Question

Hay $81$ puntos de una cuadrícula (uniformemente espaciados) en el cuadrado que se muestra en el diagrama de abajo, incluidos los puntos en los bordes. El punto $P$ está en el centro del cuadrado. Dado que el punto $Q$ se elige al azar entre los otros $80$ puntos, ¿cuál es la probabilidad de que la recta $PQ$ sea un eje de simetría del cuadrado?

There are $81$ grid points (uniformly spaced) in the square shown in the diagram below, including the points on the edges. Point $P$ is in the center of the square. Given that point $Q$ is randomly chosen among the other $80$ points, what is the probability that the line $PQ$ is a line of symmetry for the square?

$\displaystyle \dfrac{1}{5}$

$\displaystyle \dfrac{1}{4}$

$\displaystyle \dfrac{2}{5}$

$\displaystyle \dfrac{9}{20}$

$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Observa que los únicos ejes de simetría de un cuadrado son las dos diagonales y las dos rectas que conectan los puntos medios opuestos.

Por lo tanto, $Q$ debe ser un punto en cualquiera de estas cuatro rectas. Cada recta consta de $9$ puntos, para un total de $4 \cdot 9 = 36$ puntos.

Nota que $Q$ no puede ser igual a $P,$ así que debemos restar los $4$ puntos que coinciden con $P,$ para un total de $36 - 4 = 32$ puntos.

Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac{32}{80} = \dfrac{2}{5}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Note the only lines of symmetry for a square are the two diagonals and the two lines connecting opposite midpoints.

Therefore, $Q$ must be a point on any one of these four lines. Each line consists of $9$ points, for a total of $4 \cdot 9 = 36$ points.

Note that $Q$ cannot be the same as $P,$ so we have to subtract out the $4$ points which coincide with $P,$ for a total of $36 - 4 = 32$ points.

The probability is therefore $\dfrac{32}{80} = \dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

2019 AMC 8 Problema 6

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 6 en otros años