Question

Sean $w,$ $x,$ $y,$ y $z$ números enteros. Si $2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 588,$ entonces, ¿a qué es igual $2w + 3x + 5y + 7z$ ?

Let $w,$ $x,$ $y,$ and $z$ be whole numbers. If $2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 588,$ then what does $2w + 3x + 5y + 7z$ equal?

$21$

$25$

$27$

$35$

$56$

Para hallar los exponentes buscados, observa que todas las bases son números primos. Esto significa que hallar la factorización en primos será útil.

Obtenemos que $588 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^2.$

A partir de esto, está claro que $w = 2,$ $x = 1,$ $y = 0,$ y $z = 2$ ( $y = 0$ ya que eso hace que el término $5^y$ sea igual a $1$ ).

Por lo tanto, $\begin{gather*} 2w + 3x + 5y + 7z \\ = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 7 \cdot 2 \\ = 21. \end{gather*}$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

To find the desired exponents, note that all the bases are prime numbers. This means that finding the prime factorization will be helpful.

We get that $588 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^2.$

From this, it is clear that $w = 2,$ $x = 1,$ $y = 0,$ and $z = 2$ ( $y = 0$ since that makes the $5^y$ term equal $1$ ).

Therefore, $\begin{gather*} 2w + 3x + 5y + 7z \\ = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 7 \cdot 2 \\ = 21. \end{gather*}$

Thus, A is the correct answer.