Question

¿Cuál de las siguientes figuras tiene el mayor número de ejes de simetría?

Which of the following figures has the greatest number of lines of symmetry?

triángulo equilátero

equilateral triangle

rombo que no es cuadrado

non-square rhombus

rectángulo que no es cuadrado

non-square rectangle

trapecio isósceles

isosceles trapezoid

cuadrado

square

Solución:

Primero, cada eje de simetría debe pasar por el centro de la figura. Esto asegura que el centro no quede solo en un lado, lo que la haría asimétrica.

Luego, si un eje pasa por algún lado, debe pasar por su punto medio, para asegurar que, tras una reflexión sobre este eje, la misma porción del lado quede a ambos lados. Además, debe ser perpendicular, para asegurar que el eje, al reflejarse, quede sobre sí mismo.

De forma similar, si un eje pasa por algún vértice, debe pasar por la bisectriz de ese ángulo, para asegurar que, tras una reflexión sobre este eje, el ángulo sea el mismo después de la reflexión. Además, debe tener la misma longitud de lado a ambos lados.

Ahora, observemos cada una de las figuras. Un triángulo equilátero tiene $3$ ejes que pasan por un vértice o un punto medio, así que tiene a lo sumo $3$ ejes de simetría. Un rombo que no es cuadrado solo tiene dos ejes de simetría, ya que solo funcionan los ejes que pasan por los vértices, pero no los que pasan por los puntos medios, pues no se cruzarían perpendicularmente. Un rectángulo que no es cuadrado solo tiene dos ejes de simetría, pues tiene ejes que pasan por los puntos medios de lados opuestos, pero no por los vértices, ya que no bisecan el ángulo. Un trapecio isósceles solo tiene $1$ eje de simetría, que pasa por los puntos medios de lados opuestos. Un cuadrado tiene $4$ ejes de simetría, que pasan por vértices opuestos y por puntos medios opuestos.

Por lo tanto, un cuadrado tiene la mayor cantidad de ejes de simetría.

Por lo tanto, la respuesta es E.

First, each line of symmetry must go through the center of the shape. This would ensure that the center of the shape isn't on only one side, as that would make it asymmetric.

Next, if a line goes through any side, it must go through its midpoint, to ensure that after a reflection over this line, the same amount of the line is on both sides. Moreover, it must be perpendicular, to ensure that the line when reflected stays on itself.

Similarly, if a line goes through any corner, it must go through its angle bisector, to ensure that after a reflection over this line, the angle of the line is the same after reflection. Moreover, it must have the same side length on both sides.

Now, let's look at each of the shapes. An equilateral triangle has $3$ lines that intersect a corner or a midpoint, so it has at most $3$ symmetry lines. A non-square rhombus only has two symmetry lines, as only the lines that go through the corners work, but not the ones through the midpoints as they would not intersect perpendicularly. A non-square rectangle only has two symmetry lines as it has symmetry lines through the midpoints of opposite sides, but not through the corners since it doesn't bisect the angle. An isosceles trapezoid only has $1$ symmetry line, that goes through the midpoints of opposite sides. A square has $4$ symmetry lines, which go through opposite corners and opposite midpoints.

A square therefore has the most symmetry lines.

Thus, the answer is E .

2010 AMC 8 Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años