Soluciones del 1997 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

$\dfrac{1}{10} + \dfrac{9}{100} + \dfrac{9}{1000} + \dfrac{7}{10000} =$

$0.0026$

$0.0197$

$0.1997$

$0.26$

$1.997$

Conceptos:decimal valor posicional

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Suma las cifras de las décimas, centésimas, milésimas y diezmilésimas

Add the tenths, hundredths, thousandths, and ten-thousandths digits

Pista grande:

Convierte cada fracción a su valor posicional decimal

Convert each fraction to its decimal place value

Solución:

Al convertir todas las fracciones a decimales, obtenemos $\begin{aligned} 0.1 + 0.09 + 0.009 &+ 0.0007 \\ &= 0.1997. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Converting all the fractions to decimals, we get $\begin{aligned} 0.1 + 0.09 + 0.009 &+ 0.0007 \\ &= 0.1997. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

2.

Ahn elige un entero de dos dígitos, lo resta de $200,$ y duplica el resultado. ¿Cuál es el mayor número que Ahn puede obtener?

Ahn chooses a two-digit integer, subtracts it from $200,$ and doubles the result. What is the largest number Ahn can get?

$200$

$202$

$220$

$380$

$398$

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

El entero de dos dígitos más pequeño es $10$

The smallest two-digit integer is $10$

Pista grande:

Para maximizar el resultado, resta el número de dos dígitos más pequeño posible

To maximize the result, subtract the smallest possible two-digit number

Solución:

Para obtener el número más grande, conviene restar el número más pequeño posible de $200.$

El número de dos dígitos más pequeño es $10.$ Si Ahn elige este número, obtenemos $2 (200 - 10) = 2 \cdot 190 = 380$ como resultado final.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

To get the largest number, we would want to subtract the smallest number possible from $200.$

The smallest two-digit number is $10.$ Having Ahn choose this number will give us $2 (200 - 10) = 2 \cdot 190 = 380$ as the final result.

Thus, D is the correct answer.

3.

¿Cuál de los siguientes números es el mayor?

Which of the following numbers is the largest?

$0.97$

$0.979$

$0.9709$

$0.907$

$0.9089$

Conceptos:decimal valor posicional

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Compara primero las décimas, luego las centésimas y después las milésimas

Compare tenths first, then hundredths, then thousandths

Pista grande:

Alinea los decimales según su valor posicional

Line the decimals up by place value

Solución:

Todos los dígitos de las décimas son iguales, así que observamos el dígito de las centésimas.

El mayor dígito de las centésimas es $7,$ por lo que podemos limitarnos a las opciones con este valor.

El mayor dígito de las milésimas es $9,$ que se alcanza en $0.979.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We have that all the tenths place digits are the same, so we then look at the hundredths digit.

The largest hundredths digit is $7,$ so we can limit the answer choices to the ones with this value.

The largest thousandths digit is $9,$ which is achieved by $0.979.$

Thus, B is the correct answer.

4.

Julie está preparando un discurso para su clase. Su discurso debe durar entre media hora y tres cuartos de hora. La velocidad ideal de habla es de $150$ palabras por minuto. Si Julie habla a la velocidad ideal, ¿cuál de las siguientes cantidades de palabras sería una longitud apropiada para su discurso?

Julie is preparing a speech for her class. Her speech must last between one-half hour and three-quarters of an hour. The ideal rate of speech is $150$ words per minute. If Julie speaks at the ideal rate, which of the following number of words would be an appropriate length for her speech?

$2250$

$3000$

$4200$

$4350$

$5650$

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Multiplica los límites en minutos por $150$ palabras por minuto

Multiply the minute bounds by $150$ words per minute

Pista grande:

Convierte el intervalo de tiempo a minutos

Convert the time range into minutes

Solución:

Media hora son $30$ minutos, en los que Julie puede decir $150 \cdot 30 = 4500$ palabras. Tres cuartos de hora son $45$ minutos, en los que puede decir $150 \cdot 45 = 6750$ palabras. La única opción entre estos dos valores es $5650.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

One-half hour is $30$ minutes, in which Julie can speak $150 \cdot 30 = 4500$ words. Three-quarters of an hour is $45$ minutes, in which Julie can speak $150 \cdot 45 = 6750$ words. The only answer choice in between these two values is $5650.$

Thus, E is the correct answer.

5.

Hay muchos múltiplos de dos dígitos de $7,$ pero solo dos de esos múltiplos tienen una suma de dígitos de $10.$ La suma de estos dos múltiplos de $7$ es

There are many two-digit multiples of $7,$ but only two of the multiples have a digit sum of $10.$ The sum of these two multiples of $7$ is

$119$

$126$

$140$

$175$

$189$

Conceptos:múltiplo dígitos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Conserva solo los múltiplos cuyos dígitos sumen $10$

Keep only the multiples whose digits add to $10$

Pista grande:

Enumera los múltiplos de dos dígitos de $7$

List the two-digit multiples of $7$

Solución:

Al enumerar todos los múltiplos de dos dígitos de $7,$ obtenemos $14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70,$ $77, 84, 91, 98.$ Los dos múltiplos cuyos dígitos suman $10$ son $28$ y $91.$

La suma de estos números es $28 + 91 = 119.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Listing out all the two-digit multiples of $7,$ we get $14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70,$ $77, 84, 91, 98.$ We have that $28$ and $91$ are the two multiples whose digits add to $10.$

The sum of these numbers is $28 + 91 = 119.$

Thus, A is the correct answer.

6.

En el número $74982.1035$ , ¿cuántas veces mayor es el valor de la posición ocupada por el dígito $9$ que el valor de la posición ocupada por el dígito $3$ ?

In the number $74982.1035$ the value of the place occupied by the digit $9$ is how many times as great as the value of the place occupied by the digit $3?$

$1{,}000$

$10{,}000$

$100{,}000$

$1{,}000{,}000$

$10{,}000{,}000$

Conceptos:valor posicional exponente

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Cada paso hacia la izquierda en el valor posicional multiplica por $10$

Each step left in place value multiplies by $10$

Pista grande:

Compara los valores posicionales ocupados por $9$ y $3$

Compare the place values occupied by $9$ and $3$

Solución:

Observa que cada dígito tiene diez veces el valor del dígito a su derecha.

La posición ocupada por $9$ está $5$ lugares a la izquierda de la posición ocupada por $3.$

Esto significa que es $10^5 = 100,000$ veces mayor.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that each digit has ten times the value of the digit to its right.

The place occupied by $9$ is $5$ spaces to the left of the place occupied by $3.$

This means that it is $10^5 = 100,000$ times as great.

Thus, C is the correct answer.

7.

El área del cuadrado más pequeño que puede contener un círculo de radio $4$ es

The area of the smallest square that will contain a circle of radius $4$ is

$8$

$16$

$32$

$64$

$128$

Conceptos:área cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Usa el diámetro $8$ como longitud del lado

Use diameter $8$ as the side length

Pista grande:

El cuadrado contenedor más pequeño tiene un lado igual al diámetro del círculo

The smallest containing square has side equal to the circle diameter

Solución:

Podemos inscribir el círculo dentro del cuadrado de modo que sea tangente a los puntos medios de cada lado del cuadrado.

Esto significa que el lado del cuadrado es dos veces el radio del círculo, es decir $2 \cdot 4 = 8.$

Entonces el área del cuadrado es $8^2 = 64.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can inscribe the circle inside the square so that it is tangent to the midpoints of each side of the square.

This means that the side length of the square is two times the radius of the circle, making it $2 \cdot 4 = 8.$

Then the area of the square is $8^2 = 64.$

Thus, D is the correct answer.

8.

Walter se levanta a las $6:30$ a. m., toma el autobús escolar a las $7:30$ a. m., tiene $6$ clases que duran $50$ minutos cada una, dispone de $30$ minutos para almorzar y tiene $2$ horas adicionales en la escuela. Toma el autobús a casa y llega a las $4:00$ p. m. ¿Cuántos minutos ha pasado en el autobús?

Walter gets up at $6:30$ a.m., catches the school bus at $7:30$ a.m., has $6$ classes that last $50$ minutes each, has $30$ minutes for lunch, and has $2$ hours additional time at school. He takes the bus home and arrives at $4:00$ p.m. How many minutes has he spent on the bus?

$30$

$60$

$75$

$90$

$120$

Conceptos:fecha y hora conversión de unidades

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Resta el tiempo de clases, almuerzo y el tiempo extra en la escuela

Subtract the class, lunch, and extra school time

Pista grande:

Halla el tiempo transcurrido desde que toma el autobús hasta que llega a casa

Find the elapsed time from bus pickup to arriving home

Solución:

Hay $8.5$ horas entre el momento en que Walter toma el autobús y su llegada a casa.

Esto es un total de $60 \cdot 8.5 = 510$ minutos.

El tiempo total que Walter pasa en la escuela es $6 \cdot 50 + 30 + 2 \cdot 60 =$ $300 + 30 + 120 = 450$ minutos.

Esto significa que Walter pasa $510 - 450 = 60$ minutos en el autobús.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

There are $8.5$ hours between the time Walter catches the school bus and arrives at home.

This is a total of $60 \cdot 8.5 = 510$ minutes.

The total time Walter spends at school is $6 \cdot 50 + 30 + 2 \cdot 60 =$ $300 + 30 + 120 = 450$ minutes.

This means that Walter spends $510 - 450 = 60$ minutes on the bus.

Thus, B is the correct answer.

9.

Tres estudiantes, con nombres distintos, se forman en una sola fila. ¿Cuál es la probabilidad de que estén en orden alfabético de adelante hacia atrás?

Three students, with different names, line up single file. What is the probability that they are in alphabetical order from front-to-back?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad básica permutaciones

Nivel de dificultad: 1010

Pista pequeña:

Solo un ordenamiento es alfabético

Only one ordering is alphabetical

Pista grande:

Cuenta todos los órdenes posibles de los tres estudiantes

Count all possible orders of the three students

Solución:

Hay $3$ opciones para la persona de adelante. Luego, hay $2$ opciones para la persona del medio.

Esto deja $1$ opción para la persona del final. Hay $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ maneras de formar a las personas.

Solo una de estas filas es correcta, y la probabilidad de que ocurra es $\dfrac{1}{6}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There are $3$ options for the person in front. Then, there are $2$ options for the person in the middle.

This leaves $1$ choice for the person at the end. There are $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ ways for the people to line up.

Only one of these lines is correct, and the probability it occurs is $\dfrac{1}{6}.$

Thus, C is the correct answer.

10.

¿Qué fracción de esta región cuadrada está sombreada? Las franjas tienen igual ancho y la figura está dibujada a escala.

What fraction of this square region is shaded? Stripes are equal in width, and the figure is drawn to scale.

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{5}{6}$

Conceptos:descomposición de áreas fracción

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Cuenta los cuadros pequeños sombreados sobre el total

Count shaded small squares out of the total

Pista grande:

Divide el cuadrado en cuadros pequeños iguales que coincidan con el ancho de las franjas

Divide the square into equal small squares matching the stripe widths

Solución:

Podemos dividir el cuadrado en $6^2 = 36$ cuadros unitarios. El número de cuadros pequeños sombreados es $3 + 7 + 11 = 21.$

La fracción del cuadrado que está sombreada es $\dfrac{21}{36} = \dfrac{7}{12}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can split the square into $6^2 = 36$ unit squares. The number of shaded small squares is $3 + 7 + 11 = 21.$

The fraction of the square that is shaded is $\dfrac{21}{36} = \dfrac{7}{12}.$

Thus, C is the correct answer.

11.

Sea $\boxed{N}$ el número de divisores enteros de $N.$ Por ejemplo, $\boxed{3}=2$ porque $3$ tiene dos divisores, $1$ y $3.$ Halla el valor de $\boxed{\boxed{11}\times\boxed{20}}.$

Let $\boxed{N}$ mean the number of whole number divisors of $N.$ For example, $\boxed{3}=2$ because $3$ has two divisors, $1$ and $3.$ Find the value of $\boxed{\boxed{11}\times\boxed{20}}.$

$6$

$8$

$12$

$16$

$24$

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Usa la factorización en primos para contar los divisores

Use prime factorization to count divisors

Pista grande:

Evalúa las cajas interiores antes de la caja exterior

Evaluate the inside boxes before the outside box

Solución:

Sabemos que $11$ es primo, lo que significa que solo tiene $2$ divisores.

La factorización en primos de $20$ es $2^2 \cdot 5.$ Recuerda que el número de divisores de un número es el producto de todos los exponentes de su factorización en primos, cada uno aumentado en uno.

Aquí, ese producto sería $(2 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6.$

Entonces $2 \cdot 6 = 12.$ La factorización en primos de $12$ es $2^2 \cdot 3.$ Este número también tiene $(2 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6$ divisores.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We know that $11$ is prime, which means that it only has $2$ divisors.

The prime factorization of $20$ is $2^2 \cdot 5.$ Recall that the number of divisors a number has is the product of all the exponents plus one in the prime factorization.

Here, that product would be $(2 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6.$

Then $2 \cdot 6 = 12.$ We have the prime factorization of $12$ is $2^2 \cdot 3.$ This also has $(2 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6$ divisors.

Thus, A is the correct answer.

12.

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ $\angle 3 = \angle 4$ Halla $\angle 4$

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ $\angle 3 = \angle 4$ Find $\angle 4$

$20^\circ$

$25^\circ$

$30^\circ$

$35^\circ$

$40^\circ$

Conceptos:persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Usa la condición de suplementarios y luego que el ángulo $3$ es igual al ángulo $4$

Use the supplementary condition and then angle $3$ equals angle $4$

Pista grande:

Primero halla el ángulo $1$ en el triángulo de la izquierda

First find angle $1$ from the left triangle

Solución:

Tenemos que $\angle 1 = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 40^{\circ} = 70^{\circ}$ usando que los ángulos interiores de un triángulo suman $180^{\circ}.$

Esto nos dice que $\angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1 = 110^{\circ}$ ya que $\angle 1$ y $\angle 2$ son suplementarios.

Finalmente, $\angle 3 + \angle 4 + 110^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow$ $2 \angle 4 = 70^{\circ} \Rightarrow \angle 4 = 35^{\circ}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We have that $\angle 1 = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 40^{\circ} = 70^{\circ}$ using the fact that the interior angles of a triangle add to $180^{\circ}.$

This tells us that $\angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1 = 110^{\circ}$ since $\angle 1$ and $\angle 2$ are supplementary.

Finally, $\angle 3 + \angle 4 + 110^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow$ $2 \angle 4 = 70^{\circ} \Rightarrow \angle 4 = 35^{\circ}.$

Thus, D is the correct answer.

13.

Tres bolsas de gomitas contienen $26,$ $28,$ y $30$ gomitas. Las proporciones de gomitas amarillas respecto al total en cada una de estas bolsas son $50\%,$ $25\%,$ y $20\%,$ respectivamente. Las tres bolsas de dulces se vacían en un mismo tazón. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la proporción de gomitas amarillas respecto al total en el tazón?

Three bags of jelly beans contain $26,$ $28,$ and $30$ beans. The ratios of yellow beans to all beans in each of these bags are $50\%,$ $25\%,$ and $20\%,$ respectively. All three bags of candy are dumped into one bowl. Which of the following is closest to the ratio of yellow jelly beans to all beans in the bowl?

$31\%$

$32\%$

$33\%$

$35\%$

$95\%$

Conceptos:porcentaje media

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Divide el total de gomitas amarillas entre el total de gomitas

Divide total yellow beans by total beans

Pista grande:

Halla el número de gomitas amarillas en cada bolsa

Find the number of yellow beans in each bag

Solución:

Hay $26 \cdot 0.5 = 26 \div 2 = 13$ gomitas amarillas en la primera bolsa, $28 \cdot 0.25 = 28 \div 4 = 7$ en la segunda y $30 \cdot 0.2 = 30 \div 5 = 6$ en la tercera.

El número total de gomitas amarillas es $13 + 7 + 6 = 26$ y el número total de gomitas es $26 + 28 + 30 = 84.$ La proporción porcentual de gomitas amarillas es $\dfrac{26}{84} \cdot 100 \% = \dfrac{13}{42} \cdot 100 \%$ $\approx 30.9 \%.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

There are $26 \cdot 0.5 = 26 \div 2 = 13$ yellow jelly beans in the first bag, $28 \cdot 0.25 = 28 \div 4 = 7$ yellow jelly beans in the second bag, and $30 \cdot 0.2 = 30 \div 5 = 6$ yellow jelly beans in the third bag.

The total number of yellow jelly beans is $13 + 7 + 6 = 26$ and the total number of jelly beans is $26 + 28 + 30 = 84.$ The ratio of yellow jelly beans to all the beans is $\dfrac{26}{84} \cdot 100 \% = \dfrac{13}{42} \cdot 100 \%$ $\approx 30.9 \%.$

Thus, A is the correct answer.

14.

Hay un conjunto de cinco enteros positivos cuyo promedio (media) es $5,$ cuya mediana es $5,$ y cuya única moda es $8.$ ¿Cuál es la diferencia entre el entero mayor y el menor del conjunto?

There is a set of five positive integers whose average (mean) is $5,$ whose median is $5,$ and whose only mode is $8.$ What is the difference between the largest and smallest integers in the set?

$3$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

La moda $8$ debe aparecer exactamente dos veces

The mode $8$ must appear exactly twice

Pista grande:

Usa la media para obtener la suma total

Use the mean to get the total sum

Solución:

La suma de todos los números de la lista es $5 \cdot 5 = 25.$

En orden creciente, el número central es $5$ . Como $8$ es la única moda, los dos últimos números deben ser $8$ ; no puede haber tres $8$ , pues entonces la mediana sería $8$ .

Estos tres números conocidos suman $5 + 8 + 8 = 21,$ así que los dos números menores deben sumar $25 - 21 = 4.$ Deben ser enteros positivos distintos; de otro modo, otro valor empataría con $8$ como moda. Por tanto, son $1$ y $3$ .

La diferencia buscada es entonces $8 - 1 = 7.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The sum of all the numbers in the list is $5 \cdot 5 = 25.$

In increasing order, the middle number is $5$ . Because $8$ is the only mode, the last two numbers must both be $8$ ; there cannot be three $8$ s, since then the median would be $8$ .

These three known numbers sum to $5 + 8 + 8 = 21,$ so the two smaller numbers must add to $25 - 21 = 4.$ They must be distinct positive integers; otherwise a second value would tie $8$ as a mode. Thus they are $1$ and $3$ .

The desired difference is then $8 - 1 = 7.$

Thus, D is the correct answer.

15.

Cada lado del cuadrado grande de la figura está trisecado (dividido en tres partes iguales). Los vértices de un cuadrado inscrito están en estos puntos de trisección, como se muestra. La razón entre el área del cuadrado inscrito y el área del cuadrado grande es

Each side of the large square in the figure is trisected (divided into three equal parts). The corners of an inscribed square are at these trisection points, as shown. The ratio of the area of the inscribed square to the area of the large square is

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

$\dfrac{7}{9}$

Conceptos:razón de áreas Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Usa el teorema de Pitágoras para el lado del cuadrado inscrito

Use the Pythagorean theorem for the inscribed square side

Pista grande:

Supón que el lado del cuadrado grande se divide en tres partes iguales

Let the large square side be split into three equal parts

Solución:

Sea $3x$ la longitud del lado del cuadrado grande. Entonces podemos hallar el lado del cuadrado interior mediante $\sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}$ usando el teorema de Pitágoras.

El área del cuadrado mayor es $(3x)^2 = 9x^2$ y la del cuadrado interior es $(x\sqrt{5})^2 = 5x^2.$

La razón entre las áreas es entonces $\dfrac{5}{9}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $3x$ be the side length of the large square. Then we can find the side length of the inner square via $\sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}$ from the Pythagorean Theorem.

The area of the larger square is $(3x)^2 = 9x^2$ and that of the inner square is $(x\sqrt{5})^2 = 5x^2.$

The ratio of the areas is then $\dfrac{5}{9}.$

Thus, B is the correct answer.

16.

Penni Precisely compra $\$ 100$ en acciones de cada una de tres compañías: Alabama Almonds, Boston Beans y California Cauliflower. Después de un año, AA subió $20 \%,$ BB bajó $25 \%,$ y CC quedó igual. En el segundo año, AA bajó $20 \%$ respecto al año anterior, BB subió $25 \%$ respecto al año anterior, y CC quedó igual. Si $A,$ $B,$ y $C$ son los valores finales de las acciones, entonces

Penni Precisely buys $\$ 100$ worth of stock in each of three companies: Alabama Almonds, Boston Beans, and California Cauliflower. After one year, AA was up $20 \%,$ BB was down $25 \%,$ and CC was unchanged. For the second year, AA was down $20 \%$ from the previous year, BB was up $25 \%$ from the previous year, and CC was unchanged. If $A,$ $B,$ and $C$ are the final values of the stock, then

$A = B = C$

$A = B \lt C$

$C \lt B = A$

$A \lt B \lt C$

$B \lt A \lt C$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Una ganancia del $20$ por ciento seguida de una pérdida del $20$ por ciento no regresa al valor inicial

A $20$ percent gain followed by a $20$ percent loss does not return to the start

Pista grande:

Aplica cada cambio porcentual de forma multiplicativa

Apply each percent change multiplicatively

Solución:

Después del primer año, el valor de la acción de AA sube a $\$ 100 \cdot 1.2 = \$ 120$ y el de BB baja a $\$ 100 \cdot 0.75 = \$ 75.$

Después del segundo año, la acción de AA vale $\$ 120 \cdot 0.8 = \$ 96$ y la de BB vale $\$ 75 \cdot 1.25 = \$ 93.75.$

El valor de la acción de CC permanece igual, así que el orden de los valores ahora es $B \lt A \lt C.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

After the first year, AA’s stock’s worth goes up to $\$ 100 \cdot 1.2 = \$ 120$ and BB’s goes down to $\$ 100 \cdot 0.75 = \$ 75.$

After the second year, AA’s stock is worth $\$ 120 \cdot 0.8 = \$ 96$ and BB’s is worth $\$ 75 \cdot 1.25 = \$ 93.75.$

CC’s stock worth remains the same, so the ordering of the stock worths is now $B \lt A \lt C.$

Thus, E is the correct answer.

17.

Un cubo tiene ocho vértices (esquinas) y doce aristas. Un segmento, como $x,$ que une dos vértices no unidos por una arista se llama diagonal. El segmento $y$ también es una diagonal. ¿Cuántas diagonales tiene un cubo?

A cube has eight vertices (corners) and twelve edges. A segment, such as $x,$ which joins two vertices not joined by an edge is called a diagonal. Segment $y$ is also a diagonal. How many diagonals does a cube have?

$6$

$8$

$12$

$14$

$16$

Conceptos:geometría del cubo diagonal

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Cada cara tiene dos diagonales, y los vértices opuestos dan las diagonales espaciales

Each face has two diagonals, and opposite vertices give space diagonals

Pista grande:

Cuenta por separado las diagonales de las caras y las diagonales espaciales

Count face diagonals and space diagonals separately

Solución:

Cada cara tiene dos diagonales que conectan cada uno de los dos pares de vértices opuestos.

Además, para cada vértice existe un vértice correspondiente que se ubica en el lado opuesto del cubo.

Entonces hay $8 \div 2 = 4$ diagonales espaciales interiores en el cubo.

El número total de diagonales es entonces $6 \cdot 2 + 4 = 12 + 4 = 16.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Each face has two diagonals connecting each of the two pairs of opposite vertices.

Also, for each vertex, there is one corresponding vertex that lies opposite it on the cube.

There are then $8 \div 2 = 4$ interior space diagonals in the cube.

The total number of diagonals is then $6 \cdot 2 + 4 = 12 + 4 = 16.$

Thus, E is the correct answer.

18.

En la tienda de comestibles la semana pasada, las cajas pequeñas de pañuelos faciales costaban $4$ cajas por $\$5.$ Esta semana están en oferta a $5$ cajas por $\$4.$ La disminución porcentual del precio por caja durante la oferta fue la más cercana a

At the grocery store last week, small boxes of facial tissue were priced at $4$ boxes for $\$5.$ This week they are on sale at $5$ boxes for $\$4.$ The percent decrease in the price per box during the sale was closest to

$30\%$

$35\%$

$40\%$

$45\%$

$65\%$

Conceptos:porcentaje tasa

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

La disminución porcentual es el cambio dividido entre el precio original

Percent decrease is change divided by original price

Pista grande:

Calcula el precio por caja antes y durante la oferta

Compute the old and sale prices per box

Solución:

Originalmente, cada caja vale $\$ 5 \div 4 = \$ 1.25.$

Ahora, cada caja vale $\$ 4 \div 5 = \$ 0.8.$

La disminución porcentual es entonces $\begin{gathered} \dfrac{1.25 - 0.8}{1.25} \cdot 100 \% \\ = \dfrac{45}{125} \cdot 100 \% \\ = \dfrac{9}{25} \cdot 100 \% \\ = 36 \%. \end{gathered}$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Originally, each box is worth $\$ 5 \div 4 = \$ 1.25.$

Now, each box is worth $\$ 4 \div 5 = \$ 0.8.$

The percent decrease is then $\begin{gathered} \dfrac{1.25 - 0.8}{1.25} \cdot 100 \% \\ = \dfrac{45}{125} \cdot 100 \% \\ = \dfrac{9}{25} \cdot 100 \% \\ = 36 \%. \end{gathered}$

Thus, B is the correct answer.

19.

Si el producto $\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{5}{4}\cdot \dfrac{6}{5}\cdot \ldots\cdot \dfrac{a}{b} = 9,$ ¿cuál es la suma de $a$ y $b$ ?

If the product $\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{5}{4}\cdot \dfrac{6}{5}\cdot \ldots\cdot \dfrac{a}{b} = 9,$ what is the sum of $a$ and $b?$

$11$

$13$

$17$

$35$

$37$

Conceptos:telescópica fracción

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Después de cancelar, solo quedan el primer denominador y el último numerador

After cancellation, only the first denominator and last numerator remain

Pista grande:

El producto es telescópico

The product telescopes

Solución:

Observa que el numerador de cada fracción se cancela con el denominador de la fracción a su derecha.

Entonces podemos cancelar todos estos términos para obtener la ecuación final $\dfrac{a}{2} = 9 \Rightarrow a = 18 \Rightarrow b = 17.$

La suma buscada es entonces $18 + 17 = 35.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that the numerator of each fraction cancels with the denominator of the fraction to its right.

We can then cancel out all these terms to get a final equation of $\dfrac{a}{2} = 9 \Rightarrow a = 18 \Rightarrow b = 17.$

The desired sum is then $18 + 17 = 35.$

Thus, D is the correct answer.

20.

Un par de dados de $8$ caras tiene las caras numeradas del $1$ al $8.$ Cada cara tiene la misma probabilidad de quedar hacia arriba. La probabilidad de que el producto de los dos números que quedan hacia arriba sea mayor que $36$ es

A pair of $8$ -sided dice has sides numbered $1$ through $8.$ Each side has the same probability (chance) of landing face up. The probability that the product of the two numbers that land face-up exceeds $36$ is

$\dfrac{5}{32}$

$\dfrac{11}{64}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:dados (probabilidad)análisis por casos

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Para primeras tiradas del $5$ al $8,$ cuenta qué segundas tiradas hacen que el producto supere $36$

For first rolls $5$ through $8,$ count which second rolls make the product exceed $36$

Pista grande:

Cuenta los pares ordenados de dos dados de $8$ caras

Count ordered pairs from two $8$ -sided dice

Solución:

Podemos analizar según el valor del primer dado. Si su valor es $1,$ $2,$ $3,$ o $4,$ entonces es imposible que el producto sea mayor que $36.$

Si es un $5,$ entonces el otro dado debe sacar un $8,$ de lo contrario el producto es menor que $36.$

Si el primer dado es un $6,$ entonces el otro debe ser $7$ u $8,$ lo que da $2$ posibilidades. Si el primer dado es un $7,$ entonces el otro debe ser $6,$ $7,$ u $8,$ lo que da $3$ posibilidades.

Finalmente, si la primera tirada es un $8,$ el otro dado puede ser $5,$ $6,$ $7,$ u $8,$ lo que da $4$ posibilidades más.

El número total de pares que funcionan es $1 + 2 + 3 + 4 = 10,$ y el número total de pares es $8^2 = 64.$ La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{10}{64} = \dfrac{5}{32}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We can case on the value of the first die. If its value is $1,$ $2,$ $3,$ or $4,$ then it is impossible for the product to be greater than $36.$

If it is a $5,$ then the other die has to roll an $8,$ otherwise the product is less than $36.$

If the first die is a $6,$ then the other die must be $7$ or $8,$ giving $2$ possibilities. If the first die is a $7,$ then the other die must be $6,$ $7,$ or $8,$ giving $3$ possibilities.

Finally, if the first roll is an $8,$ the other die can be $5,$ $6,$ $7,$ or $8,$ giving $4$ more possibilities.

The total number of working pairs is $1 + 2 + 3 + 4 = 10,$ and the total number of pairs is $8^2 = 64.$ The desired probability is then $\dfrac{10}{64} = \dfrac{5}{32}.$

Thus, A is the correct answer.

21.

A este cubo de $3\text{ cm}\times 3\text{ cm}\times 3\text{ cm}$ se le quita cada cubo de las esquinas. El área de la superficie de la figura restante es

Each corner cube is removed from this $3\text{ cm}\times 3\text{ cm}\times 3\text{ cm}$ cube. The surface area of the remaining figure is

$19\text{ cm cuadrados}$

$19\text{ sq.cm}$

$24\text{ cm cuadrados}$

$24\text{ sq.cm}$

$30\text{ cm cuadrados}$

$30\text{ sq.cm}$

$54\text{ cm cuadrados}$

$54\text{ sq.cm}$

$72\text{ cm cuadrados}$

$72\text{ sq.cm}$

Conceptos:área de superficie geometría del cubo invariante

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

El área total de la superficie permanece igual

The total surface area stays the same

Pista grande:

Al quitar una esquina se pierden tres caras y se revelan otras tres

Removing a corner loses three faces and reveals three faces

Solución:

Observa que hay un cubo unitario entre cualquier par de cubos de esquina, por lo que quitar cada uno no afecta a los demás.

Cuando quitamos una esquina, perdemos tres cuadros unitarios. Sin embargo, los recuperamos de las tres caras que quedan descubiertas.

Esto significa que quitar un cubo de esquina no cambia el área de la superficie. El área de la superficie del cubo original es $6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$ centímetros cuadrados.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that there is one unit cube between any pair of corner cubes, so the removal of each does not affect the others.

When we remove a corner, we are losing three unit squares. We, however, gain these back from the three faces that get uncovered.

This means that removing a corner cube does not change the surface area. The surface area of the original cube is $6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$ square centimeters.

Thus, D is the correct answer.

22.

Un cubo de dos pulgadas $(2\times 2\times 2)$ de plata pesa $3$ libras y vale $\$ 200.$ ¿Cuánto vale un cubo de plata de tres pulgadas?

A two-inch cube $(2\times 2\times 2)$ of silver weighs $3$ pounds and is worth $\$ 200.$ How much is a three-inch cube of silver worth?

$\$300$

$\$375$

$\$450$

$\$560$

$\$675$

Conceptos:volumen escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Compara el número de cubos unitarios en los dos cubos

Compare the numbers of unit cubes in the two cubes

Pista grande:

Para el mismo material, el valor es proporcional al volumen

Value scales with volume for the same material

Solución:

El cubo de dos pulgadas consta de $2^3 = 8$ cubos unitarios. Cada uno de estos cubos unitarios vale $200 \div 8 = 25$ dólares. Para formar un cubo de tres pulgadas, se necesitan $3^3 = 27$ cubos unitarios. Por lo tanto, vale $25 \cdot 27 = 675$ dólares.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The two-inch cube consists of $2^3 = 8$ unit cubes. Each of these unit cubes is worth $200 \div 8 = 25$ dollars. To form a three-inch cube, you need $3^3 = 27$ unit cubes. This means that it is worth $25 \cdot 27 = 675$ dollars.

Thus, E is the correct answer.

23.

Hay enteros positivos que tienen estas propiedades:

I. la suma de los cuadrados de sus dígitos es $50,$ y

II. cada dígito es mayor que el que está a su izquierda.

El producto de los dígitos del mayor entero que cumple ambas propiedades es

There are positive integers that have these properties:

I. the sum of the squares of their digits is $50,$ and

II. each digit is larger than the one to its left.

The product of the digits of the largest integer with both properties is

$7$

$25$

$36$

$48$

$60$

Conceptos:dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Prueba el mayor dígito final posible y ve disminuyendo

Try the largest possible final digit and work downward

Pista grande:

Con más dígitos, la suma mínima de cuadrados se vuelve demasiado grande

More digits make the minimum square-sum too large

Solución:

Si el número tuviera cinco dígitos, los dígitos positivos crecientes más pequeños posibles darían una suma de cuadrados $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55,$ que ya es demasiado grande. Así que el mayor número válido tiene a lo sumo cuatro dígitos.

Para un número de cuatro dígitos $abcd$ con $0<a<b<c<d$ , el último dígito no puede ser $7$ o mayor, ya que incluso $1^2+2^2+3^2+7^2=63>50$ .

Probando $d=6,$ los cuadrados restantes deben sumar $50-36=14,$ y $1^2+2^2+3^2=14.$ Esto da el número válido $1236.$

Cualquier número que termine en $5$ o menos es menor que $1236,$ así que el mayor entero válido es $1236.$

El producto de sus dígitos es $1\cdot2\cdot3\cdot6=36.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

If the number had five digits, the smallest possible increasing positive digits would give square-sum $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55,$ already too large. So the largest valid number has at most four digits.

For a four-digit number $abcd$ with $0<a<b<c<d$ , the last digit cannot be $7$ or larger, since even $1^2+2^2+3^2+7^2=63>50$ .

Trying $d=6,$ the remaining squares must sum to $50-36=14,$ and $1^2+2^2+3^2=14.$ This gives the valid number $1236.$

Any number ending with $5$ or less is smaller than $1236,$ so the largest valid integer is $1236.$

The product of its digits is $1\cdot2\cdot3\cdot6=36.$

Thus, C is the correct answer.

24.

El diámetro $ACE$ está dividido en $C$ en la razón $2:3.$ Los dos semicírculos, $ABC$ y $CDE,$ dividen la región circular en una región superior (sombreada) y una región inferior. La razón entre el área de la región superior y la de la región inferior es

Diameter $ACE$ is divided at $C$ in the ratio $2:3.$ The two semicircles, $ABC$ and $CDE,$ divide the circular region into an upper (shaded) region and a lower region. The ratio of the area of the upper region to that of the lower region is

$2:3$

$1:1$

$3:2$

$9:4$

$5:2$

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Considera la región superior como un semicírculo grande menos un semicírculo pequeño más el otro

Compare the upper region as a large semicircle minus one small semicircle plus the other

Pista grande:

Elige longitudes convenientes en la razón $2:3$

Choose convenient lengths in the ratio $2:3$

Solución:

Elige $AE=10$ de modo que $AC=4$ y $CE=6.$ El semicírculo grande tiene radio $5,$ así que su área es $\frac{25\pi}{2}.$

El semicírculo sobre $AC$ tiene radio $2$ y área $2\pi,$ mientras que el semicírculo sobre $CE$ tiene radio $3$ y área $\frac{9\pi}{2}.$

La región superior sombreada tiene área $\frac{25\pi}{2}-2\pi+\frac{9\pi}{2}=15\pi.$

El círculo completo tiene área $25\pi,$ así que la región inferior tiene área $25\pi-15\pi=10\pi.$

La razón buscada es $15\pi:10\pi=3:2.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Choose $AE=10$ so that $AC=4$ and $CE=6.$ The large semicircle has radius $5,$ so its area is $\frac{25\pi}{2}.$

The semicircle on $AC$ has radius $2$ and area $2\pi,$ while the semicircle on $CE$ has radius $3$ and area $\frac{9\pi}{2}.$

The upper shaded region has area $\frac{25\pi}{2}-2\pi+\frac{9\pi}{2}=15\pi.$

The whole circle has area $25\pi,$ so the lower region has area $25\pi-15\pi=10\pi.$

The desired ratio is $15\pi:10\pi=3:2.$

Thus, C is the correct answer.

25.

Todos los números pares desde $2$ hasta $98$ inclusive, excluyendo los que terminan en $0,$ se multiplican entre sí. ¿Cuál es el dígito más a la derecha (el dígito de las unidades) del producto?

All of the even numbers from $2$ to $98$ inclusive, excluding those ending in $0,$ are multiplied together. What is the rightmost digit (the units digit) of the product?

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:dígito de las unidades emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Agrupa los factores según el patrón de su dígito de las unidades

Group the factors by their units digit pattern

Pista grande:

Solo importan los dígitos de las unidades

Only the units digits matter

Solución:

Solo nos importa el dígito de las unidades, lo que significa que los dígitos de las decenas no importan.

Entonces tenemos $10$ grupos de $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384.$

El dígito de las unidades de cada grupo es $4.$ Ahora necesitamos hallar el dígito de las unidades de $4^{10}.$

El dígito de las unidades de $4^2 = 16$ es $6.$ Esto significa que solo necesitamos hallar el dígito de las unidades de $6^5.$

Observa que toda potencia de $6$ siempre termina en $6$ (por ejemplo $6,$ $36,$ $216,$ $\ldots$ ).

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We only care about the units digit, which means that the tens digits don’t matter.

Then we have $10$ groups of $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384.$

The units digit of each group is $4.$ We now need to find the units digit of $4^{10}.$

The units digit of $4^2 = 16$ is $6.$ This means we only need to find the units digit of $6^5.$

Note that every power of $6$ always ends in a $6$ (e.g. $6,$ $36,$ $216,$ $\ldots$ ).

Thus, D is the correct answer.