Soluciones del 2019 AMC 8 — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

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Soluciones del 2019 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Ike y Mike entran en una tienda de sándwiches con un total de $\$30.00$ para gastar. Los sándwiches cuestan $\$4.50$ cada uno y los refrescos cuestan $\$1.00$ cada uno. Ike y Mike planean comprar tantos sándwiches como puedan y usar el dinero restante para comprar refrescos. Contando tanto los refrescos como los sándwiches, ¿cuántos artículos comprarán?

Ike and Mike go into a sandwich shop with a total of $\$30.00$ to spend. Sandwiches cost $\$4.50$ each and soft drinks cost $\$1.00$ each. Ike and Mike plan to buy as many sandwiches as they can, and use any remaining money to buy soft drinks. Counting both soft drinks and sandwiches, how many items will they buy?

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:dinero optimización

Nivel de dificultad: 450

Solución en video:

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Solución escrita:

Si compran $6$ sándwiches, gastarían $6 \times 4.5 = 27$ dólares. Esto significa que ya no podrían comprar ningún sándwich más.

Entonces les quedarían $30 - 27 = 3$ dólares. Con esto, podrían comprar $3$ refrescos. Por lo tanto, comprarían en total $6 + 3 = 9$ artículos.

Así, la respuesta correcta es D.

If they buy $6$ sandwiches, they would spend $6 \times 4.5 = 27$ dollars. This means that they would not be able to buy any more sandwiches.

They would then have $30 - 27 = 3$ dollars left. With this, they could buy $3$ sodas. They would therefore buy a total of $6 + 3 = 9$ items.

Thus, the correct answer is D.

2.

Tres rectángulos idénticos se juntan para formar el rectángulo $ABCD,$ como se muestra en la figura de abajo. Dado que el lado más corto de cada uno de los rectángulos pequeños mide $5$ pies, ¿cuál es el área en pies cuadrados del rectángulo $ABCD$ ?

Three identical rectangles are put together to form rectangle $ABCD,$ as shown in the figure below. Given that the length of the shorter side of each of the smaller rectangles is $5$ feet, what is the area in square feet of rectangle $ABCD?$

$45$

$75$

$100$

$125$

$150$

Conceptos:rectángulo área

Nivel de dificultad: 660

Solución en video:

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Solución escrita:

En la figura podemos ver que el lado más largo tiene la misma longitud que dos de los lados cortos. Esto lo hace de $2 \cdot 5 = 10$ pies de largo.

Esto nos dice que $BC = 10$ pies y $DC = 10 + 5 = 15$ pies. Por lo tanto, el área es $10 \cdot 15 = 150$ pies cuadrados.

Así, la respuesta correcta es E.

From the figure, we can see that the longer side has the same length as two of the shorter sides. This makes it $2 \cdot 5 = 10$ feet long.

This tells us that $BC = 10$ feet and $DC = 10 + 5 = 15$ feet. Therefore, the area is $10 \cdot 15 = 150$ square feet.

Thus, the correct answer is E.

3.

¿Cuál de las siguientes es la ordenación correcta de las fracciones $\dfrac{15}{11},\dfrac{19}{15},$ y $\dfrac{17}{13},$ de menor a mayor?

Which of the following is the correct order of the fractions $\dfrac{15}{11},\dfrac{19}{15},$ and $\dfrac{17}{13},$ from least to greatest?

$\dfrac{15}{11} \lt \dfrac{17}{13} \lt \dfrac{19}{15}$

$\dfrac{15}{11} \lt \dfrac{19}{15} \lt \dfrac{17}{13}$

$\dfrac{17}{13} \lt \dfrac{19}{15} \lt \dfrac{15}{11}$

$\dfrac{19}{15} \lt \dfrac{15}{11} \lt \dfrac{17}{13}$

$\dfrac{19}{15} \lt \dfrac{17}{13} \lt \dfrac{15}{11}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 770

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos reescribir cada fracción de la siguiente manera: $\begin{align*} \dfrac{15}{11} &= 1 + \dfrac{4}{11} \\ \dfrac{17}{13} &= 1 + \dfrac{4}{13} \\ \dfrac{19}{15} &= 1 + \dfrac{4}{15}. \end{align*}$

Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo numerador, entonces la fracción con el denominador mayor es la menor.

Usando este hecho, podemos ver que la ordenación correcta es $\dfrac{19}{15} \lt \dfrac{17}{13} \lt \dfrac{15}{11}.$

Así, la respuesta correcta es E.

We can rewrite the fraction as follows: $\begin{align*} \dfrac{15}{11} &= 1 + \dfrac{4}{11} \\ \dfrac{17}{13} &= 1 + \dfrac{4}{13} \\ \dfrac{19}{15} &= 1 + \dfrac{4}{15}. \end{align*}$

Recall that if two fractions have the same numerator, then the fraction with the larger denominator is smaller.

Using this fact, we can see that the correct ordering is $\dfrac{19}{15} \lt \dfrac{17}{13} \lt \dfrac{15}{11}.$

Thus, the correct answer is E.

4.

El cuadrilátero $ABCD$ es un rombo con perímetro $52$ metros. La longitud de la diagonal $\overline{AC}$ es $24$ metros. ¿Cuál es el área en metros cuadrados del rombo $ABCD$ ?

Quadrilateral $ABCD$ is a rhombus with perimeter $52$ meters. The length of diagonal $\overline{AC}$ is $24$ meters. What is the area in square meters of rhombus $ABCD?$

$60$

$90$

$105$

$120$

$144$

Conceptos:rombo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

Podemos dividir el rombo en $4$ triángulos, cada uno de los cuales se ve así.

Sabemos que este es un triángulo rectángulo, ya que las diagonales de un rombo son perpendiculares, y sabemos que la hipotenusa es $52 \div 4 = 13.$

Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos que el otro cateto es $\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5.$

Esto significa que el área del rombo es $4 \cdot \dfrac{5 \cdot 12}{2} = 4 \cdot 30 = 120.$ Así, la respuesta correcta es D.

We can split the rhombus up into $4$ triangles, each of which looks like this.

We know that this is a right triangle, since the diagonals of a rhombus are perpendicular, and we know the hypotenuse is $52 \div 4 = 13.$

Using the Pythagorean theorem, we get the other leg to be $\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5.$

This means that the area of the rhombus is $4 \cdot \dfrac{5 \cdot 12}{2} = 4 \cdot 30 = 120.$ Thus, the correct answer is D.

5.

Una tortuga desafía a una liebre a una carrera. La liebre acepta con entusiasmo y corre rápidamente hacia adelante, dejando atrás a la lenta tortuga. Confiada en que ganará, la liebre se detiene a tomar una siesta. Mientras tanto, la tortuga camina a un paso lento y constante durante toda la carrera. La liebre se despierta y corre hacia la meta, solo para encontrar a la tortuga ya allí. ¿Cuál de las siguientes gráficas coincide con la descripción de la carrera, mostrando la distancia $d$ recorrida por los dos animales a lo largo del tiempo $t$ desde el inicio hasta el final?

A tortoise challenges a hare to a race. The hare eagerly agrees and quickly runs ahead, leaving the slow-moving tortoise behind. Confident that he will win, the hare stops to take a nap. Meanwhile, the tortoise walks at a slow steady pace for the entire race. The hare awakes and runs to the finish line, only to find the tortoise already there. Which of the following graphs matches the description of the race, showing the distance $d$ traveled by the two animals over time $t$ from start to finish?

Conceptos:interpretación de datos y gráficas distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

La trayectoria de la liebre es la que tiene la línea horizontal en el medio, que representa el periodo en que la liebre tomó una siesta.

También sabemos que el tiempo que le toma a la liebre llegar a la meta es mayor que el tiempo que le tomó a la tortuga.

Esto significa que el final de la trayectoria de la liebre debe tener un valor de $x$ mayor. Esto es exactamente la gráfica $B.$

Así, la respuesta correcta es B.

The hare's path is the one with the horizontal line in the middle, which represents the period when the hare took a nap.

We also know that the time it takes the hare to reach the finish line is longer than the time it took the tortoise.

This means that the end of the hare's path should have a larger $x$ -value. This is exactly graph $B.$

Thus, the correct answer is B.

6.

Hay $81$ puntos de una cuadrícula (uniformemente espaciados) en el cuadrado que se muestra en el diagrama de abajo, incluidos los puntos en los bordes. El punto $P$ está en el centro del cuadrado. Dado que el punto $Q$ se elige al azar entre los otros $80$ puntos, ¿cuál es la probabilidad de que la recta $PQ$ sea un eje de simetría del cuadrado?

There are $81$ grid points (uniformly spaced) in the square shown in the diagram below, including the points on the edges. Point $P$ is in the center of the square. Given that point $Q$ is randomly chosen among the other $80$ points, what is the probability that the line $PQ$ is a line of symmetry for the square?

$\displaystyle \dfrac{1}{5}$

$\displaystyle \dfrac{1}{4}$

$\displaystyle \dfrac{2}{5}$

$\displaystyle \dfrac{9}{20}$

$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1070

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Solución escrita:

Observa que los únicos ejes de simetría de un cuadrado son las dos diagonales y las dos rectas que conectan los puntos medios opuestos.

Por lo tanto, $Q$ debe ser un punto en cualquiera de estas cuatro rectas. Cada recta consta de $9$ puntos, para un total de $4 \cdot 9 = 36$ puntos.

Nota que $Q$ no puede ser igual a $P,$ así que debemos restar los $4$ puntos que coinciden con $P,$ para un total de $36 - 4 = 32$ puntos.

Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac{32}{80} = \dfrac{2}{5}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Note the only lines of symmetry for a square are the two diagonals and the two lines connecting opposite midpoints.

Therefore, $Q$ must be a point on any one of these four lines. Each line consists of $9$ points, for a total of $4 \cdot 9 = 36$ points.

Note that $Q$ cannot be the same as $P,$ so we have to subtract out the $4$ points which coincide with $P,$ for a total of $36 - 4 = 32$ points.

The probability is therefore $\dfrac{32}{80} = \dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

7.

Shauna hace cinco exámenes, cada uno con un máximo de $100$ puntos. Sus calificaciones en los tres primeros exámenes son $76,$ $94$ y $87.$ Para promediar $81$ en los cinco exámenes, ¿cuál es la calificación más baja que podría obtener en uno de los otros dos exámenes?

Shauna takes five tests, each worth a maximum of $100$ points. Her scores on the first three tests are $76,$ $94,$ and $87.$ In order to average $81$ for all five tests, what is the lowest score she could earn on one of the other two tests?

$48$

$52$

$66$

$70$

$74$

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 960

Solución en video:

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Solución escrita:

Para minimizar una de las calificaciones, tenemos que maximizar la otra. Supón que Shauna obtiene un $100$ en su cuarto examen.

La suma de los $4$ exámenes es entonces $76 + 94 + 87 + 100 = 357.$ Para un promedio de $81,$ las calificaciones de Shauna deben sumar $5 \cdot 81 = 405.$ Esto significa que necesita obtener un $405 - 357 = 48$ en su último examen.

Así, la respuesta correcta es A.

To minimize one of the scores, we have to maximize the other score. Assume that Shauna gets a $100$ on her fourth test.

The sum of the $4$ tests is then $76 + 94 + 87 + 100 = 357.$ For an average of $81,$ Shauna's test scores must add to $5 \cdot 81 = 405.$ This means that she needs to get a $405 - 357 = 48$ on her last test.

Thus, the correct answer is A.

8.

Gilda tiene una bolsa de canicas. Le da el $20\%$ de ellas a su amigo Pedro. Luego Gilda le da el $10\%$ de lo que queda a otra amiga, Ebony. Finalmente, Gilda le da el $25\%$ de lo que ahora queda en la bolsa a su hermano Jimmy. ¿Qué porcentaje de su bolsa original de canicas le queda a Gilda para sí misma?

Gilda has a bag of marbles. She gives $20\%$ of them to her friend Pedro. Then Gilda gives $10\%$ of what is left to another friend, Ebony. Finally, Gilda gives $25\%$ of what is now left in the bag to her brother Jimmy. What percentage of her original bag of marbles does Gilda have left for herself?

$20$

$33\dfrac{1}{3}$

$38$

$45$

$54$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 960

Solución en video:

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Solución escrita:

Supón que Gilda empieza con $100$ canicas. Después de darle $20$ canicas a Pedro, le quedan $100 - 20 = 80$ canicas.

Luego le da $80 \times .1 = 8$ canicas a Ebony, quedándole $80 - 8 = 72$ canicas.

Finalmente, Gilda le da $72 \times .25 = 18$ canicas a Jimmy. Le queda un total de $72 - 18 = 54$ canicas, que es el $54\%$ de su total original.

Así, la respuesta correcta es E.

Assume that Gilda starts off with $100$ marbles. After giving $20$ marbles to Pedro, she has $100 - 20 = 80$ marbles left.

She then gives $80 \times .1 = 8$ marbles to Ebony, with her having $80 - 8 = 72$ marbles left.

Finally, Gilda gives $72 \times .25 = 18$ marbles to Jimmy. She has a total of $72 - 18 = 54$ marbles left, which is $54\%$ of her original total.

Thus, the correct answer is E.

9.

Alex y Felicia tienen gatos como mascotas. Alex compra comida para gatos en latas cilíndricas que miden $6$ cm de diámetro y $12$ cm de alto. Felicia compra comida para gatos en latas cilíndricas que miden $12$ cm de diámetro y $6$ cm de alto. ¿Cuál es la razón entre el volumen de una de las latas de Alex y el volumen de una de las latas de Felicia?

Alex and Felicia each have cats as pets. Alex buys cat food in cylindrical cans that are $6$ cm in diameter and $12$ cm high. Felicia buys cat food in cylindrical cans that are $12$ cm in diameter and $6$ cm high. What is the ratio of the volume of one of Alex's cans to the volume of one of Felicia's cans?

$1:4$

$1:2$

$1:1$

$2:1$

$4:1$

Conceptos:cilindro volumen

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

El diámetro de Felicia es el doble que el de Alex, lo que significa que su radio también es el doble.

Recuerda que la fórmula para el área de un círculo es $\pi r^2.$ Si el radio se duplica, entonces el área se cuadruplica.

Esto significa que la base de la lata de Felicia tiene $4$ veces el área de la base de la lata de Alex.

También vemos que la lata de Alex es el doble de alta que la de Felicia. La fórmula para el volumen de una lata es base por altura.

Usando esta fórmula, vemos que la lata de Felicia tendrá el doble de volumen que la de Alex, ya que $4 \div 2 = 2.$

Así, la respuesta correcta es B.

Felicia's diameter is twice as much as Alex's which means that her radius is also twice as much.

Recall that the formula for the area of a circle is $\pi r^2.$ If the radius is doubled, then the area is quadrupled.

This means that the base of Felicia's can has $4$ times the area as the base of Alex's can.

We also see that Alex's can is twice as tall as Felicia's can. The formula for the volume of a can is base times height.

Using this formula, we see that Felicia's can will have twice the volume of Alex's can since $4 \div 2 = 2.$

Thus, the correct answer is B.

10.

El diagrama muestra el número de estudiantes en la práctica de fútbol cada día de la semana durante la semana pasada. Después de calcular la media y la mediana, el entrenador descubre que en realidad hubo $21$ participantes el miércoles. ¿Cuál de los siguientes enunciados describe el cambio en la media y la mediana después de hacer la corrección?

The diagram shows the number of students at soccer practice each weekday during last week. After computing the mean and median values, Coach discovers that there were actually $21$ participants on Wednesday. Which of the following statements describes the change in the mean and median after the correction is made?

La media aumenta en $1$ y la mediana no cambia.

The mean increases by $1$ and the median does not change.

La media aumenta en $1$ y la mediana aumenta en $1.$

The mean increases by $1$ and the median increases by $1.$

La media aumenta en $1$ y la mediana aumenta en $5.$

The mean increases by $1$ and the median increases by $5.$

La media aumenta en $5$ y la mediana aumenta en $1.$

The mean increases by $5$ and the median increases by $1.$

La media aumenta en $5$ y la mediana aumenta en $5.$

The mean increases by $5$ and the median increases by $5.$

Conceptos:media mediana (datos)

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

Hay $5$ participantes más, lo que significa que la media aumenta en $5 \div 5 = 1.$

En este momento, podemos ver que la mediana es $20.$ Si $16$ se reemplaza por $21,$ entonces la mediana se convierte en $21.$

Esto muestra que la mediana también aumenta en $1.$

Así, la respuesta correcta es B.

There are $5$ more participants, which means the mean is increased by $5 \div 5 = 1.$

Right now, we can see that the median is $20.$ If $16$ gets replaced with $21,$ then the median becomes $21.$

This shows that the median is also increased by $1.$

Thus, the correct answer is B.

11.

La clase de octavo grado de la Escuela Secundaria Lincoln tiene $93$ estudiantes. Cada estudiante toma una clase de matemáticas o una clase de idioma extranjero, o ambas. Hay $70$ estudiantes de octavo grado que toman una clase de matemáticas, y hay $54$ estudiantes de octavo grado que toman una clase de idioma extranjero. ¿Cuántos estudiantes de octavo grado toman solo una clase de matemáticas y no una clase de idioma extranjero?

The eighth grade class at Lincoln Middle School has $93$ students. Each student takes a math class or a foreign language class or both. There are $70$ eighth graders taking a math class, and there are $54$ eighth graders taking a foreign language class. How many eighth graders take only a math class and not a foreign language class?

$16$

$23$

$31$

$39$

$70$

Conceptos:inclusión-exclusión Diagrama de Venn

Nivel de dificultad: 1070

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Solución escrita:

El número de estudiantes que toman ambas clases es $70 + 54 - 93 = 31.$ Restar esto del número de estudiantes que toman una clase de matemáticas nos dará el número de estudiantes que toman solo matemáticas.

El número buscado es $70 - 31 = 39.$

Así, la respuesta correcta es D.

The number of kids that are taking both classes is $70 + 54 - 93 = 31.$ Subtracting this from the number of kids taking a math class will give us the number of kids taking only a math class.

The desired number is $70 - 31 = 39.$

Thus, the correct answer is D.

12.

Las caras de un cubo están pintadas de seis colores diferentes: rojo ( $R$ ), blanco ( $W$ ), verde ( $G$ ), marrón ( $B$ ), aguamarina ( $A$ ) y morado ( $P$ ). A continuación se muestran tres vistas del cubo. ¿De qué color es la cara opuesta a la cara aguamarina?

The faces of a cube are painted in six different colors: red ( $R$ ), white ( $W$ ), green ( $G$ ), brown ( $B$ ), aqua ( $A$ ), and purple ( $P$ ). Three views of the cube are shown below. What is the color of the face opposite the aqua face?

rojo

red

blanco

white

verde

green

marrón

brown

morado

purple

Conceptos:geometría del cubo deducción lógica

Nivel de dificultad: 1140

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Solución escrita:

Usando el primer y el tercer cubo, podemos ver que el marrón es opuesto al morado.

De manera similar, con el primer y el segundo cubo, vemos que el verde y el blanco son opuestos.

El único color que queda para emparejar con el aguamarina es el rojo, así que el aguamarina y el rojo son caras opuestas.

Así, la respuesta correcta es A.

Using the first and third cubes, we can see that brown is opposite purple.

Similarly, with the first and second cubes, we see that green and white are opposites.

The only color left to pair with aqua is red, so aqua and red are opposite faces.

Thus, the correct answer is A.

13.

Un palíndromo es un número que tiene el mismo valor cuando se lee de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. (Por ejemplo, 12321 es un palíndromo.) Sea $N$ el menor entero de tres cifras que no es un palíndromo pero que es la suma de tres palíndromos distintos de dos cifras. ¿Cuál es la suma de las cifras de $N$ ?

A palindrome is a number that has the same value when read from left to right or from right to left. (For example, 12321 is a palindrome.) Let $N$ be the least three-digit integer which is not a palindrome but which is the sum of three distinct two-digit palindromes. What is the sum of the digits of $N?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:palíndromo divisibilidad

Nivel de dificultad: 1140

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Solución escrita:

Nota que los palíndromos de $2$ cifras tienen la cifra de las decenas y la de las unidades iguales. Esto significa que todos son múltiplos de $11.$

Si un número de $3$ cifras es la suma de $3$ palíndromos de $2$ cifras, entonces él mismo también debe ser un múltiplo de $11.$

El menor múltiplo de $11$ de $3$ cifras que no es un palíndromo es $110.$ Esto se puede lograr sumando $11 + 22 + 77.$

Por lo tanto, $N = 110.$ La suma de sus cifras es $1 + 1 + 0 = 2.$

Así, la respuesta correcta es A.

Note that $2$ -digit palindromes have the tens and units digits the same. This means that they are all multiples of $11.$

If a $3$ -digit number is the sum of $3$ $2$ -digit palindromes, then it itself must also be a multiple of $11.$

The smallest $3$ -digit multiple of $11$ that is not a palindrome is $110.$ This can be achieved by adding $11 + 22 + 77.$

Therefore, $N = 110.$ The sum of its digits is $1 + 1 + 0 = 2.$

Thus, the correct answer is A.

14.

Isabella tiene $6$ cupones que se pueden canjear por conos de helado gratis en Pete's Sweet Treats. Para hacer que los cupones duren, decide que canjeará uno cada $10$ días hasta usarlos todos. Sabe que Pete's cierra los domingos, pero al marcar con un círculo las $6$ fechas en su calendario, se da cuenta de que ninguna fecha marcada cae en domingo. ¿En qué día de la semana canjea Isabella su primer cupón?

Isabella has $6$ coupons that can be redeemed for free ice cream cones at Pete's Sweet Treats. In order to make the coupons last, she decides that she will redeem one every $10$ days until she has used them all. She knows that Pete's is closed on Sundays, but as she circles the $6$ dates on her calendar, she realizes that no circled date falls on a Sunday. On what day of the week does Isabella redeem her first coupon?

lunes

Monday

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

jueves

Thursday

viernes

Friday

Conceptos:aritmética modular fecha y hora

Nivel de dificultad: 1310

Solución en video:

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Solución escrita:

Repasemos las opciones de respuesta.

Cada canje es $10$ días después, lo que avanza el día de la semana en $3$ días.

Comenzando en el día $x,$ los seis días de canje son $x, x+3, x+6, x+2, x+5,$ y $x+1$ módulo $7.$

El único día de la semana que falta es $x+4,$ así que el domingo debe caer cuatro días después del primer día de canje. Cuatro días antes del domingo es el miércoles.

Así, la respuesta correcta es C.

Let us go through the answer choices.

Each redemption is $10$ days later, which advances the weekday by $3$ days.

Starting on day $x,$ the six redemption days are $x, x+3, x+6, x+2, x+5,$ and $x+1$ modulo $7.$

The only missed weekday is $x+4,$ so Sunday must be four days after the first redemption day. Four days before Sunday is Wednesday.

Thus, the correct answer is C.

15.

En una playa $50$ personas llevan gafas de sol y $35$ personas llevan gorras. Algunas personas llevan tanto gafas de sol como gorra. Si se selecciona al azar a una de las personas que llevan gorra, la probabilidad de que esa persona también lleve gafas de sol es $\dfrac{2}{5}.$ Si en cambio se selecciona al azar a alguien que lleva gafas de sol, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona también lleve gorra?

On a beach $50$ people are wearing sunglasses and $35$ people are wearing caps. Some people are wearing both sunglasses and caps. If one of the people wearing a cap is selected at random, the probability that this person is also wearing sunglasses is $\dfrac{2}{5}.$ If instead, someone wearing sunglasses is selected at random, what is the probability that this person is also wearing a cap?

$\displaystyle \dfrac{14}{85}$

$\displaystyle \dfrac{7}{25}$

$\displaystyle \dfrac{2}{5}$

$\displaystyle \dfrac{4}{7}$

$\displaystyle \dfrac{7}{10}$

Conceptos:probabilidad condicional

Nivel de dificultad: 1100

Solución en video:

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Solución escrita:

Si la probabilidad es $\dfrac{2}{5},$ eso significa que $\dfrac{2}{5}$ de las personas que llevan gorra también llevan gafas de sol.

Esto significa que $35 \cdot \dfrac{2}{5} = 14$ personas llevan tanto gorra como gafas de sol.

La probabilidad de que una persona que lleva gafas de sol también lleve gorra es $\dfrac{14}{50} = \dfrac{7}{25}.$

Así, la respuesta correcta es B.

If the probability is $\dfrac{2}{5},$ that means $\dfrac{2}{5}$ of the people wearing caps are also wearing sunglasses.

This means that $35 \cdot \dfrac{2}{5} = 14$ people are wearing both caps and sunglasses.

The probability of a person wearing sunglasses also wearing a cap is $\dfrac{14}{50} = \dfrac{7}{25}.$

Thus, the correct answer is B.

16.

Qiang conduce $15$ millas a una velocidad promedio de $30$ millas por hora. ¿Cuántas millas adicionales tendrá que conducir a $55$ millas por hora para promediar $50$ millas por hora en todo el viaje?

Qiang drives $15$ miles at an average speed of $30$ miles per hour. How many additional miles will he have to drive at $55$ miles per hour to average $50$ miles per hour for the entire trip?

$45$

$62$

$90$

$110$

$135$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1240

Solución en video:

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Solución escrita:

Para las primeras $15$ millas, Qiang condujo durante $\dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}$ hora.

Sea $x$ la distancia que Qiang debe conducir para satisfacer la condición. Le tomará $\dfrac{x}{55}$ horas conducir esta distancia.

El viaje total es ahora $15 + x$ millas. Sabemos que la velocidad promedio es $50$ millas por hora, así que esto le tomará $\dfrac{x + 15}{50}$ horas.

Igualando los dos tiempos, obtenemos $\dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{55} = \dfrac{x + 15}{50}.$

Multiplicando en cruz y simplificando se obtiene $15 + x = 25 + \dfrac{10x}{11} \Rightarrow x = 110.$

Así, la respuesta correcta es D.

For the first $15$ miles, Qiang drove for $\dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}$ an hour.

Let $x$ be the distance that Qiang must drive to satisfy the condition. It will take him $\dfrac{x}{55}$ hours to drive this distance.

The total trip is now $15 + x$ miles. We know the average speed is $50$ miles per hour, so this will take him $\dfrac{x + 15}{50}$ hours.

Setting the two times equal to each other, we get $\dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{55} = \dfrac{x + 15}{50}.$

Cross-multiplying and simplifying yields $15 + x = 25 + \dfrac{10x}{11} \Rightarrow x = 110.$

Thus, the correct answer is D.

17.

¿Cuál es el valor del producto de abajo?

$\begin{align*}\displaystyle & \left(\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\right)\left(\dfrac{2\cdot 4}{3\cdot 3}\right)\left(\dfrac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\right) \\ & \dots\left(\dfrac{97\cdot 99}{98\cdot 98}\right)\left(\dfrac{98\cdot 100}{99\cdot 99}\right) \end{align*}$

What is the value of the product below?

$\begin{align*}\displaystyle & \left(\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\right)\left(\dfrac{2\cdot 4}{3\cdot 3}\right)\left(\dfrac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\right) \\ & \dots\left(\dfrac{97\cdot 99}{98\cdot 98}\right)\left(\dfrac{98\cdot 100}{99\cdot 99}\right) \end{align*}$

$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

$\displaystyle \dfrac{50}{99}$

$\displaystyle \dfrac{9800}{9801}$

$\displaystyle \dfrac{100}{99}$

$50$

Conceptos:telescópica fracción

Nivel de dificultad: 1310

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos reagrupar todos los factores de la siguiente manera. $\begin{align*} & \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{3 \cdot 2}{2\cdot 3}\right)\left(\dfrac{4\cdot 3}{3\cdot 4}\right) \\ & \dots\left(\dfrac{99\cdot 98}{98\cdot 99}\right) \cdot \dfrac{100}{99} \end{align*}$

A partir de esta representación, podemos ver que todos los términos intermedios se cancelan y queda solo $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{100}{99} = \dfrac{50}{99}.$

Así, la respuesta correcta es B.

We can regroup all the factors as follows. $\begin{align*} & \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{3 \cdot 2}{2\cdot 3}\right)\left(\dfrac{4\cdot 3}{3\cdot 4}\right) \\ & \dots\left(\dfrac{99\cdot 98}{98\cdot 99}\right) \cdot \dfrac{100}{99} \end{align*}$

From this representation, we can see that all the middle terms cancel leaving only $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{100}{99} = \dfrac{50}{99}.$

Thus, the correct answer is B.

18.

Las caras de cada uno de dos dados justos están numeradas $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ y $8.$ Cuando se lanzan los dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que su suma sea un número par?

The faces of each of two fair dice are numbered $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ and $8.$ When the two dice are tossed, what is the probability that their sum will be an even number?

$\displaystyle \dfrac{4}{9}$

$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

$\displaystyle \dfrac{5}{9}$

$\displaystyle \dfrac{3}{5}$

$\displaystyle \dfrac{2}{3}$

Conceptos:dados (probabilidad)paridad

Nivel de dificultad: 1100

Solución en video:

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Solución escrita:

Las únicas dos formas en que la suma puede ser par son que ambos lanzamientos sean pares o que ambos sean impares.

La probabilidad de que un lanzamiento sea par es $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3},$ y la probabilidad de que sea impar es $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.$

Por lo tanto, la probabilidad buscada es $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{9}.$

Así, la respuesta correcta es C.

The only two ways that the sum can be even is if both rolls are even or both are odd.

The probability that a roll is even is $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3},$ and the probability that it is odd is $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.$

Therefore, the desired probability is $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{9}.$

Thus, the correct answer is C.

19.

En un torneo hay seis equipos que se enfrentan entre sí dos veces. Un equipo gana $3$ puntos por una victoria, $1$ punto por un empate y $0$ puntos por una derrota. Después de haberse jugado todos los partidos, resulta que los tres mejores equipos obtuvieron el mismo número total de puntos. ¿Cuál es el mayor número posible de puntos totales para cada uno de los tres mejores equipos?

In a tournament there are six teams that play each other twice. A team earns $3$ points for a win, $1$ point for a draw, and $0$ points for a loss. After all the games have been played it turns out that the top three teams earned the same number of total points. What is the greatest possible number of total points for each of the top three teams?

$22$

$23$

$24$

$26$

$30$

Conceptos:optimización argumento extremal

Nivel de dificultad: 1610

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos suponer que los $3$ mejores equipos ganaron todos los partidos contra cada equipo que no estaba entre ellos.

Juegan $3 \cdot 2 = 6$ partidos en total, obteniendo un total de $6 \cdot 3 = 18$ puntos.

Ahora, entre los $3$ mejores equipos, cada par de equipos juega dos veces. Para igualar los puntajes, podemos dejar que un equipo gane un partido y que el otro equipo gane el otro.

Para hacer que los tres puntajes sean iguales conservando todos los puntos posibles, reparte los dos partidos de cada par de modo que cada equipo obtenga $3$ puntos de ese par. Hay $3$ pares de este tipo, y cada equipo aparece en $2$ pares.

Esto significa que cada equipo obtendrá $3 \cdot 2 = 6$ puntos adicionales. Por lo tanto, su puntaje máximo es $18 + 6 = 24.$

Así, la respuesta correcta es C.

We can assume that the top $3$ teams won every game against every team not amongst themselves.

They play $3 \cdot 2 = 6$ games in total, getting a total of $6 \cdot 3 = 18$ points.

Now, among the top $3,$ each pair of teams plays twice. To even out the scores, we can let one team win one game and let the other team win the other game.

To make the three scores equal while keeping all possible points, split the two games in each pair so each team gets $3$ points from that pair. There are $3$ such pairs, with each team appearing in $2$ pairs.

This means that each team will get an extra $3 \cdot 2 = 6$ points. Therefore, their maximum score is $18 + 6 = 24.$

Thus, the correct answer is C.

20.

¿Cuántos números reales diferentes $x$ satisfacen la ecuación

$(x^2-5)^2=16?$

How many different real numbers $x$ satisfy the equation

$(x^2-5)^2=16?$

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

Conceptos:diferencia de cuadrados cuadrática

Nivel de dificultad: 1210

Solución en video:

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Solución escrita:

Recuerda que $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).$ Podemos hacer el siguiente reordenamiento. $\begin{gather*} (x^2 - 5)^2 - 4^2 = 0 \\ (x^2 - 5 + 4)(x^2 - 5 - 4) = 0 \\ (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 3) \\ = 0 \end{gather*}$

De esto podemos ver que hay $4$ valores posibles para $x.$

Así, la respuesta correcta es D.

Recall that $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).$ We can do the following rearrangement. $\begin{gather*} (x^2 - 5)^2 - 4^2 = 0 \\ (x^2 - 5 + 4)(x^2 - 5 - 4) = 0 \\ (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 3) \\ = 0 \end{gather*}$

From this we can see that there are $4$ possible values for $x.$

Thus, the correct answer is D.

21.

¿Cuál es el área del triángulo formado por las rectas $y=5,$ $y=1+x,$ y $y=1-x$ ?

What is the area of the triangle formed by the lines $y=5,$ $y=1+x,$ and $y=1-x?$

$4$

$8$

$10$

$12$

$16$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1240

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, hallemos los vértices del triángulo. Las intersecciones entre $y = 5$ y las otras dos rectas son $(4, 5)$ y $(-4, 5)$ .

Para hallar la tercera intersección, podemos igualar las dos ecuaciones para obtener $1 + x = 1 - x \Rightarrow x = 0.$

Esto nos da el punto $(0, 1).$

Nota que los dos primeros puntos de intersección son simétricos respecto al eje $y$ . Esto nos dice que el triángulo es isósceles.

Por lo tanto, la base es $2 \cdot 4 = 8,$ y la altura es $5 - 1 = 4.$ Así, el área del triángulo es $\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16.$

Así, la respuesta correcta es E.

First, let us find the vertices of the triangle. The intersections between $y = 5$ and the other two lines are $(4, 5)$ and $(-4, 5)$ .

To find the third intersection, we can equate the two equations to get $1 + x = 1 - x \Rightarrow x = 0.$

This gives us the point $(0, 1).$

Note that the first two intersection points are mirrored across the $y$ -axis. This tells us that the triangle is isosceles.

The base is therefore $2 \cdot 4 = 8,$ and the height is $5 - 1 = 4.$ The area of the triangle is therefore $\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16.$

Thus, the correct answer is E.

22.

Una tienda aumentó el precio original de una camisa en cierto porcentaje y luego disminuyó el nuevo precio en el mismo porcentaje. Dado que el precio resultante fue el $84\%$ del precio original, ¿en qué porcentaje se aumentó y se disminuyó el precio?

A store increased the original price of a shirt by a certain percent and then decreased the new price by the same percent. Given that the resulting price was $84\%$ of the original price, by what percent was the price increased and decreased?

$16$

$20$

$28$

$36$

$40$

Conceptos:porcentaje diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1240

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $x$ el porcentaje convertido en un número real. Entonces el aumento porcentual multiplicaría el original por $1 + x.$

La disminución porcentual multiplicaría el nuevo precio por $1 - x.$ El precio final será entonces el precio original multiplicado por $(1 + x)(1 - x) = 1 - x^2 = .84.$

Esto nos dice que $x^2 = .16 \Rightarrow x = .4.$

Esto nos dice que el porcentaje sería $40\%.$

Así, la respuesta correcta es E.

Let $x$ be the percent converted to a real number. Then the percent increase would multiply the original by $1 + x.$

The percent decrease would multiply the new price by $1 - x.$ The final price will then be the original price multiplied by $(1 + x)(1 - x) = 1 - x^2 = .84.$

This tells us that $x^2 = .16 \Rightarrow x = .4.$

This tells us that the percent would be $40\%.$

Thus, the correct answer is E.

23.

Después del último partido de baloncesto de la Escuela Secundaria Euclid, se determinó que $\dfrac{1}{4}$ de los puntos del equipo fueron anotados por Alexa y $\dfrac{2}{7}$ fueron anotados por Brittany. Chelsea anotó $15$ puntos. Ninguno de los otros $7$ miembros del equipo anotó más de $2$ puntos. ¿Cuál fue el número total de puntos anotados por los otros $7$ miembros del equipo?

After Euclid High School's last basketball game, it was determined that $\dfrac{1}{4}$ of the team's points were scored by Alexa and $\dfrac{2}{7}$ were scored by Brittany. Chelsea scored $15$ points. None of the other $7$ team members scored more than $2$ points. What was the total number of points scored by the other $7$ team members?

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Conceptos:divisibilidad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1490

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $x$ el número total de puntos y $y$ la respuesta buscada.

Entonces, del enunciado del problema obtenemos que $\dfrac{x}{4} + \dfrac{2x}{7} + 15 + y = x.$

Simplificando se obtiene $y + 15 = \dfrac{13x}{28}.$

Sabemos que $y \leq 14$ ya que ninguno de los $7$ miembros del equipo anotó más de $2$ puntos.

También sabemos que $x$ debe ser un múltiplo de $28.$ Si $x = 28,$ entonces obtenemos que $y + 15 = 13 \Rightarrow y = -2,$ lo cual no está permitido.

Si $x = 2 \cdot 28 = 56,$ entonces tenemos que $y + 15 = 26 \Rightarrow y = 11,$ lo cual funciona.

Así, la respuesta correcta es B.

Let $x$ be the total number of points and $y$ be the desired answer.

Then from the problem statement we get that $\dfrac{x}{4} + \dfrac{2x}{7} + 15 + y = x.$

Simplifying yields $y + 15 = \dfrac{13x}{28}.$

We know that $y \leq 14$ since none of the $7$ team members scored more than $2$ points.

We also know that $x$ must be a multiple of $28.$ If $x = 28,$ then we get that $y + 15 = 13 \Rightarrow y = -2,$ which is not allowed.

If $x = 2 \cdot 28 = 56,$ then we have that $y + 15 = 26 \Rightarrow y = 11,$ which works.

Thus, the correct answer is B.

24.

En el triángulo $ABC,$ el punto $D$ divide el lado $\overline{AC}$ de modo que $AD:DC=1:2.$ Sea $E$ el punto medio de $\overline{BD}$ y sea $F$ el punto de intersección de la recta $BC$ y la recta $AE.$ Dado que el área de $\triangle ABC$ es $360,$ ¿cuál es el área de $\triangle EBF$ ?

In triangle $ABC,$ point $D$ divides side $\overline{AC}$ so that $AD:DC=1:2.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{BD}$ and let $F$ be the point of intersection of line $BC$ and line $AE.$ Given that the area of $\triangle ABC$ is $360,$ what is the area of $\triangle EBF?$

$24$

$30$

$32$

$36$

$40$

Conceptos:razón de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1840

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $AD:DC=1:2,$ los triángulos $ABD$ y $DBC$ tienen áreas en la razón $1:2.$ Así, $[ABD]=120$ y $[DBC]=240.$

Como $E$ es el punto medio de $BD,$ los triángulos $ABE$ y $AED$ tienen cada uno área $60.$ Sea $x=[EBF].$ Entonces $[DEF]=x$ también, ya que $BE=ED$ y ambos triángulos tienen su tercer vértice sobre la recta $AF.$

El segmento $DF$ divide $\triangle DBC,$ así que $[DFC]=240-2x.$ Además, $\triangle ADF$ y $\triangle DFC$ tienen las bases $AD$ y $DC$ sobre la misma recta, por lo que sus áreas están en la razón $1:2.$

Por lo tanto $\dfrac{60+x}{240-2x}=\dfrac{1}{2}.$ Al resolver se obtiene $120+2x=240-2x,$ así que $x=30.$

Así, la respuesta correcta es B.

Since $AD:DC=1:2,$ triangles $ABD$ and $DBC$ have areas in the ratio $1:2.$ Thus $[ABD]=120$ and $[DBC]=240.$

Because $E$ is the midpoint of $BD,$ triangles $ABE$ and $AED$ each have area $60.$ Let $x=[EBF].$ Then $[DEF]=x$ as well, since $BE=ED$ and both triangles have their third vertex on line $AF.$

Segment $DF$ splits $\triangle DBC,$ so $[DFC]=240-2x.$ Also, $\triangle ADF$ and $\triangle DFC$ have bases $AD$ and $DC$ on the same line, so their areas are in the ratio $1:2.$

Therefore $\dfrac{60+x}{240-2x}=\dfrac{1}{2}.$ Solving gives $120+2x=240-2x,$ so $x=30.$

Thus, the correct answer is B.

25.

Alice tiene $24$ manzanas. ¿De cuántas maneras puede repartirlas con Becky y Chris de modo que cada una de las tres personas tenga al menos dos manzanas?

Alice has $24$ apples. In how many ways can she share them with Becky and Chris so that each of the three people has at least two apples?

$105$

$114$

$190$

$210$

$380$

Conceptos:estrellas y barras

Nivel de dificultad: 1370

Solución en video:

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Solución escrita:

Asignemos a todos $2$ manzanas. Esto nos deja con $24 - 3 \cdot 2 = 18$ manzanas.

Luego, queremos resolver $a + b + c = 18,$ donde $a, b, c$ son las manzanas adicionales dadas a Alice, Becky y Chris.

Nota que todas estas son no negativas, ya que la única condición que necesitábamos ya está satisfecha.

Podemos usar el método de estrellas y barras para obtener el número de soluciones como $\binom{18 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{20}{2} = 190.$

Así, la respuesta correcta es C.

Let us assign everybody $2$ apples. This leaves us with $24 - 3 \cdot 2 = 18$ apples.

Then, we want to solve $a + b + c = 18,$ where $a, b, c$ are the additional apples given to Alice, Becky, and Chris.

Note that these are all nonnegative, since we already satisfied the only condition we needed to.

We can use stars and bars to get the number of solutions as $\binom{18 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{20}{2} = 190.$

Thus, the correct answer is C.