Question

Los enteros positivos $x$ y $y$ son los dos enteros positivos más pequeños para los que el producto de $360$ y $x$ es un cuadrado y el producto de $360$ y $y$ es un cubo. ¿Cuál es la suma de $x$ y $y$ ?

The positive integers $x$ and $y$ are the two smallest positive integers for which the product of $360$ and $x$ is a square and the product of $360$ and $y$ is a cube. What is the sum of $x$ and $y?$

$80$

$85$

$115$

$165$

$610$

Solución:

Para que un número sea un cuadrado perfecto, cada exponente de la factorización en primos debe ser par. Para que sea un cubo, los exponentes deben ser divisibles entre $3.$

Podemos factorizar $360$ para obtener $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.$ Para que $360x$ sea un cuadrado perfecto y $x$ sea mínimo, $x$ debe tener un factor de $2$ y un factor de $5.$ Por lo tanto, podemos tomar $x = 10.$

Para que $360y$ sea un cubo, $y$ debe tener un factor de $3$ y dos factores de $5.$ Por lo tanto, podemos tomar $y = 75,$ lo que sugiere $x + y = 85.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

For a number to be a perfect square, every exponent in the prime factorization must be even. For it to be a cube, the exponents must be divisible by $3.$

We can factor $360$ to get $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.$ For $360x$ to be a perfect square and $x$ to be minimized, $x$ must have one factor of $2$ and one factor of $5.$ Therefore, we can let $x = 10.$

For $360y$ to be a cube, $y$ must have one factor of $3$ and two factors of $5.$ Therefore, we can let $y = 75,$ suggesting $x + y = 85.$

Thus, B is the correct answer.

2009 AMC 8 Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años