1996 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

¿Cuántos factores positivos de $36$ son también múltiplos de $4$ ?

How many positive factors of $36$ are also multiples of $4?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: B

Conceptos:factor múltiplo

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Enumera todos los factores positivos de $36.$

List the positive factors of $36$

Pista grande:

De entre esos factores, conserva solo los que son divisibles por $4.$

Among those factors, keep only the ones divisible by $4$

Solución:

Los factores positivos de $36$ son $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $9,$ $12,$ $18,$ y $36.$ De ellos, solo $4,$ $12,$ y $36$ son múltiplos de $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The positive factors of $36$ are $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $9,$ $12,$ $18,$ and $36.$ Of these, only $4,$ $12,$ and $36$ are multiples of $4.$

Thus, the correct answer is B .

2.

José, Thuy y Kareem empiezan cada uno con el número $10.$ José resta $1$ al número $10,$ duplica su resultado y luego suma $2.$ Thuy duplica el número $10,$ resta $1$ a su resultado y luego suma $2.$ Kareem resta $1$ al número $10,$ suma $2$ a su resultado y luego duplica lo obtenido. ¿Quién obtiene el mayor resultado final?

José, Thuy, and Kareem each start with the number $10.$ José subtracts $1$ from the number $10,$ doubles his answer, and then adds $2.$ Thuy doubles the number $10,$ subtracts $1$ from her answer, and then adds $2.$ Kareem subtracts $1$ from the number $10,$ adds $2$ to his answer, and then doubles the result. Who gets the largest final answer?

José

Thuy

Kareem

José y Thuy

José and Thuy

Thuy y Kareem

Thuy and Kareem

Respuesta: C

Conceptos:orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Calcula en orden los tres pasos de cada persona, empezando por $10.$

Work out each person’s three steps in order, beginning with $10$

Pista grande:

El orden de los pasos importa; observa quién duplica al final, de modo que el $2$ que sumó también se duplica.

The order of the steps matters; notice who doubles last, so the $2$ they added also gets doubled

Solución:

Partiendo de $10,$ José obtiene $9,$ $18,$ $20;$ Thuy obtiene $20,$ $19,$ $21;$ y Kareem obtiene $9,$ $11,$ $22.$

Kareem duplica al final, así que el $2$ que suma también se duplica, dando el mayor resultado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Starting from $10,$ José computes $9,$ $18,$ $20;$ Thuy computes $20,$ $19,$ $21;$ and Kareem computes $9,$ $11,$ $22.$

Kareem doubles last, so the $2$ he adds is doubled too, giving the largest result.

Thus, the correct answer is C .

3.

Los $64$ números enteros del $1$ al $64$ se escriben, uno por casilla, en un tablero de ajedrez (una cuadrícula de $8$ por $8$ con $64$ casillas). Los primeros $8$ números se escriben en orden a lo largo de la primera fila, los $8$ siguientes a lo largo de la segunda fila, y así sucesivamente. Después de escribir los $64$ números, la suma de los números en las cuatro esquinas será

The $64$ whole numbers from $1$ through $64$ are written, one per square, on a checkerboard (an $8$ by $8$ array of $64$ squares). The first $8$ numbers are written in order across the first row, the next $8$ across the second row, and so on. After all $64$ numbers are written, the sum of the numbers in the four corners will be

$130$

$131$

$132$

$133$

$134$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

La primera fila contiene del $1$ al $8;$ la última fila contiene del $57$ al $64.$

The first row holds $1$ through $8;$ the last row holds $57$ through $64$

Pista grande:

Las cuatro esquinas son el primer y el último número de la fila superior y de la fila inferior.

The four corners are the first and last numbers of the top row and of the bottom row

Solución:

La primera fila es $1, 2, \ldots, 8$ y la última fila es $57, 58, \ldots, 64.$ Las cuatro esquinas son $1,$ $8,$ $57,$ y $64.$

Su suma es $1 + 8 + 57 + 64 = 130.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first row is $1, 2, \ldots, 8$ and the last row is $57, 58, \ldots, 64.$ The four corners are $1,$ $8,$ $57,$ and $64.$

Their sum is $1 + 8 + 57 + 64 = 130.$

Thus, the correct answer is A .

4.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\frac{2 + 4 + 6 + \cdots + 34}{3 + 6 + 9 + \cdots + 51}$

What is the value of the following expression?

$\frac{2 + 4 + 6 + \cdots + 34}{3 + 6 + 9 + \cdots + 51}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{17}{3}$

$\dfrac{34}{3}$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética razón y proporción

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Saca $2$ como factor del numerador y $3$ del denominador.

Factor $2$ out of the numerator and $3$ out of the denominator

Pista grande:

Ambas sumas se convierten en el mismo múltiplo de $1 + 2 + \cdots + 17.$

Both sums become the same multiple of $1 + 2 + \cdots + 17$

Solución:

El numerador es $2(1 + 2 + \cdots + 17)$ y el denominador es $3(1 + 2 + \cdots + 17).$

El factor común se cancela, dejando $\dfrac{2}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The numerator is $2(1 + 2 + \cdots + 17)$ and the denominator is $3(1 + 2 + \cdots + 17).$

The common factor cancels, leaving $\dfrac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is B .

5.

Las letras $P,$ $Q,$ $R,$ $S$ y $T$ representan números ubicados en la recta numérica como se muestra.

¿Cuál de las siguientes expresiones representa un número negativo?

The letters $P,$ $Q,$ $R,$ $S,$ and $T$ represent numbers located on the number line as shown.

Which of the following expressions represents a negative number?

$P - Q$

$P \cdot Q$

$\dfrac{S}{Q} \cdot P$

$\dfrac{R}{P \cdot Q}$

$\dfrac{S + T}{R}$

Respuesta: A

Conceptos:desigualdad análisis por casos

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

En la recta numérica, $P$ y $Q$ son negativos, mientras que $R,$ $S,$ y $T$ son positivos.

From the number line, $P$ and $Q$ are negative while $R,$ $S,$ and $T$ are positive

Pista grande:

Un producto o cociente es negativo solo cuando hay un número impar de factores negativos; revisa cada opción.

A product or quotient is negative only with an odd number of negative factors; check each choice

Solución:

En la recta numérica, $P$ y $Q$ son negativos y $R,$ $S,$ $T$ son positivos.

Entonces $P \cdot Q$ es positivo; $\dfrac{S}{Q} \cdot P$ tiene dos factores negativos, así que es positivo; $\dfrac{R}{P \cdot Q}$ es positivo; y $\dfrac{S + T}{R}$ es positivo. Como $P$ está a la izquierda de $Q,$ $P - Q$ es negativo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From the number line, $P$ and $Q$ are negative and $R,$ $S,$ and $T$ are positive.

Then $P \cdot Q$ is positive; $\dfrac{S}{Q} \cdot P$ has two negative factors, so it is positive; $\dfrac{R}{P \cdot Q}$ is positive; and $\dfrac{S + T}{R}$ is positive. Since $P$ is to the left of $Q,$ $P - Q$ is negative.

Thus, the correct answer is A .

6.

¿Cuál es el menor resultado que se puede obtener mediante el siguiente proceso?

• Elige tres números distintos del conjunto $\{3, 5, 7, 11, 13, 17\}.$

• Suma dos de esos números.

• Multiplica su suma por el tercer número.

What is the smallest result that can be obtained by the following process?

• Choose three different numbers from the set $\{3, 5, 7, 11, 13, 17\}.$

• Add two of these numbers.

• Multiply their sum by the third number.

$15$

$30$

$36$

$50$

$56$

Respuesta: C

Conceptos:optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Para que el resultado sea pequeño, usa los tres números más pequeños $3,$ $5,$ y $7.$

To keep the result small, use the three smallest numbers $3,$ $5,$ and $7$

Pista grande:

El número más pequeño debe ser el multiplicador, ya que es el que menos amplifica la suma.

The smallest number should be the multiplier, since it scales the sum the least

Solución:

Usa los tres números más pequeños $3,$ $5,$ y $7.$ Las opciones son $3(5 + 7) = 36,$ $5(3 + 7) = 50,$ y $7(3 + 5) = 56.$

Tomar el número más pequeño como multiplicador da el menor resultado, $36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Use the three smallest numbers $3,$ $5,$ and $7.$ The choices are $3(5 + 7) = 36,$ $5(3 + 7) = 50,$ and $7(3 + 5) = 56.$

Making the smallest number the multiplier gives the least result, $36.$

Thus, the correct answer is C .

7.

Brent tiene peces dorados que se cuadruplican (se vuelven cuatro veces más) cada mes, y Gretel tiene peces dorados que se duplican cada mes. Si Brent tiene $4$ peces dorados en el mismo momento en que Gretel tiene $128$ peces dorados, ¿en cuántos meses a partir de ese momento tendrán la misma cantidad de peces dorados?

Brent has goldfish that quadruple (become four times as many) every month, and Gretel has goldfish that double every month. If Brent has $4$ goldfish at the same time that Gretel has $128$ goldfish, then in how many months from that time will they have the same number of goldfish?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión geométrica exponente

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Cada mes la cantidad de Brent se multiplica por $4$ y la de Gretel por $2.$

Each month Brent’s count multiplies by $4$ and Gretel’s by $2$

Pista grande:

La razón entre la cantidad de Gretel y la de Brent empieza en $128 : 4 = 32$ y se reduce a la mitad cada mes.

The ratio of Gretel’s to Brent’s count starts at $128 : 4 = 32$ and halves each month

Solución:

Las cantidades de Brent son $4,$ $16,$ $64,$ $256,$ $1024,$ $4096,$ y las de Gretel son $128,$ $256,$ $512,$ $1024,$ $2048,$ $4096.$

Son iguales después de $5$ meses, cuando ambos tienen $4096.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Brent’s counts are $4,$ $16,$ $64,$ $256,$ $1024,$ $4096,$ and Gretel’s are $128,$ $256,$ $512,$ $1024,$ $2048,$ $4096.$

They are equal after $5$ months, when both have $4096.$

Thus, the correct answer is B .

8.

Los puntos $A$ y $B$ están a $10$ unidades de distancia. Los puntos $B$ y $C$ están a $4$ unidades de distancia. Los puntos $C$ y $D$ están a $3$ unidades de distancia. Si $A$ y $D$ están lo más cerca posible, entonces el número de unidades entre ellos es

Points $A$ and $B$ are $10$ units apart. Points $B$ and $C$ are $4$ units apart. Points $C$ and $D$ are $3$ units apart. If $A$ and $D$ are as close as possible, then the number of units between them is

$0$

$3$

$9$

$11$

$17$

Respuesta: B

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Coloca todos los puntos sobre una misma recta de modo que $C$ y $D$ queden retraídos hacia $A.$

Place all the points on one line so that $C$ and $D$ are pulled back toward $A$

Pista grande:

Con todo colineal, $AD = AB - BC - CD.$

With everything collinear, $AD = AB - BC - CD$

Solución:

La distancia es mínima cuando los puntos son colineales con $C$ y $D$ hacia $A:$ toma $A = 0,$ $B = 10,$ $C = 6,$ $D = 3.$

Entonces $AD = 10 - 4 - 3 = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The distance is smallest when the points are collinear with $C$ and $D$ toward $A:$ take $A = 0,$ $B = 10,$ $C = 6,$ $D = 3.$

Then $AD = 10 - 4 - 3 = 3.$

Thus, the correct answer is B .

9.

Si $5$ veces un número es $2,$ entonces $100$ veces el recíproco del número es

If $5$ times a number is $2,$ then $100$ times the reciprocal of the number is

$2.5$

$40$

$50$

$250$

$500$

Respuesta: D

Conceptos:ecuación lineal fracción

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

El número satisface $5n = 2,$ así que $n = \dfrac{2}{5}.$

The number satisfies $5n = 2,$ so $n = \dfrac{2}{5}$

Pista grande:

El recíproco de $\dfrac{2}{5}$ es $\dfrac{5}{2};$ multiplícalo por $100.$

The reciprocal of $\dfrac{2}{5}$ is $\dfrac{5}{2};$ multiply it by $100$

Solución:

El número es $\dfrac{2}{5},$ cuyo recíproco es $\dfrac{5}{2}.$

Entonces $100 \cdot \dfrac{5}{2} = 250.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The number is $\dfrac{2}{5},$ whose reciprocal is $\dfrac{5}{2}.$

Then $100 \cdot \dfrac{5}{2} = 250.$

Thus, the correct answer is D .

10.

Cuando Walter llegó al surtidor de gasolina, notó que su tanque de gasolina estaba $\dfrac18$ lleno. Compró $7.5$ galones de gasolina por $\$10.$ Con esta gasolina adicional, su tanque quedó entonces $\dfrac58$ lleno. El número de galones de gasolina que su tanque contiene cuando está lleno es

When Walter drove up to the gasoline pump, he noticed that his gasoline tank was $\dfrac18$ full. He purchased $7.5$ gallons of gasoline for $\$10.$ With this additional gasoline, his gasoline tank was then $\dfrac58$ full. The number of gallons of gasoline his tank holds when it is full is

$8.75$

$10$

$11.5$

$15$

$22.5$

Respuesta: D

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pasar de $\dfrac18$ a $\dfrac58$ lleno es un aumento de $\dfrac12$ de un tanque.

Going from $\dfrac18$ to $\dfrac58$ full is an increase of $\dfrac12$ of a tank

Pista grande:

Si medio tanque son $7.5$ galones, duplícalo para un tanque lleno.

If half a tank is $7.5$ gallons, double it for a full tank

Solución:

El aumento es $\dfrac58 - \dfrac18 = \dfrac12$ de un tanque, que equivale a $7.5$ galones.

Así que un tanque lleno contiene $2 \cdot 7.5 = 15$ galones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The increase is $\dfrac58 - \dfrac18 = \dfrac12$ of a tank, which equals $7.5$ gallons.

So a full tank holds $2 \cdot 7.5 = 15$ gallons.

Thus, the correct answer is D .

11.

Sea $x$ el número

$0.\underbrace{0000\ldots00001}_{1996 \text{ ceros}},$

donde hay $1996$ ceros después del punto decimal. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el número más grande?

Let $x$ be the number

$0.\underbrace{0000\ldots00001}_{1996 \text{ zeros}},$

where there are $1996$ zeros after the decimal point. Which of the following expressions represents the largest number?

$3 + x$

$3 - x$

$3 \cdot x$

$\frac{3}{x}$

$\frac{x}{3}$

Respuesta: D

Conceptos:estimación

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

$x$ es un número positivo diminuto, apenas por encima de $0.$

$x$ is a tiny positive number, just above $0$

Pista grande:

Dividir $3$ entre un número diminuto da un resultado enorme, mientras que las otras opciones se mantienen cerca de $3$ o cerca de $0.$

Dividing $3$ by a tiny number gives a huge result, while the other choices stay near $3$ or near $0$

Solución:

Como $x$ es un número positivo muy pequeño, $3 + x$ y $3 - x$ están cerca de $3,$ mientras que $3 \cdot x$ y $\frac{x}{3}$ están cerca de $0.$

Pero $\frac{3}{x}$ es $3$ seguido de $1997$ ceros, mucho mayor que cualquier otra opción.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $x$ is a very small positive number, $3 + x$ and $3 - x$ are near $3,$ while $3 \cdot x$ and $\frac{x}{3}$ are near $0.$

But $\frac{3}{x}$ is $3$ followed by $1997$ zeros, far larger than any other choice.

Thus, the correct answer is D .

12.

¿Qué número debe eliminarse de la lista

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$

para que el promedio de los números restantes sea $6.1$ ?

What number should be removed from the list

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$

so that the average of the remaining numbers is $6.1?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:media trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Los once números suman $66.$

The eleven numbers add up to $66$

Pista grande:

Diez números con promedio $6.1$ deben sumar $61;$ halla cuál se eliminó.

Ten numbers averaging $6.1$ must total $61;$ find what was removed

Solución:

La suma del $1$ al $11$ es $66.$ Para que diez números tengan promedio $6.1,$ su suma debe ser $10 \cdot 6.1 = 61.$

Así que el número eliminado es $66 - 61 = 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The sum of $1$ through $11$ is $66.$ For ten numbers to average $6.1,$ their sum must be $10 \cdot 6.1 = 61.$

So the removed number is $66 - 61 = 5.$

Thus, the correct answer is B .

13.

En el otoño de $1996,$ un total de $800$ estudiantes participaron en un día anual de limpieza escolar. Los organizadores del evento esperan que en cada uno de los años $1997,$ $1998$ y $1999,$ la participación aumente un $50\%$ respecto al año anterior. El número de participantes que los organizadores esperan en el otoño de $1999$ es

In the fall of $1996,$ a total of $800$ students participated in an annual school clean-up day. The organizers of the event expect that in each of the years $1997,$ $1998,$ and $1999,$ participation will increase by $50\%$ over the previous year. The number of participants the organizers expect in the fall of $1999$ is

$1200$

$1500$

$2000$

$2400$

$2700$

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Un aumento del $50\%$ multiplica el número por $1.5.$

A $50\%$ increase multiplies the number by $1.5$

Pista grande:

Aplica el factor $1.5$ tres veces, para $1997,$ $1998,$ y $1999.$

Apply the factor $1.5$ three times, for $1997,$ $1998,$ and $1999$

Solución:

Cada año multiplica la cantidad por $1.5:$ $800 \to 1200 \to 1800 \to 2700.$

Así que se esperan $800 \cdot 1.5^3 = 2700$ participantes en $1999.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each year multiplies the count by $1.5:$ $800 \to 1200 \to 1800 \to 2700.$

So $800 \cdot 1.5^3 = 2700$ participants are expected in $1999.$

Thus, the correct answer is E .

14.

Seis dígitos distintos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ se colocan en las casillas de la figura mostrada, de modo que la suma de las entradas de la columna vertical es $23$ y la suma de las entradas de la fila horizontal es $12.$ La suma de los seis dígitos usados es

Six different digits from the set $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ are placed in the squares in the figure shown so that the sum of the entries in the vertical column is $23$ and the sum of the entries in the horizontal row is $12.$ The sum of the six digits used is

$27$

$29$

$31$

$33$

$35$

Respuesta: B

Conceptos:dígitos deducción lógica

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Tres dígitos distintos que suman $23$ deben ser $6,$ $8,$ y $9.$

Three distinct digits summing to $23$ must be $6,$ $8,$ and $9$

Pista grande:

La casilla compartida se cuenta en ambas sumas, así que el total de los seis dígitos es $23 + 12$ menos el dígito compartido.

The shared square is counted in both sums, so the total of the six digits is $23 + 12$ minus the shared digit

Solución:

Tres dígitos distintos del $1$ al $9$ que suman $23$ deben ser $6,$ $8,$ y $9.$ Los otros tres dígitos de la fila valen al menos $1 + 2 + 3 = 6,$ así que la casilla compartida (que pertenece tanto a la columna como a la fila) es a lo sumo $12 - 6 = 6.$ Por lo tanto, el dígito compartido es $6.$

Los seis dígitos son entonces $6,$ $8,$ $9,$ $1,$ $2,$ y $3,$ cuya suma es $29.$ De manera equivalente, $23 + 12 - 6 = 29.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Three distinct digits from $1$ through $9$ summing to $23$ must be $6,$ $8,$ and $9.$ The row’s other three digits are at least $1 + 2 + 3 = 6,$ so the shared square (belonging to both the column and the row) is at most $12 - 6 = 6.$ Hence the shared digit is $6.$

The six digits are then $6,$ $8,$ $9,$ $1,$ $2,$ and $3,$ whose sum is $29.$ Equivalently, $23 + 12 - 6 = 29.$

Thus, the correct answer is B .

15.

El residuo cuando el producto $1492 \cdot 1776 \cdot 1812 \cdot 1996$ se divide entre $5$ es

The remainder when the product $1492 \cdot 1776 \cdot 1812 \cdot 1996$ is divided by $5$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: E

Conceptos:dígito de las unidades aritmética modular

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

El residuo al dividir entre $5$ depende solo del dígito de las unidades del producto.

The remainder upon division by $5$ depends only on the units digit of the product

Pista grande:

Multiplica los dígitos de las unidades $2,$ $6,$ $2,$ $6$ y observa el dígito de las unidades de ese producto.

Multiply the units digits $2,$ $6,$ $2,$ and $6$ and look at that product’s units digit

Solución:

El dígito de las unidades del producto es igual al dígito de las unidades de $2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 6 = 144,$ que es $4.$

Un número que termina en $4,$ al dividirse entre $5,$ deja residuo $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The units digit of the product equals the units digit of $2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 6 = 144,$ which is $4.$

A number ending in $4,$ when divided by $5,$ leaves remainder $4.$

Thus, the correct answer is E .

16.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\begin{aligned} &1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 \\ &\quad {}+ 8 + 9 - 10 - 11 + 12 \\ &\quad {}+ 13 - \cdots + 1992 \\ &\quad {}+ 1993 - 1994 \\ &\quad {}- 1995 + 1996 \end{aligned}$

What is the value of the following expression?

$\begin{aligned} &1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 \\ &\quad {}+ 8 + 9 - 10 - 11 + 12 \\ &\quad {}+ 13 - \cdots + 1992 \\ &\quad {}+ 1993 - 1994 \\ &\quad {}- 1995 + 1996 \end{aligned}$

$-998$

$-1$

$0$

$1$

$998$

Respuesta: C

Conceptos:sumatoria emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Agrupa los términos en bloques de cuatro empezando desde el primero: $(1 - 2 - 3 + 4),$ $(5 - 6 - 7 + 8),$ y así sucesivamente.

Group the terms in blocks of four starting from the first: $(1 - 2 - 3 + 4),$ $(5 - 6 - 7 + 8),$ and so on

Pista grande:

Cada bloque de cuatro suma $0;$ comprueba que los $1996$ términos se dividen exactamente en tales bloques.

Each block of four sums to $0;$ check that the $1996$ terms divide evenly into such blocks

Solución:

Agrupar en bloques de cuatro da $1 - 2 - 3 + 4 = 0,$ $5 - 6 - 7 + 8 = 0,$ y así sucesivamente.

Hay $\frac{1996}{4} = 499$ de esos bloques, cada uno igual a $0,$ así que el total es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Grouping in blocks of four gives $1 - 2 - 3 + 4 = 0,$ $5 - 6 - 7 + 8 = 0,$ and so on.

There are $\frac{1996}{4} = 499$ such blocks, each equal to $0,$ so the total is $0.$

Thus, the correct answer is C .

17.

La figura $OPQR$ es un cuadrado. El punto $O$ es el origen, y el punto $Q$ tiene coordenadas $(2, 2).$ ¿Cuáles son las coordenadas de $T$ para que el área del triángulo $PQT$ sea igual al área del cuadrado $OPQR$ ?

Figure $OPQR$ is a square. Point $O$ is the origin, and point $Q$ has coordinates $(2, 2).$ What are the coordinates for $T$ so that the area of triangle $PQT$ equals the area of square $OPQR?$

$(-6, 0)$

$(-4, 0)$

$(-2, 0)$

$(2, 0)$

$(4, 0)$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

El cuadrado tiene lado $2,$ así que su área es $4;$ además $P = (2, 0)$ y la base $PQ$ es vertical con longitud $2.$

The square has side $2,$ so its area is $4;$ also $P = (2, 0)$ and the base $PQ$ is vertical with length $2$

Pista grande:

Si $T = (t, 0),$ su distancia horizontal a la recta $PQ$ es $\lvert 2 - t\rvert.$

If $T = (t, 0),$ its horizontal distance from line $PQ$ is $\lvert 2 - t\rvert$

Solución:

Como $OPQR$ es un cuadrado con $O = (0, 0)$ y $Q = (2, 2),$ tenemos $P = (2, 0)$ y $R = (0, 2),$ así que el área es $2^2 = 4.$

El triángulo $PQT$ tiene base vertical $PQ$ de longitud $2,$ y $T = (t, 0)$ está sobre el eje $x.$ Su área es $\tfrac12 \cdot 2 \cdot \lvert 2 - t\rvert = \lvert 2 - t\rvert.$ Igualar $\lvert 2 - t\rvert = 4$ da $t = -2$ o $t = 6.$ Solo $t = -2$ aparece entre las opciones, así que $T = (-2, 0).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $OPQR$ is a square with $O = (0, 0)$ and $Q = (2, 2),$ we have $P = (2, 0)$ and $R = (0, 2),$ so the area is $2^2 = 4.$

Triangle $PQT$ has vertical base $PQ$ of length $2,$ and $T = (t, 0)$ lies on the $x$ -axis. Its area is $\tfrac12 \cdot 2 \cdot \lvert 2 - t\rvert = \lvert 2 - t\rvert.$ Setting $\lvert 2 - t\rvert = 4$ gives $t = -2$ or $t = 6.$ Only $t = -2$ appears among the choices, so $T = (-2, 0).$

Thus, the correct answer is C .

18.

El salario mensual de Ana era de $\$2000$ en mayo. En junio recibió un aumento del $20\%.$ En julio recibió un recorte salarial del $20\%.$ Después de los dos cambios de junio y julio, el salario mensual de Ana era

Ana’s monthly salary was $\$2000$ in May. In June she received a $20\%$ raise. In July she received a $20\%$ pay cut. After the two changes in June and July, Ana’s monthly salary was

$\$1920$

$\$1980$

$\$2000$

$\$2020$

$\$2040$

Respuesta: A

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Un aumento del $20\%$ multiplica por $1.2;$ un recorte del $20\%$ multiplica por $0.8.$

A $20\%$ raise multiplies by $1.2;$ a $20\%$ cut multiplies by $0.8$

Pista grande:

Aplica ambos factores por turno: $2000 \cdot 1.2 \cdot 0.8.$

Apply both factors in turn: $2000 \cdot 1.2 \cdot 0.8$

Solución:

Después del aumento, el salario es $2000 \cdot 1.2 = 2400.$

Después del recorte, es $2400 \cdot 0.8 = 1920.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

After the raise, the salary is $2000 \cdot 1.2 = 2400.$

After the cut, it is $2400 \cdot 0.8 = 1920.$

Thus, the correct answer is A .

19.

Las gráficas circulares de abajo indican el porcentaje de estudiantes que prefieren golf, boliche o tenis en East Junior High School y West Middle School. El número total de estudiantes en East es $2000$ y en West, $2500.$ En las dos escuelas combinadas, el porcentaje de estudiantes que prefieren tenis es

The pie charts below indicate the percent of students who prefer golf, bowling, or tennis at East Junior High School and West Middle School. The total number of students at East is $2000$ and at West, $2500.$ In the two schools combined, the percent of students who prefer tennis is

$30\%$

$31\%$

$32\%$

$33\%$

$34\%$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje media

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Halla el número real de aficionados al tenis en cada escuela, no solo los porcentajes.

Find the actual number of tennis fans at each school, not just the percents

Pista grande:

Suma las dos cantidades y divide entre el total de $4500$ estudiantes.

Add the two counts and divide by the total of $4500$ students

Solución:

East tiene $0.22 \cdot 2000 = 440$ aficionados al tenis, y West tiene $0.40 \cdot 2500 = 1000.$

En conjunto, $1440$ de los $4500$ estudiantes prefieren tenis, lo que es $\dfrac{1440}{4500} = 32\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

East has $0.22 \cdot 2000 = 440$ tennis fans, and West has $0.40 \cdot 2500 = 1000.$

Together $1440$ of the $4500$ students prefer tennis, which is $\dfrac{1440}{4500} = 32\%.$

Thus, the correct answer is C .

20.

Supón que hay una tecla especial en una calculadora que reemplaza el número $x$ mostrado actualmente por el número dado por la fórmula $\frac{1}{1 - x}.$ Por ejemplo, si la calculadora muestra $2$ y se presiona la tecla especial, entonces la calculadora mostrará $-1,$ ya que $\frac{1}{1 - 2} = -1.$ Ahora supón que la calculadora muestra $5.$ Después de presionar la tecla especial $100$ veces seguidas, la calculadora mostrará

Suppose there is a special key on a calculator that replaces the number $x$ currently displayed with the number given by the formula $\frac{1}{1 - x}.$ For example, if the calculator is displaying $2$ and the special key is pressed, then the calculator will display $-1$ since $\frac{1}{1 - 2} = -1.$ Now suppose that the calculator is displaying $5.$ After the special key is pressed $100$ times in a row, the calculator will display

$-0.25$

$0$

$0.8$

$1.25$

$5$

Respuesta: A

Conceptos:función aritmética modular

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Aplica la tecla unas cuantas veces empezando desde $5$ y observa si aparece un ciclo repetitivo.

Apply the key a few times starting from $5$ and watch for a repeating cycle

Pista grande:

Los valores se repiten con período $3;$ halla dónde cae $100$ en el ciclo.

The values cycle with period $3;$ find where $100$ lands in the cycle

Solución:

Partiendo de $5:$ $\frac{1}{1 - 5} = -0.25,$ luego $\frac{1}{1 + 0.25} = 0.8,$ luego $\frac{1}{1 - 0.8} = 5.$ Los valores se repiten con período $3.$

Como $100 = 3 \cdot 33 + 1,$ la $100$ ª pulsación da el mismo resultado que la primera pulsación, $-0.25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Starting from $5:$ $\frac{1}{1 - 5} = -0.25,$ then $\frac{1}{1 + 0.25} = 0.8,$ then $\frac{1}{1 - 0.8} = 5.$ The values repeat with period $3.$

Since $100 = 3 \cdot 33 + 1,$ the $100$ th press gives the same result as the first press, $-0.25.$

Thus, the correct answer is A .

21.

¿Cuántos subconjuntos que contienen tres números diferentes se pueden seleccionar del conjunto $\{89, 95, 99, 132, 166, 173\}$ de modo que la suma de los tres números sea par?

How many subsets containing three different numbers can be selected from the set $\{89, 95, 99, 132, 166, 173\}$ so that the sum of the three numbers is even?

$6$

$8$

$10$

$12$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:paridad combinaciones

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Como solo hay dos números pares disponibles, una suma par debe usar dos impares y un par.

With only two even numbers available, an even sum must use two odd numbers and one even

Pista grande:

Hay $4$ números impares y $2$ pares; elige $2$ de los $4$ impares y $1$ de los $2$ pares.

There are $4$ odd and $2$ even numbers; choose $2$ of the $4$ odds and $1$ of the $2$ evens

Solución:

El conjunto tiene $4$ números impares: $89,$ $95,$ $99,$ y $173;$ y $2$ números pares: $132$ y $166.$ Una suma de tres es par solo con dos impares y uno par, ya que tres pares es imposible con solo dos disponibles.

El conteo es $\binom{4}{2} \cdot \binom{2}{1} = 6 \cdot 2 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The set has $4$ odd numbers— $89,$ $95,$ $99,$ and $173$ —and $2$ even numbers— $132$ and $166.$ A sum of three is even only with two odds and one even, since three evens is impossible with just two available.

The count is $\binom{4}{2} \cdot \binom{2}{1} = 6 \cdot 2 = 12.$

Thus, the correct answer is D .

22.

Las distancias horizontal y vertical entre puntos adyacentes son iguales a $1$ unidad. El área del triángulo $ABC$ es

The horizontal and vertical distances between adjacent points equal $1$ unit. The area of triangle $ABC$ is

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

$\dfrac{5}{4}$

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pick área del triángulo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Asigna coordenadas a $A,$ $B,$ y $C$ y usa la fórmula del determinante para el área.

Assign coordinates to $A,$ $B,$ and $C$ and use the determinant formula for area

Pista grande:

Alternativamente usa el teorema de Pick, área $= I + \tfrac{B}{2} - 1,$ con $I = 0$ puntos interiores y $B = 3$ puntos de frontera.

Alternatively use Pick’s theorem, area $= I + \tfrac{B}{2} - 1,$ with $I = 0$ interior points and $B = 3$ boundary points

Solución:

Tomando $A = (0, 0),$ $B = (3, 2),$ y $C = (4, 3),$ la fórmula del determinante da $\frac12\left\lvert 3\cdot3-2\cdot4\right\rvert=\frac12.$

De manera equivalente, por el teorema de Pick, sin puntos de red interiores y con $3$ puntos de frontera, el área es $0 + \tfrac32 - 1 = \tfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Taking $A = (0, 0),$ $B = (3, 2),$ and $C = (4, 3),$ the determinant formula gives $\frac12\left\lvert 3\cdot3-2\cdot4\right\rvert=\frac12.$

Equivalently, by Pick’s theorem with no interior lattice points and $3$ boundary points, the area is $0 + \tfrac32 - 1 = \tfrac12.$

Thus, the correct answer is B .

23.

El gerente de una empresa planeaba distribuir un bono de $\$50$ a cada empleado del fondo de la empresa, pero el fondo contenía $\$5$ menos de lo necesario. En su lugar, el gerente dio a cada empleado un bono de $\$45$ y dejó los $\$95$ restantes en el fondo de la empresa. La cantidad de dinero en el fondo de la empresa antes de pagar cualquier bono era

The manager of a company planned to distribute a $\$50$ bonus to each employee from the company fund, but the fund contained $\$5$ less than what was needed. Instead the manager gave each employee a $\$45$ bonus and kept the remaining $\$95$ in the company fund. The amount of money in the company fund before any bonuses were paid was

$\$945$

$\$950$

$\$955$

$\$990$

$\$995$

Respuesta: E

Conceptos:ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Sea $n$ el número de empleados; el fondo es igual a $50n - 5$ y también a $45n + 95.$

Let $n$ be the number of employees; the fund equals $50n - 5$ and also $45n + 95$

Pista grande:

Iguala las dos expresiones del fondo para despejar $n,$ luego calcula el fondo.

Set the two expressions for the fund equal to solve for $n,$ then compute the fund

Solución:

Sea $n$ el número de empleados. El fondo es $50n - 5$ (cinco dólares menos de $50$ por persona) y también $45n + 95.$

Igualar $50n - 5 = 45n + 95$ da $5n = 100,$ así que $n = 20.$ El fondo es $45 \cdot 20 + 95 = 995$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $n$ be the number of employees. The fund is $50n - 5$ (five dollars short of $50$ each) and also $45n + 95.$

Setting $50n - 5 = 45n + 95$ gives $5n = 100,$ so $n = 20.$ The fund is $45 \cdot 20 + 95 = 995.$

Thus, the correct answer is E .

24.

La medida del ángulo $ABC$ es $50^\circ.$ $\overline{AD}$ biseca el ángulo $BAC,$ y $\overline{DC}$ biseca el ángulo $BCA.$ La medida del ángulo $ADC$ es

The measure of angle $ABC$ is $50^\circ.$ $\overline{AD}$ bisects angle $BAC,$ and $\overline{DC}$ bisects angle $BCA.$ The measure of angle $ADC$ is

$90^\circ$

$100^\circ$

$115^\circ$

$122.5^\circ$

$125^\circ$

Respuesta: C

Conceptos:persecución de ángulos bisectriz

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

En el triángulo $ABC,$ los ángulos $BAC$ y $BCA$ suman $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ.$

In triangle $ABC,$ angles $BAC$ and $BCA$ add to $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

Pista grande:

Las mitades bisecadas en $A$ y $C$ suman $65^\circ;$ usa la suma de ángulos del triángulo $ADC.$

The bisected halves at $A$ and $C$ add to $65^\circ;$ use the angle sum in triangle $ADC$

Solución:

En el triángulo $ABC,$ $\begin{aligned} \angle BAC + \angle BCA &= 180^\circ - 50^\circ \\ &= 130^\circ. \end{aligned}$

Las bisectrices dan $\angle DAC + \angle DCA = \tfrac{130^\circ}{2} = 65^\circ.$ En el triángulo $ADC,$ $\angle ADC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In triangle $ABC,$ $\begin{aligned} \angle BAC + \angle BCA &= 180^\circ - 50^\circ \\ &= 130^\circ. \end{aligned}$

The bisectors give $\angle DAC + \angle DCA = \tfrac{130^\circ}{2} = 65^\circ.$ In triangle $ADC,$ $\angle ADC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ.$

Thus, the correct answer is C .

25.

Se elige un punto al azar dentro de una región circular. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto esté más cerca del centro de la región que de la frontera de la región?

A point is chosen at random from within a circular region. What is the probability that the point is closer to the center of the region than it is to the boundary of the region?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad geométrica razón de áreas

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Un punto está más cerca del centro que de la frontera exactamente cuando su distancia al centro es menor que la mitad del radio.

A point is closer to the center than the boundary exactly when its distance from the center is less than half the radius

Pista grande:

Compara el área del círculo interior de radio $\tfrac12$ con la del círculo completo de radio $1.$

Compare the area of the inner circle of radius $\tfrac12$ to the whole circle of radius $1$

Solución:

Toma el radio igual a $1.$ Un punto a distancia $r$ del centro está más cerca del centro que de la frontera cuando $r \lt 1 - r,$ es decir, $r \lt \tfrac12.$

La región favorable es un círculo de radio $\tfrac12,$ con área $\pi(\tfrac12)^2 = \tfrac{\pi}{4},$ de un área total $\pi.$ La probabilidad es $\dfrac{\frac{\pi}{4}}{\pi} = \dfrac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Take the radius to be $1.$ A point at distance $r$ from the center is closer to the center than to the boundary when $r \lt 1 - r,$ i.e. $r \lt \tfrac12.$

The favorable region is a circle of radius $\tfrac12,$ with area $\pi(\tfrac12)^2 = \tfrac{\pi}{4},$ out of the total area $\pi.$ The probability is $\dfrac{\frac{\pi}{4}}{\pi} = \dfrac14.$

Thus, the correct answer is A .

Problemas del 1996 AMC 8

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Pista grande: