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2002 AMC 8 Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2002 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

El área del triángulo XYZXYZ es 88 pulgadas cuadradas. Los puntos AA y BB son los puntos medios de los segmentos congruentes XY‾\overline{XY} y XZ‾.\overline{XZ}. La altura XC‾\overline{XC} biseca a YZ‾.\overline{YZ}. El área (en pulgadas cuadradas) de la región sombreada es

The area of triangle XYZXYZ is 88 square inches. Points AA and BB are midpoints of congruent segments XY‾\overline{XY} and XZ‾.\overline{XZ}. Altitude XC‾\overline{XC} bisects YZ‾.\overline{YZ}. The area (in square inches) of the shaded region is

1121 \frac{1}{2}

22

2122 \frac{1}{2}

33

3123 \frac{1}{2}

Respuesta: D
Conceptos:semejanzarazón de áreaspunto medio
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:

La altura divide el triángulo isósceles en dos mitades iguales.

The altitude splits the isosceles triangle into two equal halves.

Pista grande:

El segmento que pasa por los puntos medios crea un triángulo semejante con lados de la mitad de longitud.

The segment through the midpoints creates a similar triangle with half the side lengths.

Solución:

Como XY=XZXY=XZ y XCXC biseca a YZ,YZ, la altura XCXC divide a △XYZ\triangle XYZ en dos triángulos congruentes. La mitad izquierda △XYC\triangle XYC tiene área 4.4.

En △XYC,\triangle XYC, el punto AA es el punto medio de XY.XY. El segmento horizontal que pasa por AA corta a XCXC a media altura, así que el pequeño triángulo superior es semejante a △XYC\triangle XYC con factor de escala 12.\frac{1}{2}. Por lo tanto, su área es 14\frac{1}{4} de 4,4, es decir 1.1.

La región sombreada es el resto de la mitad izquierda, así que su área es 4−1=3.4-1=3.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since XY=XZXY=XZ and XCXC bisects YZ,YZ, altitude XCXC splits △XYZ\triangle XYZ into two congruent triangles. The left half △XYC\triangle XYC has area 4.4.

In △XYC,\triangle XYC, point AA is the midpoint of XY.XY. The horizontal segment through AA meets XCXC halfway up, so the small top triangle is similar to △XYC\triangle XYC with scale factor 12.\frac{1}{2}. Its area is therefore 14\frac{1}{4} of 4,4, or 1.1.

The shaded region is the rest of the left half, so its area is 4−1=3.4-1=3.

Thus, D is the correct answer.

Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

El Problema 20 en otros años

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