Question

Se dice que un rey de ajedrez ataca todas las casillas que están a un paso de él, horizontal, vertical o diagonalmente. Por ejemplo, un rey en la casilla central de una cuadrícula $3 \times 3$ ataca las otras $8$ casillas, como se muestra abajo. Supón que un rey blanco y un rey negro se colocan en casillas distintas de una cuadrícula $3 \times 3$ de modo que no se ataquen entre sí. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

A chess king is said to attack all the squares one step away from it, horizontally, vertically, or diagonally. For instance, a king on the center square of a $3 \times 3$ grid attacks all $8$ other squares, as shown below. Suppose a white king and a black king are placed on different squares of a $3 \times 3$ grid so that they do not attack each other. In how many ways can this be done?

$20$

$24$

$27$

$28$

$32$

Solución:

Cuenta las colocaciones ordenadas eligiendo primero la casilla del rey blanco. Si el rey blanco está en el centro, ataca todas las demás casillas, así que hay $0$ opciones para el rey negro.

Si el rey blanco está en una esquina, ataca $3$ casillas, así que el rey negro tiene $9-1-3=5$ casillas seguras. Hay $4$ esquinas posibles, lo que da $4\cdot5=20$ colocaciones.

Si el rey blanco está en un borde pero no en una esquina, ataca $5$ casillas, así que el rey negro tiene $9-1-5=3$ casillas seguras. Hay $4$ de esas casillas de borde, lo que da $4\cdot3=12$ colocaciones.

El número total de colocaciones es $20+12=32$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Count ordered placements by first choosing the square for the white king. If the white king is in the center, it attacks every other square, so there are $0$ choices for the black king.

If the white king is in a corner, it attacks $3$ squares, so the black king has $9-1-3=5$ safe squares. There are $4$ corner choices, giving $4\cdot5=20$ placements.

If the white king is on an edge but not a corner, it attacks $5$ squares, so the black king has $9-1-5=3$ safe squares. There are $4$ such edge choices, giving $4\cdot3=12$ placements.

The total number of placements is $20+12=32$ .

Thus, E is the correct answer.

2024 AMC 8 Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años