $2b.$

Let the rectangle sides be $2a$ and $2b$

Pista grande:

Resta del rectángulo los tres triángulos rectángulos exteriores.

Subtract the three outside right triangles from the rectangle

Solución:

Sea el rectángulo con lados $2a$ y $2b,$ de modo que su área es $4ab=72$ y $ab=18.$

Los tres triángulos rectángulos fuera del triángulo deseado tienen áreas $\frac12(2a)(b)=ab,$ $\frac12(2b)(a)=ab$ y $\frac12(a)(b)=\frac12ab.$

Su área total es $\frac52ab=45.$ Por lo tanto, el triángulo deseado tiene área $72-45=27.$

Así, B es la respuesta correcta.

Let the rectangle have side lengths $2a$ and $2b,$ so its area is $4ab=72$ and $ab=18.$

The three right triangles outside the desired triangle have areas $\frac12(2a)(b)=ab,$ $\frac12(2b)(a)=ab,$ and $\frac12(a)(b)=\frac12ab.$

Their total area is $\frac52ab=45.$ Therefore the desired triangle has area $72-45=27.$

Thus, B is the correct answer.