Question

Un par de dados de $8$ caras tienen las caras numeradas del $1$ al $8.$ Cada cara tiene la misma probabilidad de quedar hacia arriba. La probabilidad de que el producto de los dos números que quedan hacia arriba sea mayor que $36$ es

A pair of $8$ -sided dice have sides numbered $1$ through $8.$ Each side has the same probability (chance) of landing face up. The probability that the product of the two numbers that land face-up exceeds $36$ is

$\dfrac{5}{32}$

$\dfrac{11}{64}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Podemos analizar según el valor del primer dado. Si su valor es $1 - 4,$ entonces es imposible que el producto sea mayor que $36.$

Si es un $5,$ entonces el otro dado debe sacar un $8,$ de lo contrario el producto es menor que $36.$

Si el primer dado es un $6,$ entonces el otro debe ser $7$ u $8,$ lo que da $2$ posibilidades. Si el primer dado es un $7,$ entonces el otro debe ser $6,$ $7,$ u $8,$ lo que da $3$ posibilidades.

Finalmente, si la primera tirada es un $8,$ el otro dado puede ser $5,$ $6,$ $7,$ u $8,$ lo que da $4$ posibilidades más.

El número total de pares que funcionan es $1 + 2 + 3 + 4 = 10,$ y el número total de pares es $8^2 = 64.$ La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{10}{64} = \dfrac{5}{32}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We can case on the value of the first die. If its value is $1 - 4,$ then it is impossible for the product to be greater than $36.$

If it is a $5,$ then the other die has to roll an $8,$ otherwise the product is less than $36.$

If the first die is a $6,$ then the other die must be $7$ or $8,$ giving $2$ possibilities. If the first die is a $7,$ then the other die must be $6,$ $7,$ or $8,$ giving $3$ possibilities.

Finally, if the first roll is an $8,$ the other die can be $5,$ $6,$ $7,$ or $8,$ giving $4$ more possibilities.

The total number of working pairs is $1 + 2 + 3 + 4 = 10,$ and the total number of pairs is $8^2 = 64.$ The desired probability is then $\dfrac{10}{64} = \dfrac{5}{32}.$

Thus, A is the correct answer.

1997 AMC 8 Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años