Question

Supón que hay una tecla especial en una calculadora que reemplaza el número $x$ mostrado actualmente por el número dado por la fórmula $1/(1 - x)$ . Por ejemplo, si la calculadora muestra $2$ y se presiona la tecla especial, entonces la calculadora mostrará $-1$ , ya que $1/(1 - 2) = -1$ . Ahora supón que la calculadora muestra $5$ . Después de presionar la tecla especial $100$ veces seguidas, la calculadora mostrará

Suppose there is a special key on a calculator that replaces the number $x$ currently displayed with the number given by the formula $1/(1 - x)$ . For example, if the calculator is displaying $2$ and the special key is pressed, then the calculator will display $-1$ since $1/(1 - 2) = -1$ . Now suppose that the calculator is displaying $5$ . After the special key is pressed $100$ times in a row, the calculator will display

$-0.25$

$0$

$0.8$

$1.25$

$5$

Solución:

Partiendo de $5$ : $1/(1 - 5) = -0.25$ , luego $1/(1 + 0.25) = 0.8$ , luego $1/(1 - 0.8) = 5$ . Los valores se repiten con período $3$ .

Como $100 = 3 \cdot 33 + 1$ , la $100$ ª pulsación da el mismo resultado que la primera pulsación, $-0.25$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Starting from $5$ : $1/(1 - 5) = -0.25$ , then $1/(1 + 0.25) = 0.8$ , then $1/(1 - 0.8) = 5$ . The values repeat with period $3$ .

Since $100 = 3 \cdot 33 + 1$ , the $100$ th press gives the same result as the first press, $-0.25$ .

Thus, the correct answer is A .

1996 AMC 8 Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años