Question

El área del triángulo $XYZ$ es $8$ pulgadas cuadradas. Los puntos $A$ y $B$ son los puntos medios de los segmentos congruentes $\overline{XY}$ y $\overline{XZ}.$ La altura $\overline{XC}$ biseca a $\overline{YZ}.$ El área (en pulgadas cuadradas) de la región sombreada es

The area of triangle $XYZ$ is $8$ square inches. Points $A$ and $B$ are midpoints of congruent segments $\overline{XY}$ and $\overline{XZ}.$ Altitude $\overline{XC}$ bisects $\overline{YZ}.$ The area (in square inches) of the shaded region is

$1 \frac{1}{2}$

$2$

$2 \frac{1}{2}$

$3$

$3 \frac{1}{2}$

Solución:

Como $XY=XZ$ y $XC$ biseca a $YZ$ , la altura $XC$ divide a $\triangle XYZ$ en dos triángulos congruentes. La mitad izquierda $\triangle XYC$ tiene área $4$ .

En $\triangle XYC$ , el punto $A$ es el punto medio de $XY$ . El segmento horizontal que pasa por $A$ corta a $XC$ a media altura, así que el pequeño triángulo superior es semejante a $\triangle XYC$ con factor de escala $1/2$ . Por lo tanto, su área es $1/4$ de $4$ , es decir $1$ .

La región sombreada es el resto de la mitad izquierda, así que su área es $4-1=3$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since $XY=XZ$ and $XC$ bisects $YZ$ , altitude $XC$ splits $\triangle XYZ$ into two congruent triangles. The left half $\triangle XYC$ has area $4$ .

In $\triangle XYC$ , point $A$ is the midpoint of $XY$ . The horizontal segment through $A$ meets $XC$ halfway up, so the small top triangle is similar to $\triangle XYC$ with scale factor $1/2$ . Its area is therefore $1/4$ of $4$ , or $1$ .

The shaded region is the rest of the left half, so its area is $4-1=3$ .

Thus, D is the correct answer.

2002 AMC 8 Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años