Question

Alice y Bob juegan un juego que involucra un círculo cuya circunferencia está dividida por $12$ puntos igualmente espaciados. Los puntos están numerados en sentido horario, del $1$ al $12.$ Ambos empiezan en el punto $12.$ Alice se mueve en sentido horario y Bob, en sentido antihorario. En un turno del juego, Alice se mueve $5$ puntos en sentido horario y Bob se mueve $9$ puntos en sentido antihorario. El juego termina cuando se detienen en el mismo punto. ¿Cuántos turnos tomará esto?

Alice and Bob play a game involving a circle whose circumference is divided by $12$ equally-spaced points. The points are numbered clockwise, from $1$ to $12.$ Both start on point $12.$ Alice moves clockwise and Bob, counterclockwise. In a turn of the game, Alice moves $5$ points clockwise and Bob moves $9$ points counterclockwise. The game ends when they stop on the same point. How many turns will this take?

$6$

$8$

$12$

$14$

$24$

Solución:

Tras un turno, Alice se ha movido $5$ puntos en sentido horario y Bob se ha movido $9$ puntos en sentido antihorario. Su movimiento relativo es de $5+9=14$ puntos por turno.

Se encuentran cuando $14k$ es un múltiplo de $12$ , donde $k$ es el número de turnos.

Como $14k\equiv2k\pmod{12}$ , el menor $k$ positivo con $12\mid2k$ es $6$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

After one turn, Alice has moved $5$ points clockwise and Bob has moved $9$ points counterclockwise. Their relative movement is $5+9=14$ points per turn.

They meet when $14k$ is a multiple of $12$ , where $k$ is the number of turns.

Since $14k\equiv2k\pmod{12}$ , the smallest positive $k$ with $12\mid2k$ is $6$ .

Thus, A is the correct answer.

2005 AMC 8 Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años