¿Cuál de las siguientes es la ordenación correcta de las fracciones (15)/(11), (19)/(15), y (17)/(13), de menor a mayor?

(E) (19)/(15) \lt (17)/(13) \lt (15)/(11)

(A) (15)/(11) \lt (17)/(13) \lt (19)/(15)

(B) (15)/(11) \lt (19)/(15) \lt (17)/(13)

(C) (17)/(13) \lt (19)/(15) \lt (15)/(11)

(D) (19)/(15) \lt (15)/(11) \lt (17)/(13)

2019 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

Ike y Mike entran en una tienda de sándwiches con un total de $\$30.00$ para gastar. Los sándwiches cuestan $\$4.50$ cada uno y los refrescos cuestan $\$1.00$ cada uno. Ike y Mike planean comprar tantos sándwiches como puedan y usar el dinero restante para comprar refrescos. Contando tanto los refrescos como los sándwiches, ¿cuántos artículos comprarán?

Ike and Mike go into a sandwich shop with a total of $\$30.00$ to spend. Sandwiches cost $\$4.50$ each and soft drinks cost $\$1.00$ each. Ike and Mike plan to buy as many sandwiches as they can, and use any remaining money to buy soft drinks. Counting both soft drinks and sandwiches, how many items will they buy?

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Respuesta: D

Conceptos:dinero optimización

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Primero halla la mayor cantidad entera de sándwiches

Find the greatest whole number of sandwiches first

Pista grande:

Gasta el dinero restante en bebidas de $\$1$

Spend the remaining money on $\$1$ drinks

Solución en video:

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Solución escrita:

Si compran $6$ sándwiches, gastarían $6 \times 4.5 = 27$ dólares. Esto significa que ya no podrían comprar ningún sándwich más.

Entonces les quedarían $30 - 27 = 3$ dólares. Con esto, podrían comprar $3$ refrescos. Por lo tanto, comprarían en total $6 + 3 = 9$ artículos.

Así, la respuesta correcta es D.

If they buy $6$ sandwiches, they would spend $6 \times 4.5 = 27$ dollars. This means that they would not be able to buy any more sandwiches.

They would then have $30 - 27 = 3$ dollars left. With this, they could buy $3$ sodas. They would therefore buy a total of $6 + 3 = 9$ items.

Thus, the correct answer is D.

2.

Tres rectángulos idénticos se juntan para formar el rectángulo $ABCD,$ como se muestra en la figura de abajo. Dado que el lado más corto de cada uno de los rectángulos pequeños mide $5$ pies, ¿cuál es el área en pies cuadrados del rectángulo $ABCD$ ?

Three identical rectangles are put together to form rectangle $ABCD,$ as shown in the figure below. Given that the length of the shorter side of each of the smaller rectangles is $5$ feet, what is the area in square feet of rectangle $ABCD?$

$45$

$75$

$100$

$125$

$150$

Respuesta: E

Conceptos:rectángulo área

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

El lado largo de cada rectángulo pequeño equivale a dos lados cortos

The long side of each small rectangle is two short sides

Pista grande:

El rectángulo grande mide $10$ pies por $15$ pies

The big rectangle is $10$ feet by $15$ feet

Solución en video:

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Solución escrita:

En la figura podemos ver que el lado más largo tiene la misma longitud que dos de los lados cortos. Esto lo hace de $2 \cdot 5 = 10$ pies de largo.

Esto nos dice que $BC = 10$ pies y $DC = 10 + 5 = 15$ pies. Por lo tanto, el área es $10 \cdot 15 = 150$ pies cuadrados.

Así, la respuesta correcta es E.

From the figure, we can see that the longer side has the same length as two of the shorter sides. This makes it $2 \cdot 5 = 10$ feet long.

This tells us that $BC = 10$ feet and $DC = 10 + 5 = 15$ feet. Therefore, the area is $10 \cdot 15 = 150$ square feet.

Thus, the correct answer is E.

3.

¿Cuál de las siguientes es la ordenación correcta de las fracciones $\dfrac{15}{11},$ $\dfrac{19}{15},$ y $\dfrac{17}{13},$ de menor a mayor?

Which of the following is the correct order of the fractions $\dfrac{15}{11},$ $\dfrac{19}{15},$ and $\dfrac{17}{13},$ from least to greatest?

$\dfrac{15}{11} \lt \dfrac{17}{13} \lt \dfrac{19}{15}$

$\dfrac{15}{11} \lt \dfrac{19}{15} \lt \dfrac{17}{13}$

$\dfrac{17}{13} \lt \dfrac{19}{15} \lt \dfrac{15}{11}$

$\dfrac{19}{15} \lt \dfrac{15}{11} \lt \dfrac{17}{13}$

$\dfrac{19}{15} \lt \dfrac{17}{13} \lt \dfrac{15}{11}$

Respuesta: E

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Resta $1$ a cada fracción

Subtract $1$ from each fraction

Pista grande:

Compara $\frac{4}{11},$ $\frac{4}{13},$ y $\frac{4}{15}$

Compare $\frac{4}{11},$ $\frac{4}{13},$ and $\frac{4}{15}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos reescribir cada fracción de la siguiente manera: $\begin{align*} \dfrac{15}{11} &= 1 + \dfrac{4}{11} \\ \dfrac{17}{13} &= 1 + \dfrac{4}{13} \\ \dfrac{19}{15} &= 1 + \dfrac{4}{15}. \end{align*}$

Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo numerador, entonces la fracción con el denominador mayor es la menor.

Usando este hecho, podemos ver que la ordenación correcta es $\dfrac{19}{15} \lt \dfrac{17}{13} \lt \dfrac{15}{11}.$

Así, la respuesta correcta es E.

We can rewrite the fraction as follows: $\begin{align*} \dfrac{15}{11} &= 1 + \dfrac{4}{11} \\ \dfrac{17}{13} &= 1 + \dfrac{4}{13} \\ \dfrac{19}{15} &= 1 + \dfrac{4}{15}. \end{align*}$

Recall that if two fractions have the same numerator, then the fraction with the larger denominator is smaller.

Using this fact, we can see that the correct ordering is $\dfrac{19}{15} \lt \dfrac{17}{13} \lt \dfrac{15}{11}.$

Thus, the correct answer is E.

4.

El cuadrilátero $ABCD$ es un rombo con perímetro $52$ metros. La longitud de la diagonal $\overline{AC}$ es $24$ metros. ¿Cuál es el área en metros cuadrados del rombo $ABCD$ ?

Quadrilateral $ABCD$ is a rhombus with perimeter $52$ meters. The length of diagonal $\overline{AC}$ is $24$ meters. What is the area in square meters of rhombus $ABCD?$

$60$

$90$

$105$

$120$

$144$

Respuesta: D

Conceptos:rombo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Cada lado del rombo mide $52\div4$

Each rhombus side is $52\div4$

Pista grande:

Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se bisecan mutuamente

The diagonals of a rhombus are perpendicular and bisect each other

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos dividir el rombo en $4$ triángulos, cada uno de los cuales se ve así.

Sabemos que este es un triángulo rectángulo, ya que las diagonales de un rombo son perpendiculares, y sabemos que la hipotenusa es $52 \div 4 = 13.$

Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos que el otro cateto es $\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5.$

Esto significa que el área del rombo es $4 \cdot \dfrac{5 \cdot 12}{2} = 4 \cdot 30 = 120.$ Así, la respuesta correcta es D.

We can split the rhombus up into $4$ triangles, each of which looks like this.

We know that this is a right triangle, since the diagonals of a rhombus are perpendicular, and we know the hypotenuse is $52 \div 4 = 13.$

Using the Pythagorean theorem, we get the other leg to be $\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5.$

This means that the area of the rhombus is $4 \cdot \dfrac{5 \cdot 12}{2} = 4 \cdot 30 = 120.$ Thus, the correct answer is D.

5.

Una tortuga desafía a una liebre a una carrera. La liebre acepta con entusiasmo y corre rápidamente hacia adelante, dejando atrás a la lenta tortuga. Confiada en que ganará, la liebre se detiene a tomar una siesta. Mientras tanto, la tortuga camina a un paso lento y constante durante toda la carrera. La liebre se despierta y corre hacia la meta, solo para encontrar a la tortuga ya allí. ¿Cuál de las siguientes gráficas coincide con la descripción de la carrera, mostrando la distancia $d$ recorrida por los dos animales a lo largo del tiempo $t$ desde el inicio hasta el final?

A tortoise challenges a hare to a race. The hare eagerly agrees and quickly runs ahead, leaving the slow-moving tortoise behind. Confident that he will win, the hare stops to take a nap. Meanwhile, the tortoise walks at a slow steady pace for the entire race. The hare awakes and runs to the finish line, only to find the tortoise already there. Which of the following graphs matches the description of the race, showing the distance $d$ traveled by the two animals over time $t$ from start to finish?

Respuesta: B

Conceptos:interpretación de datos y gráficas distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

La gráfica de la tortuga es una sola línea recta

The tortoise’s graph is one straight line

Pista grande:

La gráfica de la liebre tiene una parte plana durante la siesta

The hare’s graph has a flat part during the nap

Solución en video:

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Solución escrita:

La trayectoria de la liebre es la que tiene la línea horizontal en el medio, que representa el periodo en que la liebre tomó una siesta.

También sabemos que el tiempo que le toma a la liebre llegar a la meta es mayor que el tiempo que le tomó a la tortuga.

Esto significa que el final de la trayectoria de la liebre debe tener un valor de $x$ mayor. Esto es exactamente la gráfica $B.$

Así, la respuesta correcta es B.

The hare’s path is the one with the horizontal line in the middle, which represents the period when the hare took a nap.

We also know that the time it takes the hare to reach the finish line is longer than the time it took the tortoise.

This means that the end of the hare’s path should have a larger $x$ -value. This is exactly graph $B.$

Thus, the correct answer is B.

6.

Hay $81$ puntos de una cuadrícula (uniformemente espaciados) en el cuadrado que se muestra en el diagrama de abajo, incluidos los puntos en los bordes. El punto $P$ está en el centro del cuadrado. Dado que el punto $Q$ se elige al azar entre los otros $80$ puntos, ¿cuál es la probabilidad de que la recta $PQ$ sea un eje de simetría del cuadrado?

There are $81$ grid points (uniformly spaced) in the square shown in the diagram below, including the points on the edges. Point $P$ is in the center of the square. Given that point $Q$ is randomly chosen among the other $80$ points, what is the probability that the line $PQ$ is a line of symmetry for the square?

$\displaystyle \dfrac{1}{5}$

$\displaystyle \dfrac{1}{4}$

$\displaystyle \dfrac{2}{5}$

$\displaystyle \dfrac{9}{20}$

$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Un cuadrado tiene $4$ ejes de simetría

A square has $4$ symmetry lines

Pista grande:

Cada eje de simetría tiene $8$ puntos posibles además de $P$

Each symmetry line has $8$ possible points besides $P$

Solución en video:

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Solución escrita:

Los únicos ejes de simetría de un cuadrado son sus dos diagonales y las dos rectas que unen puntos medios opuestos.

En cada eje de simetría hay $8$ puntos de la cuadrícula distintos de $P.$ Los cuatro ejes solo se cortan en $P,$ que no se puede elegir, así que hay $4 \cdot 8 = 32$ opciones distintas para $Q.$

Por tanto, la probabilidad es $\dfrac{32}{80} = \dfrac{2}{5}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Note the only lines of symmetry for a square are the two diagonals and the two lines connecting opposite midpoints.

On each symmetry line there are $8$ grid points other than $P.$ The four lines intersect only at $P,$ which is not eligible, so these give $4 \cdot 8 = 32$ distinct choices for $Q.$

The probability is therefore $\dfrac{32}{80} = \dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

7.

Shauna hace cinco exámenes, cada uno con un máximo de $100$ puntos. Sus calificaciones en los tres primeros exámenes son $76,$ $94,$ y $87.$ Para promediar $81$ en los cinco exámenes, ¿cuál es la calificación más baja que podría obtener en uno de los otros dos exámenes?

Shauna takes five tests, each worth a maximum of $100$ points. Her scores on the first three tests are $76,$ $94,$ and $87.$ In order to average $81$ for all five tests, what is the lowest score she could earn on one of the other two tests?

$48$

$52$

$66$

$70$

$74$

Respuesta: A

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Las cinco calificaciones deben sumar $5\cdot81$

The five scores must total $5\cdot81$

Pista grande:

Haz que una de las calificaciones restantes sea lo más grande posible

Make one remaining score as large as possible

Solución en video:

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Solución escrita:

Para minimizar una de las calificaciones, tenemos que maximizar la otra. Supón que Shauna obtiene un $100$ en su cuarto examen.

La suma de los $4$ exámenes es entonces $76 + 94 + 87 + 100 = 357.$ Para un promedio de $81,$ las calificaciones de Shauna deben sumar $5 \cdot 81 = 405.$ Esto significa que necesita obtener un $405 - 357 = 48$ en su último examen.

Así, la respuesta correcta es A.

To minimize one of the scores, we have to maximize the other score. Assume that Shauna gets a $100$ on her fourth test.

The sum of the $4$ tests is then $76 + 94 + 87 + 100 = 357.$ For an average of $81,$ Shauna’s test scores must add to $5 \cdot 81 = 405.$ This means that she needs to get a $405 - 357 = 48$ on her last test.

Thus, the correct answer is A.

8.

Gilda tiene una bolsa de canicas. Le da el $20\%$ de ellas a su amigo Pedro. Luego Gilda le da el $10\%$ de lo que queda a otra amiga, Ebony. Finalmente, Gilda le da el $25\%$ de lo que ahora queda en la bolsa a su hermano Jimmy. ¿Qué porcentaje de su bolsa original de canicas le queda a Gilda para sí misma?

Gilda has a bag of marbles. She gives $20\%$ of them to her friend Pedro. Then Gilda gives $10\%$ of what is left to another friend, Ebony. Finally, Gilda gives $25\%$ of what is now left in the bag to her brother Jimmy. What percentage of her original bag of marbles does Gilda have left for herself?

$20$

$33\dfrac{1}{3}$

$38$

$45$

$54$

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Empieza con $100$ canicas

Start with $100$ marbles

Pista grande:

Los sobrantes sucesivos son $80\%$ , luego $90\%$ , luego $75\%$

Successive leftovers are $80\%$ , then $90\%$ , then $75\%$

Solución en video:

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Solución escrita:

Supón que Gilda empieza con $100$ canicas. Después de darle $20$ canicas a Pedro, le quedan $100 - 20 = 80$ canicas.

Luego le da $80 \times 0.1 = 8$ canicas a Ebony, quedándole $80 - 8 = 72$ canicas.

Finalmente, Gilda le da $72 \times 0.25 = 18$ canicas a Jimmy. Le queda un total de $72 - 18 = 54$ canicas, que es el $54\%$ de su total original.

Así, la respuesta correcta es E.

Assume that Gilda starts off with $100$ marbles. After giving $20$ marbles to Pedro, she has $100 - 20 = 80$ marbles left.

She then gives $80 \times 0.1 = 8$ marbles to Ebony, with her having $80 - 8 = 72$ marbles left.

Finally, Gilda gives $72 \times 0.25 = 18$ marbles to Jimmy. She has a total of $72 - 18 = 54$ marbles left, which is $54\%$ of her original total.

Thus, the correct answer is E.

9.

Alex y Felicia tienen gatos como mascotas. Alex compra comida para gatos en latas cilíndricas que miden $6$ cm de diámetro y $12$ cm de alto. Felicia compra comida para gatos en latas cilíndricas que miden $12$ cm de diámetro y $6$ cm de alto. ¿Cuál es la razón entre el volumen de una de las latas de Alex y el volumen de una de las latas de Felicia?

Alex and Felicia each have cats as pets. Alex buys cat food in cylindrical cans that are $6$ cm in diameter and $12$ cm high. Felicia buys cat food in cylindrical cans that are $12$ cm in diameter and $6$ cm high. What is the ratio of the volume of one of Alex’s cans to the volume of one of Felicia’s cans?

$1:4$

$1:2$

$1:1$

$2:1$

$4:1$

Respuesta: B

Conceptos:cilindro volumen

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

El volumen es $\pi r^2h$

Volume is $\pi r^2h$

Pista grande:

El radio de Felicia se duplica mientras su altura se reduce a la mitad

Felicia’s radius doubles while her height halves

Solución en video:

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Solución escrita:

El diámetro de Felicia es el doble que el de Alex, lo que significa que su radio también es el doble.

Recuerda que la fórmula para el área de un círculo es $\pi r^2.$ Si el radio se duplica, entonces el área se cuadruplica.

Esto significa que la base de la lata de Felicia tiene $4$ veces el área de la base de la lata de Alex.

También vemos que la lata de Alex es el doble de alta que la de Felicia. La fórmula para el volumen de una lata es base por altura.

Usando esta fórmula, vemos que la lata de Felicia tendrá el doble de volumen que la de Alex, ya que $4 \div 2 = 2.$

Así, la respuesta correcta es B.

Felicia’s diameter is twice as much as Alex’s which means that her radius is also twice as much.

Recall that the formula for the area of a circle is $\pi r^2.$ If the radius is doubled, then the area is quadrupled.

This means that the base of Felicia’s can has $4$ times the area as the base of Alex’s can.

We also see that Alex’s can is twice as tall as Felicia’s can. The formula for the volume of a can is base times height.

Using this formula, we see that Felicia’s can will have twice the volume of Alex’s can since $4 \div 2 = 2.$

Thus, the correct answer is B.

10.

El diagrama muestra el número de estudiantes en la práctica de fútbol cada día de la semana durante la semana pasada. Después de calcular la media y la mediana, el entrenador descubre que en realidad hubo $21$ participantes el miércoles. ¿Cuál de los siguientes enunciados describe el cambio en la media y la mediana después de hacer la corrección?

The diagram shows the number of students at soccer practice each weekday during last week. After computing the mean and median values, Coach discovers that there were actually $21$ participants on Wednesday. Which of the following statements describes the change in the mean and median after the correction is made?

La media aumenta en $1$ y la mediana no cambia.

The mean increases by $1$ and the median does not change.

La media aumenta en $1$ y la mediana aumenta en $1.$

The mean increases by $1$ and the median increases by $1.$

La media aumenta en $1$ y la mediana aumenta en $5.$

The mean increases by $1$ and the median increases by $5.$

La media aumenta en $5$ y la mediana aumenta en $1.$

The mean increases by $5$ and the median increases by $1.$

La media aumenta en $5$ y la mediana aumenta en $5.$

The mean increases by $5$ and the median increases by $5.$

Respuesta: B

Conceptos:media mediana (datos)

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

La corrección añade $5$ estudiantes en total

The correction adds $5$ students total

Pista grande:

Compara las listas ordenadas antes y después de reemplazar el valor del miércoles

Compare the ordered lists before and after replacing Wednesday’s value

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $5$ participantes más, lo que significa que la media aumenta en $5 \div 5 = 1.$

En este momento, podemos ver que la mediana es $20.$ Si $16$ se reemplaza por $21,$ entonces la mediana se convierte en $21.$

Esto muestra que la mediana también aumenta en $1.$

Así, la respuesta correcta es B.

There are $5$ more participants, which means the mean is increased by $5 \div 5 = 1.$

Right now, we can see that the median is $20.$ If $16$ gets replaced with $21,$ then the median becomes $21.$

This shows that the median is also increased by $1.$

Thus, the correct answer is B.

11.

La clase de octavo grado de la Escuela Secundaria Lincoln tiene $93$ estudiantes. Cada estudiante toma una clase de matemáticas o una clase de idioma extranjero, o ambas. Hay $70$ estudiantes de octavo grado que toman una clase de matemáticas, y hay $54$ estudiantes de octavo grado que toman una clase de idioma extranjero. ¿Cuántos estudiantes de octavo grado toman solo una clase de matemáticas y no una clase de idioma extranjero?

The eighth grade class at Lincoln Middle School has $93$ students. Each student takes a math class or a foreign language class or both. There are $70$ eighth graders taking a math class, and there are $54$ eighth graders taking a foreign language class. How many eighth graders take only a math class and not a foreign language class?

$16$

$23$

$31$

$39$

$70$

Respuesta: D

Conceptos:inclusión-exclusión Diagrama de Venn

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Primero halla cuántos estudiantes se cuentan dos veces

First find how many students are counted twice

Pista grande:

Solo matemáticas = total de matemáticas menos ambas clases

Only math = math total minus both classes

Solución en video:

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Solución escrita:

El número de estudiantes que toman ambas clases es $70 + 54 - 93 = 31.$ Restar este número del total de estudiantes que toman matemáticas nos da la cantidad que toma solo matemáticas.

El número buscado es $70 - 31 = 39.$

Así, la respuesta correcta es D.

The number of kids that are taking both classes is $70 + 54 - 93 = 31.$ Subtracting this from the number of kids taking a math class will give us the number of kids taking only a math class.

The desired number is $70 - 31 = 39.$

Thus, the correct answer is D.

12.

Las caras de un cubo están pintadas de seis colores diferentes: rojo ( $R$ ), blanco ( $W$ ), verde ( $G$ ), marrón ( $B$ ), aguamarina ( $A$ ) y morado ( $P$ ). A continuación se muestran tres vistas del cubo. ¿De qué color es la cara opuesta a la cara aguamarina?

The faces of a cube are painted in six different colors: red ( $R$ ), white ( $W$ ), green ( $G$ ), brown ( $B$ ), aqua ( $A$ ), and purple ( $P$ ). Three views of the cube are shown below. What is the color of the face opposite the aqua face?

rojo

red

blanco

white

verde

green

marrón

brown

morado

purple

Respuesta: A

Conceptos:geometría del cubo deducción lógica

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Encuentra dos pares opuestos a partir de las caras adyacentes compartidas

Find two opposite pairs from the shared adjacent faces

Pista grande:

Una vez conocidos dos pares opuestos, los dos colores restantes son opuestos

After two opposite pairs are known, the remaining two colors are opposite

Solución en video:

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Solución escrita:

Usando el primer y el tercer cubo, podemos ver que el marrón es opuesto al morado.

De manera similar, con el primer y el segundo cubo, vemos que el verde y el blanco son opuestos.

El único color que queda para emparejar con el aguamarina es el rojo, así que el aguamarina y el rojo son caras opuestas.

Así, la respuesta correcta es A.

Using the first and third cubes, we can see that brown is opposite purple.

Similarly, with the first and second cubes, we see that green and white are opposites.

The only color left to pair with aqua is red, so aqua and red are opposite faces.

Thus, the correct answer is A.

13.

Un palíndromo es un número que tiene el mismo valor cuando se lee de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. (Por ejemplo, $12321$ es un palíndromo.) Sea $N$ el menor entero de tres cifras que no es un palíndromo pero que es la suma de tres palíndromos distintos de dos cifras. ¿Cuál es la suma de las cifras de $N$ ?

A palindrome is a number that has the same value when read from left to right or from right to left. (For example, $12321$ is a palindrome.) Let $N$ be the least three-digit integer which is not a palindrome but which is the sum of three distinct two-digit palindromes. What is the sum of the digits of $N?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: A

Conceptos:palíndromo divisibilidad

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Todo palíndromo de dos cifras es un múltiplo de $11$

Every two-digit palindrome is a multiple of $11$

Pista grande:

Revisa el primer múltiplo de $11$ de tres cifras que no sea un palíndromo

Check the first three-digit multiple of $11$ that is not a palindrome

Solución en video:

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Solución escrita:

Nota que los palíndromos de $2$ cifras tienen la cifra de las decenas y la de las unidades iguales. Esto significa que todos son múltiplos de $11.$

Si un número de $3$ cifras es la suma de $3$ palíndromos de $2$ cifras, entonces él mismo también debe ser un múltiplo de $11.$

El menor número de $3$ cifras que es múltiplo de $11$ y no es palíndromo es $110.$ Esto se puede lograr sumando $11 + 22 + 77.$

Por lo tanto, $N = 110.$ La suma de sus cifras es $1 + 1 + 0 = 2.$

Así, la respuesta correcta es A.

Note that $2$ -digit palindromes have the tens and units digits the same. This means that they are all multiples of $11.$

If a $3$ -digit number is the sum of $3$ $2$ -digit palindromes, then it itself must also be a multiple of $11.$

The smallest $3$ -digit multiple of $11$ that is not a palindrome is $110.$ This can be achieved by adding $11 + 22 + 77.$

Therefore, $N = 110.$ The sum of its digits is $1 + 1 + 0 = 2.$

Thus, the correct answer is A.

14.

Isabella tiene $6$ cupones que se pueden canjear por conos de helado gratis en Pete’s Sweet Treats. Para hacer que los cupones duren, decide que canjeará uno cada $10$ días hasta usarlos todos. Sabe que Pete’s cierra los domingos, pero al marcar con un círculo las $6$ fechas en su calendario, se da cuenta de que ninguna fecha marcada cae en domingo. ¿En qué día de la semana canjea Isabella su primer cupón?

Isabella has $6$ coupons that can be redeemed for free ice cream cones at Pete’s Sweet Treats. In order to make the coupons last, she decides that she will redeem one every $10$ days until she has used them all. She knows that Pete’s is closed on Sundays, but as she circles the $6$ dates on her calendar, she realizes that no circled date falls on a Sunday. On what day of the week does Isabella redeem her first coupon?

lunes

Monday

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

jueves

Thursday

viernes

Friday

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular fecha y hora

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Cada $10$ días el día de la semana avanza $3$

Every $10$ days advances the weekday by $3$

Pista grande:

Los seis días abarcan todos los días de la semana excepto uno

The six days hit every weekday except one

Solución en video:

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Solución escrita:

Repasemos las opciones de respuesta.

Cada canje es $10$ días después, lo que avanza el día de la semana en $3$ días.

Comenzando en el día $x,$ los seis días de canje son $x, x+3, x+6, x+2, x+5,$ y $x+1$ módulo $7.$

El único día de la semana que falta es $x+4,$ así que el domingo debe caer cuatro días después del primer día de canje. Cuatro días antes del domingo es el miércoles.

Así, la respuesta correcta es C.

Let us go through the answer choices.

Each redemption is $10$ days later, which advances the weekday by $3$ days.

Starting on day $x,$ the six redemption days are $x, x+3, x+6, x+2, x+5,$ and $x+1$ modulo $7.$

The only missed weekday is $x+4,$ so Sunday must be four days after the first redemption day. Four days before Sunday is Wednesday.

Thus, the correct answer is C.

15.

En una playa $50$ personas llevan gafas de sol y $35$ personas llevan gorras. Algunas personas llevan tanto gafas de sol como gorra. Si se selecciona al azar a una de las personas que llevan gorra, la probabilidad de que esa persona también lleve gafas de sol es $\dfrac{2}{5}.$ Si en cambio se selecciona al azar a alguien que lleva gafas de sol, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona también lleve gorra?

On a beach $50$ people are wearing sunglasses and $35$ people are wearing caps. Some people are wearing both sunglasses and caps. If one of the people wearing a cap is selected at random, the probability that this person is also wearing sunglasses is $\dfrac{2}{5}.$ If instead, someone wearing sunglasses is selected at random, what is the probability that this person is also wearing a cap?

$\displaystyle \dfrac{14}{85}$

$\displaystyle \dfrac{7}{25}$

$\displaystyle \dfrac{2}{5}$

$\displaystyle \dfrac{4}{7}$

$\displaystyle \dfrac{7}{10}$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad condicional

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Usa el grupo de las gorras para hallar el número de quienes llevan ambas

Use the cap group to find the number wearing both

Pista grande:

Luego divide esa misma intersección entre el número de quienes llevan gafas de sol

Then divide that same overlap by the number wearing sunglasses

Solución en video:

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Solución escrita:

Si la probabilidad es $\dfrac{2}{5},$ eso significa que $\dfrac{2}{5}$ de las personas que llevan gorra también llevan gafas de sol.

Esto significa que $35 \cdot \dfrac{2}{5} = 14$ personas llevan tanto gorra como gafas de sol.

La probabilidad de que una persona que lleva gafas de sol también lleve gorra es $\dfrac{14}{50} = \dfrac{7}{25}.$

Así, la respuesta correcta es B.

If the probability is $\dfrac{2}{5},$ that means $\dfrac{2}{5}$ of the people wearing caps are also wearing sunglasses.

This means that $35 \cdot \dfrac{2}{5} = 14$ people are wearing both caps and sunglasses.

The probability of a person wearing sunglasses also wearing a cap is $\dfrac{14}{50} = \dfrac{7}{25}.$

Thus, the correct answer is B.

16.

Qiang conduce $15$ millas a una velocidad promedio de $30$ millas por hora. ¿Cuántas millas adicionales tendrá que conducir a $55$ millas por hora para promediar $50$ millas por hora en todo el viaje?

Qiang drives $15$ miles at an average speed of $30$ miles per hour. How many additional miles will he have to drive at $55$ miles per hour to average $50$ miles per hour for the entire trip?

$45$

$62$

$90$

$110$

$135$

Respuesta: D

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Las primeras $15$ millas tomaron $\frac12$ hora

The first $15$ miles took $\frac12$ hour

Pista grande:

Iguala el tiempo total a la distancia total dividida entre $50$

Set total time equal to total distance divided by $50$

Solución en video:

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Solución escrita:

Para las primeras $15$ millas, Qiang condujo durante $\dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}$ hora.

Sea $x$ la distancia que Qiang debe conducir para satisfacer la condición. Le tomará $\dfrac{x}{55}$ horas conducir esta distancia.

El viaje total es ahora $15 + x$ millas. Sabemos que la velocidad promedio es $50$ millas por hora, así que esto le tomará $\dfrac{x + 15}{50}$ horas.

Igualando los dos tiempos, obtenemos $\dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{55} = \dfrac{x + 15}{50}.$

Multiplicando en cruz y simplificando se obtiene $15 + x = 25 + \dfrac{10x}{11} \Rightarrow x = 110.$

Así, la respuesta correcta es D.

For the first $15$ miles, Qiang drove for $\dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}$ an hour.

Let $x$ be the distance that Qiang must drive to satisfy the condition. It will take him $\dfrac{x}{55}$ hours to drive this distance.

The total trip is now $15 + x$ miles. We know the average speed is $50$ miles per hour, so this will take him $\dfrac{x + 15}{50}$ hours.

Setting the two times equal to each other, we get $\dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{55} = \dfrac{x + 15}{50}.$

Cross-multiplying and simplifying yields $15 + x = 25 + \dfrac{10x}{11} \Rightarrow x = 110.$

Thus, the correct answer is D.

17.

¿Cuál es el valor del producto de abajo?

$\begin{align*}\displaystyle & \left(\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\right)\left(\dfrac{2\cdot 4}{3\cdot 3}\right)\left(\dfrac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\right) \\ & \dots\left(\dfrac{97\cdot 99}{98\cdot 98}\right)\left(\dfrac{98\cdot 100}{99\cdot 99}\right) \end{align*}$

What is the value of the product below?

$\begin{align*}\displaystyle & \left(\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\right)\left(\dfrac{2\cdot 4}{3\cdot 3}\right)\left(\dfrac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\right) \\ & \dots\left(\dfrac{97\cdot 99}{98\cdot 98}\right)\left(\dfrac{98\cdot 100}{99\cdot 99}\right) \end{align*}$

$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

$\displaystyle \dfrac{50}{99}$

$\displaystyle \dfrac{9800}{9801}$

$\displaystyle \dfrac{100}{99}$

$50$

Respuesta: B

Conceptos:telescópica fracción

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Reescribe cada factor para alinear las cancelaciones

Rewrite each factor to line up cancellations

Pista grande:

Solo quedan el primer $\frac12$ y el último $\frac{100}{99}$

Only the first $\frac12$ and the last $\frac{100}{99}$ remain

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos reagrupar todos los factores de la siguiente manera. $\begin{align*} & \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{3 \cdot 2}{2\cdot 3}\right)\left(\dfrac{4\cdot 3}{3\cdot 4}\right) \\ & \dots\left(\dfrac{99\cdot 98}{98\cdot 99}\right) \cdot \dfrac{100}{99} \end{align*}$

A partir de esta representación, podemos ver que todos los términos intermedios se cancelan y queda solo $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{100}{99} = \dfrac{50}{99}.$

Así, la respuesta correcta es B.

We can regroup all the factors as follows. $\begin{align*} & \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{3 \cdot 2}{2\cdot 3}\right)\left(\dfrac{4\cdot 3}{3\cdot 4}\right) \\ & \dots\left(\dfrac{99\cdot 98}{98\cdot 99}\right) \cdot \dfrac{100}{99} \end{align*}$

From this representation, we can see that all the middle terms cancel leaving only $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{100}{99} = \dfrac{50}{99}.$

Thus, the correct answer is B.

18.

Las caras de cada uno de dos dados equilibrados están numeradas $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ y $8.$ Cuando se lanzan los dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que su suma sea un número par?

The faces of each of two fair dice are numbered $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ and $8.$ When the two dice are tossed, what is the probability that their sum will be an even number?

$\displaystyle \dfrac{4}{9}$

$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

$\displaystyle \dfrac{5}{9}$

$\displaystyle \dfrac{3}{5}$

$\displaystyle \dfrac{2}{3}$

Respuesta: C

Conceptos:dados (probabilidad)paridad

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Una suma par significa que ambos dados tienen la misma paridad

An even sum means both dice have the same parity

Pista grande:

Cada dado tiene $2$ caras pares y $4$ caras impares

Each die has $2$ even faces and $4$ odd faces

Solución en video:

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Solución escrita:

Las únicas dos formas en que la suma puede ser par son que ambos lanzamientos sean pares o que ambos sean impares.

La probabilidad de que un lanzamiento sea par es $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3},$ y la probabilidad de que sea impar es $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.$

Por lo tanto, la probabilidad buscada es $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{9}.$

Así, la respuesta correcta es C.

The only two ways that the sum can be even is if both rolls are even or both are odd.

The probability that a roll is even is $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3},$ and the probability that it is odd is $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.$

Therefore, the desired probability is $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{9}.$

Thus, the correct answer is C.

19.

En un torneo hay seis equipos que se enfrentan entre sí dos veces. Un equipo gana $3$ puntos por una victoria, $1$ punto por un empate y $0$ puntos por una derrota. Después de haberse jugado todos los partidos, resulta que los tres mejores equipos obtuvieron el mismo número total de puntos. ¿Cuál es el mayor número posible de puntos totales para cada uno de los tres mejores equipos?

In a tournament there are six teams that play each other twice. A team earns $3$ points for a win, $1$ point for a draw, and $0$ points for a loss. After all the games have been played it turns out that the top three teams earned the same number of total points. What is the greatest possible number of total points for each of the top three teams?

$22$

$23$

$24$

$26$

$30$

Respuesta: C

Conceptos:optimización argumento extremal

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Los tres mejores deben ganar todos los partidos contra los tres peores

The top three should win all games against the bottom three

Pista grande:

Entre los tres mejores, reparte equitativamente los puntos de cada par de partidos

Among the top three, keep all points while splitting each pair evenly

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada uno de los tres mejores equipos juega $6$ partidos contra los tres últimos, por lo que puede obtener como máximo $6 \cdot 3 = 18$ puntos de esos partidos.

Entre los tres mejores equipos hay $3$ pares y, por tanto, $6$ partidos. Cada partido reparte como máximo $3$ puntos en total, así que esos partidos reparten como máximo $18$ puntos entre los tres equipos. Si sus puntuaciones finales son iguales, cada uno puede recibir como máximo $\frac{18}{3}=6$ de esos puntos.

Así, cada equipo de los tres primeros tiene como máximo $18+6=24$ puntos. La cota se alcanza si todos vencen a los tres últimos y, en cada pareja de los tres primeros, cada equipo gana uno de sus dos partidos. Entonces cada uno obtiene $18+6=24$ puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each top team plays $6$ games against the bottom three teams, so it can earn at most $6 \cdot 3 = 18$ points from those games.

Among the top three teams, there are $3$ pairs and hence $6$ games. Each game awards at most $3$ points total, so these games award at most $18$ points among the three teams. If their final scores are equal, each can therefore receive at most $\frac{18}{3}=6$ of those points.

Thus each top team has at most $18+6=24$ points. This bound is attainable: let every top team win all its games against the bottom teams, and for each pair of top teams let each team win one of their two games. Then each top team earns $18+6=24$ points.

Thus, the correct answer is C.

20.

¿Cuántos números reales diferentes $x$ satisfacen la ecuación

$(x^2 - 5)^2 = 16?$

How many different real numbers $x$ satisfy the equation

$(x^2 - 5)^2 = 16?$

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

Respuesta: D

Conceptos:diferencia de cuadrados cuadrática

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Considera $x^2 - 5$ como la cantidad que se eleva al cuadrado

Let $x^2 - 5$ be the quantity being squared

Pista grande:

Resuelve por separado $x^2 - 5 = 4$ y $x^2 - 5 = -4$

Solve $x^2 - 5 = 4$ and $x^2 - 5 = -4$

Solución en video:

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Solución escrita:

Recuerda que $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).$ Podemos hacer el siguiente reordenamiento. $\begin{aligned} (x^2 - 5)^2 - 4^2 &= 0 \\ (x^2 - 1)(x^2 - 9) &= 0 \end{aligned}$

De esto podemos ver que hay $4$ valores posibles para $x.$

Así, la respuesta correcta es D.

Recall that $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).$ We can do the following rearrangement. $\begin{aligned} (x^2 - 5)^2 - 4^2 &= 0 \\ (x^2 - 1)(x^2 - 9) &= 0 \end{aligned}$

From this we can see that there are $4$ possible values for $x.$

Thus, the correct answer is D.

21.

¿Cuál es el área del triángulo formado por las rectas $y = 5,$ $y = 1 + x,$ y $y = 1 - x$ ?

What is the area of the triangle formed by the lines $y = 5,$ $y = 1 + x,$ and $y = 1 - x?$

$4$

$8$

$10$

$12$

$16$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica área del triángulo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Halla las tres intersecciones por pares

Find the three pairwise intersections

Pista grande:

Usa el lado horizontal sobre $y = 5$ como la base

Use the horizontal side on $y = 5$ as the base

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, hallemos los vértices del triángulo. Las intersecciones entre $y = 5$ y las otras dos rectas son $(4, 5)$ y $(-4, 5)$ .

Para hallar la tercera intersección, podemos igualar las dos ecuaciones para obtener $1 + x = 1 - x \Rightarrow x = 0.$

Esto nos da el punto $(0, 1).$

Nota que los dos primeros puntos de intersección son simétricos respecto al eje $y$ . Esto nos dice que el triángulo es isósceles.

Por lo tanto, la base es $2 \cdot 4 = 8,$ y la altura es $5 - 1 = 4.$ Así, el área del triángulo es $\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16.$

Así, la respuesta correcta es E.

First, let us find the vertices of the triangle. The intersections between $y = 5$ and the other two lines are $(4, 5)$ and $(-4, 5)$ .

To find the third intersection, we can equate the two equations to get $1 + x = 1 - x \Rightarrow x = 0.$

This gives us the point $(0, 1).$

Note that the first two intersection points are mirrored across the $y$ -axis. This tells us that the triangle is isosceles.

The base is therefore $2 \cdot 4 = 8,$ and the height is $5 - 1 = 4.$ The area of the triangle is therefore $\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16.$

Thus, the correct answer is E.

22.

Una tienda aumentó el precio original de una camisa en cierto porcentaje y luego disminuyó el nuevo precio en el mismo porcentaje. Dado que el precio resultante fue el $84\%$ del precio original, ¿en qué porcentaje se aumentó y se disminuyó el precio?

A store increased the original price of a shirt by a certain percent and then decreased the new price by the same percent. Given that the resulting price was $84\%$ of the original price, by what percent was the price increased and decreased?

$16$

$20$

$28$

$36$

$40$

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Un aumento de $x$ seguido de una disminución de $x$ multiplica el precio por $(1 + x)(1 - x)$

An increase by $x$ and decrease by $x$ multiplies by $(1 + x)(1 - x)$

Pista grande:

Plantea $1 - x^2 = 0.84$

Set $1 - x^2 = 0.84$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $x$ el porcentaje convertido en un número real. Entonces el aumento porcentual multiplicaría el original por $1 + x.$

La disminución porcentual multiplicaría el nuevo precio por $1 - x.$ El precio final será entonces el precio original multiplicado por $(1 + x)(1 - x) = 1 - x^2 = 0.84.$

Esto nos dice que $x^2 = 0.16 \Rightarrow x = 0.4.$

Esto nos dice que el porcentaje sería $40\%.$

Así, la respuesta correcta es E.

Let $x$ be the percent converted to a real number. Then the percent increase would multiply the original by $1 + x.$

The percent decrease would multiply the new price by $1 - x.$ The final price will then be the original price multiplied by $(1 + x)(1 - x) = 1 - x^2 = 0.84.$

This tells us that $x^2 = 0.16 \Rightarrow x = 0.4.$

This tells us that the percent would be $40\%.$

Thus, the correct answer is E.

23.

Después del último partido de baloncesto de la Escuela Secundaria Euclid, se determinó que $\dfrac{1}{4}$ de los puntos del equipo fueron anotados por Alexa y $\dfrac{2}{7}$ fueron anotados por Brittany. Chelsea anotó $15$ puntos. Ninguno de los otros $7$ miembros del equipo anotó más de $2$ puntos. ¿Cuál fue el número total de puntos anotados por los otros $7$ miembros del equipo?

After Euclid High School’s last basketball game, it was determined that $\dfrac{1}{4}$ of the team’s points were scored by Alexa and $\dfrac{2}{7}$ were scored by Brittany. Chelsea scored $15$ points. None of the other $7$ team members scored more than $2$ points. What was the total number of points scored by the other $7$ team members?

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Respuesta: B

Conceptos:divisibilidad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

El puntaje total debe ser un múltiplo de $28$

The total score must be a multiple of $28$

Pista grande:

Los otros siete jugadores juntos anotaron a lo sumo $14$

The other seven players together scored at most $14$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $x$ el número total de puntos y $y$ la respuesta buscada.

Del enunciado se obtiene $\dfrac{x}{4} + \dfrac{2x}{7} + 15 + y = x.$

Al simplificar, $y + 15 = \dfrac{13x}{28}.$

Sabemos que $y \leq 14$ , pues ninguno de los $7$ integrantes anotó más de $2$ puntos.

También $x$ debe ser múltiplo de $28.$ Si $x = 28,$ entonces $y + 15 = 13 \Rightarrow y = -2,$ lo cual no está permitido.

Si $x = 2 \cdot 28 = 56,$ entonces $y + 15 = 26 \Rightarrow y = 11,$ lo cual funciona.

El siguiente total posible es $x = 84,$ que daría $y = 24 > 14.$ Todo múltiplo mayor de $28$ hace que $y$ sea aún mayor, así que $y = 11$ es el único valor posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $x$ be the total number of points and $y$ be the desired answer.

Then from the problem statement we get that $\dfrac{x}{4} + \dfrac{2x}{7} + 15 + y = x.$

Simplifying yields $y + 15 = \dfrac{13x}{28}.$

We know that $y \leq 14$ since none of the $7$ team members scored more than $2$ points.

We also know that $x$ must be a multiple of $28.$ If $x = 28,$ then we get that $y + 15 = 13 \Rightarrow y = -2,$ which is not allowed.

If $x = 2 \cdot 28 = 56,$ then we have that $y + 15 = 26 \Rightarrow y = 11,$ which works.

The next possible total is $x = 84,$ which would give $y = 24 > 14.$ Every larger multiple of $28$ makes $y$ still larger, so $y = 11$ is the only possible value.

Thus, the correct answer is B.

24.

En el triángulo $ABC,$ el punto $D$ divide el lado $\overline{AC}$ de modo que $AD : DC = 1 : 2.$ Sea $E$ el punto medio de $\overline{BD}$ y sea $F$ el punto de intersección de la recta $BC$ y la recta $AE.$ Dado que el área de $\triangle ABC$ es $360,$ ¿cuál es el área de $\triangle EBF$ ?

In triangle $ABC,$ point $D$ divides side $\overline{AC}$ so that $AD : DC = 1 : 2.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{BD}$ and let $F$ be the point of intersection of line $BC$ and line $AE.$ Given that the area of $\triangle ABC$ is $360,$ what is the area of $\triangle EBF?$

$24$

$30$

$32$

$36$

$40$

Respuesta: B

Conceptos:razón de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Usa razones de áreas a partir de bases sobre la misma recta

Use area ratios from bases on the same line

Pista grande:

Sea $x = [EBF]$ y usa $[AFD] : [DFC] = 1 : 2$

Let $x = [EBF]$ and use $[AFD] : [DFC] = 1 : 2$

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $AD : DC = 1 : 2,$ los triángulos $ABD$ y $DBC$ tienen áreas en la razón $1 : 2.$ Así, $[ABD] = 120$ y $[DBC] = 240.$

Como $E$ es el punto medio de $BD,$ los triángulos $ABE$ y $AED$ tienen cada uno área $60.$ Sea $x = [EBF].$ Entonces $[DEF] = x$ también, ya que $BE = ED$ y ambos triángulos tienen su tercer vértice sobre la recta $AF.$

El segmento $DF$ divide $\triangle DBC,$ así que $[DFC] = 240 - 2x.$ Además, $\triangle ADF$ y $\triangle DFC$ tienen las bases $AD$ y $DC$ sobre la misma recta, por lo que sus áreas están en la razón $1 : 2.$

Por lo tanto, $\dfrac{60 + x}{240 - 2x} = \dfrac{1}{2}.$ Al resolver se obtiene $120 + 2x = 240 - 2x,$ así que $x = 30.$

Así, la respuesta correcta es B.

Since $AD : DC = 1 : 2,$ triangles $ABD$ and $DBC$ have areas in the ratio $1 : 2.$ Thus $[ABD] = 120$ and $[DBC] = 240.$

Because $E$ is the midpoint of $BD,$ triangles $ABE$ and $AED$ each have area $60.$ Let $x = [EBF].$ Then $[DEF] = x$ as well, since $BE = ED$ and both triangles have their third vertex on line $AF.$

Segment $DF$ splits $\triangle DBC,$ so $[DFC] = 240 - 2x.$ Also, $\triangle ADF$ and $\triangle DFC$ have bases $AD$ and $DC$ on the same line, so their areas are in the ratio $1 : 2.$

Therefore $\dfrac{60 + x}{240 - 2x} = \dfrac{1}{2}.$ Solving gives $120 + 2x = 240 - 2x,$ so $x = 30.$

Thus, the correct answer is B.

25.

Alice tiene $24$ manzanas. ¿De cuántas maneras puede repartirlas entre Becky, Chris y ella misma, de modo que cada una de las tres personas tenga al menos dos manzanas?

Alice has $24$ apples. In how many ways can she share them with Becky and Chris so that each of the three people has at least two apples?

$105$

$114$

$190$

$210$

$380$

Respuesta: C

Conceptos:estrellas y barras

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Primero dale $2$ manzanas a cada persona

Give each person $2$ apples first

Pista grande:

Distribuye las manzanas restantes con dos separadores

Distribute the remaining apples with two dividers

Solución en video:

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Solución escrita:

Asignemos a todos $2$ manzanas. Esto nos deja con $24 - 3 \cdot 2 = 18$ manzanas.

Luego queremos resolver $a + b + c = 18,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son las cantidades adicionales de manzanas que reciben Alice, Becky y Chris.

Nota que todas estas son no negativas, ya que la única condición que necesitábamos ya está satisfecha.

Podemos usar el método de estrellas y barras para obtener el número de soluciones como $\binom{18 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{20}{2} = 190.$

Así, la respuesta correcta es C.

Let us assign everybody $2$ apples. This leaves us with $24 - 3 \cdot 2 = 18$ apples.

Then, we want to solve $a + b + c = 18,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are the additional apples given to Alice, Becky, and Chris.

Note that these are all nonnegative, since we already satisfied the only condition we needed to.

We can use stars and bars to get the number of solutions as $\binom{18 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{20}{2} = 190.$

Thus, the correct answer is C.

Problemas del 2019 AMC 8

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C