Soluciones del 2002 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En una hoja de papel se dibujan un círculo y dos rectas distintas. ¿Cuál es el mayor número posible de puntos de intersección de estas figuras?

A circle and two distinct lines are drawn on a sheet of paper. What is the largest possible number of points of intersection of these figures?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:conteo de intersecciones optimización

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Cuenta por separado cada tipo de par de figuras.

Count each type of pair of figures separately.

Pista grande:

Cada recta puede cortar al círculo a lo sumo dos veces, y las dos rectas pueden cortarse una vez.

Each line can meet the circle at most twice, and the two lines can meet once.

Solución:

Una recta y un círculo pueden cortarse en a lo sumo dos puntos, y dos rectas distintas pueden cortarse en a lo sumo un punto.

Coloca las dos rectas de modo que cada una corte al círculo dos veces y que ambas rectas se corten en otro punto. Esto da $2+2+1=5.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

A line and a circle can intersect at no more than two points, and two distinct lines can intersect at no more than one point.

Arrange the two lines so each meets the circle twice and the two lines meet at a different point. This gives $2+2+1=5.$

Thus, D is the correct answer.

2.

¿Cuántas combinaciones distintas de billetes de $\$5$ y billetes de $\$2$ se pueden usar para formar un total de $\$17$ ? En este problema el orden no importa.

How many different combinations of $\$5$ bills and $\$2$ bills can be used to make a total of $\$17?$ Order does not matter in this problem.

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:Ecuación diofántica paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 610

Pista pequeña:

Como $\$17$ es impar, el número de billetes de $\$5$ debe ser impar.

Because $\$17$ is odd, the number of $\$5$ bills must be odd.

Pista grande:

Prueba las cantidades impares posibles de billetes de $\$5$ antes de que el total supere $\$17.$

Try the possible odd numbers of $\$5$ bills before the total goes over $\$17.$

Solución:

Como el total $\$17$ es impar, el número de billetes de $\$5$ debe ser impar.

Un billete de $\$5$ deja $\$12,$ que son seis billetes de $\$2.$ Tres billetes de $\$5$ dejan $\$2,$ que es un billete de $\$2.$ Cinco billetes de $\$5$ es demasiado.

Por lo tanto, hay $2$ combinaciones.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since the total $\$17$ is odd, the number of $\$5$ bills must be odd.

One $\$5$ bill leaves $\$12,$ which is six $\$2$ bills. Three $\$5$ bills leave $\$2,$ which is one $\$2$ bill. Five $\$5$ bills is too much.

Therefore, there are $2$ combinations.

Thus, A is the correct answer.

3.

¿Cuál es el menor promedio posible de cuatro enteros pares positivos distintos?

What is the smallest possible average of four distinct positive even integers?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Para que el promedio sea lo más pequeño posible, elige los enteros más pequeños posibles.

To make the average as small as possible, choose the smallest possible integers.

Pista grande:

Usa los cuatro enteros pares positivos distintos más pequeños.

Use the four smallest distinct positive even integers.

Solución:

Para obtener el menor promedio posible, queremos usar los $4$ enteros pares positivos más pequeños.

Esto se logra de la siguiente manera: $\dfrac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = \dfrac{20}{4}$ $= 5.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

To get the smallest possible average, we want to use the smallest $4$ positive even integers.

This can be achieved as follows: $\dfrac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = \dfrac{20}{4}$ $= 5.$

Thus, C is the correct answer.

4.

El año $2002$ es un palíndromo (un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda). ¿Cuál es el producto de las cifras del siguiente año después de $2002$ que sea un palíndromo?

The year $2002$ is a palindrome (a number that reads the same from left to right as it does from right to left). What is the product of the digits of the next year after $2002$ that is a palindrome?

$0$

$4$

$9$

$16$

$25$

Conceptos:palíndromo dígitos

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

El siguiente palíndromo después de $2002$ sigue empezando y terminando con $2.$

The next palindrome after $2002$ still starts and ends with $2.$

Pista grande:

Las dos cifras centrales deben aumentar hasta el menor par de cifras iguales.

The middle two digits must increase to the smallest matching pair.

Solución:

No queremos aumentar la cifra de los millares, así que podemos mantenerla en $2.$

Esto significa que tenemos que aumentar las cifras de las decenas y las centenas hasta $1,$ para obtener el siguiente palíndromo $2112.$ El producto de sus cifras es $4.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We don’t want to increase the thousands digit, so we can keep that as $2.$

This means that we have to increase the tens and hundreds digits to $1,$ to yield the next palindrome of $2112.$ The product of its digits is $4.$

Thus, B is the correct answer.

5.

Carlos Montado nació el sábado $9$ de noviembre de $2002.$ ¿Qué día de la semana tendrá Carlos $706$ días de edad?

Carlos Montado was born on Saturday, November $9,$ $2002.$ On what day of the week will Carlos be $706$ days old?

lunes

Monday

miércoles

Wednesday

viernes

Friday

sábado

Saturday

domingo

Sunday

Conceptos:aritmética modular fecha y hora

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Calcula el residuo de $706$ módulo $7.$

Reduce $706$ modulo $7.$

Pista grande:

$700$ días es un número exacto de semanas.

$700$ days is an exact number of weeks.

Solución:

Los días de la semana se repiten cada $7$ días. Después de $700$ días, el día de la semana seguirá siendo sábado.

Después de $6$ días más, el día de la semana será viernes.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The days of the week cycle every $7$ days. After $700$ days, the day of the week will still be Saturday.

After $6$ more days, the day of the week will be Friday.

Thus, C is the correct answer.

6.

Una fuente para pájaros está diseñada para desbordarse de modo que se limpie por sí misma. El agua entra a razón de $20$ mililitros por minuto y drena a razón de $18$ mililitros por minuto. Una de estas gráficas muestra el volumen de agua en la fuente durante el tiempo de llenado y continuando hasta el tiempo de desbordamiento. ¿Cuál es?

A birdbath is designed to overflow so that it will be self-cleaning. Water flows in at the rate of $20$ milliliters per minute and drains at the rate of $18$ milliliters per minute. One of these graphs shows the volume of water in the birdbath during the filling time and continuing into the overflow time. Which one is it?

Conceptos:tasa interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Antes del desbordamiento, el volumen sube a una tasa positiva constante.

Before overflow, the volume rises at a constant positive rate.

Pista grande:

Después de que la fuente se llena, el agua adicional se desborda, así que el volumen permanece constante.

After the birdbath is full, extra water overflows so the volume stays constant.

Solución:

Antes de que la fuente se desborde, gana $20-18=2$ mililitros de agua por minuto, así que su volumen aumenta de forma constante.

Una vez que la fuente está llena, el agua adicional que entra se desborda, así que el volumen permanece constante. Solo la gráfica A muestra una línea creciente seguida de una línea horizontal.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Before the birdbath overflows, it gains $20-18=2$ milliliters of water per minute, so its volume increases steadily.

Once the birdbath is full, the incoming extra water overflows, so the volume remains constant. Only graph A shows an increasing line followed by a horizontal line.

Thus, A is the correct answer.

7.

A los estudiantes de la clase de la señora Sawyer se les pidió hacer una prueba de sabor de cinco tipos de dulce. Cada estudiante eligió un tipo de dulce. Se muestra una gráfica de barras de sus preferencias. ¿Qué porcentaje de su clase eligió el dulce $E$ ?

The students in Mrs. Sawyer’s class were asked to do a taste test of five kinds of candy. Each student chose one kind of candy. A bar graph of their preferences is shown. What percent of her class chose candy $E?$

$5$

$12$

$15$

$16$

$20$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas porcentaje

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Suma las alturas de las cinco barras para obtener el tamaño de la clase.

Add the heights of all five bars to get the class size.

Pista grande:

Compara la altura de la barra $E$ con el número total de estudiantes.

Compare the height of bar $E$ with the total number of students.

Solución:

En la clase hay en total $6 + 8 + 4 + 2 + 5 = 25$ estudiantes. El porcentaje que eligió $E$ es $100 \cdot \dfrac{5}{25} = \dfrac{100}{5} = 20 \%.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

There are a total of $6 + 8 + 4 + 2 + 5 = 25$ students in the class. The percent that chose $E$ is $100 \cdot \dfrac{5}{25} = \dfrac{100}{5} = 20 \%.$

Thus, E is the correct answer.

8.

Los problemas $8,$ $9,$ y $10$ usan los datos del párrafo y la tabla adjuntos.

El viejo rincón filatélico de Juan

Juan organiza las estampillas de su colección por país y por la década en que se emitieron. Los precios que pagó por ellas en una tienda de estampillas fueron: Brasil y Francia, $6$ ¢ cada una, Perú $4$ ¢ cada una, y España $5$ ¢ cada una. (Brasil y Perú son países sudamericanos, y Francia y España están en Europa.)

Número de estampillas por década

¿Cuántas de sus estampillas europeas se emitieron en los años $80$ ?

Problems $8,$ $9,$ and $10$ use the data found in the accompanying paragraph and table.

Juan’s Old Stamping Grounds

Juan organizes the stamps in his collection by country and by the decade in which they were issued. The prices he paid for them at a stamp shop were: Brazil and France, $6$ ¢ each, Peru $4$ ¢ each, and Spain $5$ ¢ each. (Brazil and Peru are South American countries and France and Spain are in Europe.)

Number of Stamps by Decade

How many of his European stamps were issued in the ‘ $80$ s?

$9$

$15$

$18$

$24$

$42$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

En la tabla, europeas se refiere a Francia y España.

European means France and Spain in the table.

Pista grande:

Usa solo las entradas de la columna de los años $80.$

Use only the entries in the ‘ $80$ s column.

Solución:

Nota que Francia y España son los países europeos. El número de estampillas de los años $80$ de estos países es respectivamente $15$ y $9,$ para un total de $15 + 9 = 24$ estampillas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that France and Spain are the European countries. The number of ‘ $80$ s stamps from these countries respectively is $15$ and $9$ for a total of $15 + 9 = 24$ stamps.

Thus, D is the correct answer.

9.

Sus estampillas sudamericanas emitidas antes de los años $70$ le costaron

His South American stamps issued before the ‘ $70$ s cost him

$\$0.40$

$\$1.06$

$\$1.80$

$\$2.38$

$\$2.64$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas dinero

Nivel de dificultad: 1010

Pista pequeña:

Sudamericanas se refiere a Brasil y Perú.

South American means Brazil and Peru.

Pista grande:

Antes de los años $70$ se refiere a las columnas de los años $50$ y $60.$

Before the ‘ $70$ s means the ‘ $50$ s and ‘ $60$ s columns.

Solución:

Brasil y Perú son los países sudamericanos.

Brasil tiene $4+7=11$ estampillas anteriores a los años $70,$ con un costo de $11\cdot6=66$ centavos. Perú tiene $6+4=10$ estampillas de ese tipo, con un costo de $10\cdot4=40$ centavos.

El costo total es $66+40=106$ centavos, es decir $\$1.06.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Brazil and Peru are the South American countries.

Brazil has $4+7=11$ stamps before the ‘ $70$ s, costing $11\cdot6=66$ cents. Peru has $6+4=10$ such stamps, costing $10\cdot4=40$ cents.

The total cost is $66+40=106$ cents, or $\$1.06.$

Thus, B is the correct answer.

10.

El precio promedio de sus estampillas de los años $70$ es más cercano a

The average price of his ‘ $70$ s stamps is closest to

$3.5$ ¢

$4$ ¢

$4.5$ ¢

$5$ ¢

$5.5$ ¢

Conceptos:interpretación de datos y gráficas media

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Calcula el costo total de todas las estampillas de los años $70.$

Compute the total cost of all ‘ $70$ s stamps.

Pista grande:

Divide el costo total entre el número de estampillas de los años $70,$ y luego elige la opción más cercana.

Divide the total cost by the number of ‘ $70$ s stamps, then choose the closest option.

Solución:

Las estampillas de los años $70$ cuestan $\begin{aligned} &12\cdot6+12\cdot6 \\ &\quad {}+6\cdot4+13\cdot5 \\ &\quad {}=72+72+24+65 \\ &\quad {}=233 \end{aligned}$ centavos.

Hay $12+12+6+13=43$ estampillas, así que el costo promedio es $233\div43,$ un poco más de $5$ centavos y lo más cercano a $5.5$ centavos.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The ‘ $70$ s stamps cost $\begin{aligned} &12\cdot6+12\cdot6 \\ &\quad {}+6\cdot4+13\cdot5 \\ &\quad {}=72+72+24+65 \\ &\quad {}=233 \end{aligned}$ cents.

There are $12+12+6+13=43$ stamps, so the average cost is $233\div43,$ a little more than $5$ cents and closest to $5.5$ cents.

Thus, E is the correct answer.

11.

Una sucesión de cuadrados está hecha de baldosas cuadradas idénticas. El lado de cada cuadrado es una baldosa más largo que el lado del cuadrado anterior. Se muestran los primeros tres cuadrados. ¿Cuántas baldosas más necesita el séptimo cuadrado que el sexto?

A sequence of squares is made of identical square tiles. The edge of each square is one tile length longer than the edge of the previous square. The first three squares are shown. How many more tiles does the seventh square require than the sixth?

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:cuadrado perfecto reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

El sexto y el séptimo cuadrado tienen lados de longitud $6$ y $7.$

The sixth and seventh squares have side lengths $6$ and $7.$

Pista grande:

Compara $7^2$ y $6^2.$

Compare $7^2$ and $6^2.$

Solución:

Los lados del sexto y del séptimo cuadrado miden $6$ y $7$ baldosas, respectivamente.

Usan $6^2=36$ y $7^2=49$ baldosas, respectivamente, así que el séptimo cuadrado necesita $49-36=13$ baldosas más.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The sixth and seventh squares have side lengths $6$ and $7$ tile lengths.

They use $6^2=36$ and $7^2=49$ tiles, respectively, so the seventh square requires $49-36=13$ more tiles.

Thus, C is the correct answer.

12.

La rueda giratoria de un juego de mesa está dividida en tres regiones marcadas $A,$ $B$ y $C.$ La probabilidad de que la flecha se detenga en la región $A$ es $\frac{1}{3}$ y en la región $B$ es $\frac{1}{2}.$ La probabilidad de que la flecha se detenga en la región $C$ es

A board game spinner is divided into three regions labeled $A,$ $B$ and $C.$ The probability of the arrow stopping on region $A$ is $\frac{1}{3}$ and on region $B$ is $\frac{1}{2}.$ The probability of the arrow stopping on region $C$ is

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

Conceptos:probabilidad básica probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Las probabilidades de $A,$ $B$ y $C$ suman $1.$

The probabilities of $A,$ $B,$ and $C$ add to $1.$

Pista grande:

Resta de $1$ las probabilidades de $A$ y $B.$

Subtract the probabilities for $A$ and $B$ from $1.$

Solución:

La probabilidad total es $1.$ Necesitamos restar la probabilidad de que la rueda caiga en $B$ y en $A$ para obtener $C,$ que es $1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The total probability is $1.$ We need to subtract the probability of the spinner landing on $B$ and $A$ to get $C,$ which is $1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}.$

Thus, B is the correct answer.

13.

Por su cumpleaños, Bert recibe una caja que contiene $125$ gomitas cuando está llena a su capacidad. Unas semanas después, Carrie recibe una caja más grande llena de gomitas. Su caja es dos veces más alta, dos veces más ancha y dos veces más larga que la de Bert. Aproximadamente, ¿cuántas gomitas recibió Carrie?

For his birthday, Bert gets a box that holds $125$ jellybeans when filled to capacity. A few weeks later, Carrie gets a larger box full of jellybeans. Her box is twice as high, twice as wide and twice as long as Bert’s. Approximately, how many jellybeans did Carrie get?

$250$

$500$

$625$

$750$

$1000$

Conceptos:volumen escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Duplicar el largo, el ancho y la altura multiplica el volumen por $2\cdot2\cdot2.$

Doubling length, width, and height multiplies volume by $2\cdot2\cdot2.$

Pista grande:

Escala el número de gomitas por el factor de volumen.

Scale the number of jellybeans by the volume factor.

Solución:

La caja más grande tendrá aproximadamente $125 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1000$ gomitas.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The larger box will have approximately $125 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1000$ jellybeans.

Thus, E is the correct answer.

14.

Un comerciante ofrece un gran grupo de artículos con un $30\%$ de descuento. Después, el comerciante aplica un $20\%$ de descuento sobre estos precios rebajados y afirma que el precio final de estos artículos tiene un $50\%$ de descuento sobre el precio original. El descuento total es

A merchant offers a large group of items at $30\%$ off. Later, the merchant takes $20\%$ off these sale prices and claims that the final price of these items is $50\%$ off the original price. The total discount is

$35\%$

$44\%$

$50\%$

$56\%$

$60\%$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Después de un descuento del $30\%,$ queda el $70\%$ del precio original.

After a $30\%$ discount, $70\%$ of the original price remains.

Pista grande:

El segundo descuento es del $20\%$ sobre el precio rebajado, no sobre el precio original.

The second discount is $20\%$ off the sale price, not the original price.

Solución:

Sea $x$ el precio original. Después del descuento del $30\%,$ el precio es $0.70x.$

Aplicar otro $20\%$ de descuento sobre ese precio rebajado deja $0.80\cdot0.70x=0.56x.$

El cliente paga el $56\%$ del precio original, así que el descuento total es del $44\%.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the original price be $x.$ After the $30\%$ discount, the price is $0.70x.$

Taking another $20\%$ off that sale price leaves $0.80\cdot0.70x=0.56x.$

The customer pays $56\%$ of the original price, so the total discount is $44\%.$

Thus, B is the correct answer.

15.

¿Cuál de los siguientes polígonos tiene la mayor área?

Which of the following polygons has the largest area?

$\text{A}$

$\text{B}$

$\text{C}$

$\text{D}$

$\text{E}$

Conceptos:área punto reticular

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Divide cada polígono en cuadrados unitarios y triángulos de media unidad cuadrada.

Break each polygon into unit squares and half-unit triangles.

Pista grande:

Compara las cinco áreas contando cuadrados completos y medios cuadrados unitarios.

Compare the five areas by counting full squares plus half-squares.

Solución:

El número de casillas encerradas por cada polígono se puede obtener dividiendo el polígono en cuadrados unitarios y triángulos rectángulos de lado $1,$ y sumando sus valores.

Los cuadrados unitarios cuentan como $1$ y los triángulos cuentan como $0.5.$

$A$ tiene un área total de $5,$ $B$ tiene $5,$ $C$ tiene $5,$ $D$ tiene $4.5,$ y $E$ tiene $5.5.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The number of boxes enclosed by each polygon can be obtained by dividing the polygon into unit squares and right triangles with sidelength $1$ and adding up their values.

The unit squares count as $1$ and the triangles count as $0.5.$

$A$ has a total area of $5,$ $B$ has $5,$ $C$ has $5,$ $D$ has $4.5,$ and $E$ has $5.5.$

Thus, E is the correct answer.

16.

Sobre los lados de un triángulo rectángulo $3-4-5$ se construyen triángulos rectángulos isósceles, como se muestra. Una letra mayúscula representa el área de cada triángulo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Right isosceles triangles are constructed on the sides of a $3-4-5$ right triangle, as shown. A capital letter represents the area of each triangle. Which one of the following is true?

$X + Z = W + Y$

$W + X = Z$

$3X + 4Y = 5Z$

$X + W = \dfrac{1}{2}(Y + Z)$

$X + Y = Z$

Conceptos:Teorema de Pitágoras área

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Cada triángulo rectángulo isósceles tiene un área igual a la mitad del cuadrado del lado sobre el que está construido.

Each right isosceles triangle has area half the square of the side it is built on.

Pista grande:

Calcula las áreas sobre los lados $3,$ $4$ y $5.$

Compute the areas on the sides $3,$ $4,$ and $5.$

Solución:

Para un triángulo rectángulo isósceles construido sobre un lado de longitud $s,$ los dos catetos tienen longitud $s,$ así que su área es $\frac{s^2}{2}.$

$\begin{aligned} &W=\frac{3\cdot4}{2}=6, \\ &\quad X=\frac{3^2}{2}=4.5, \\ &\quad Y=\frac{4^2}{2}=8, \\ &\quad Z=\frac{5^2}{2}=12.5. \end{aligned}$

Estos valores satisfacen $X+Y=Z,$ y las demás ecuaciones listadas no.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

For a right isosceles triangle built on a side of length $s,$ the two legs have length $s,$ so its area is $\frac{s^2}{2}.$

$\begin{aligned} &W=\frac{3\cdot4}{2}=6, \\ &\quad X=\frac{3^2}{2}=4.5, \\ &\quad Y=\frac{4^2}{2}=8, \\ &\quad Z=\frac{5^2}{2}=12.5. \end{aligned}$

These values satisfy $X+Y=Z,$ and the other listed equations do not.

Thus, E is the correct answer.

17.

En un concurso de matemáticas con diez problemas, un estudiante gana $5$ puntos por una respuesta correcta y pierde $2$ puntos por una respuesta incorrecta. Si Olivia respondió todos los problemas y su puntaje fue $29,$ ¿cuántas respuestas correctas tuvo?

In a mathematics contest with ten problems, a student gains $5$ points for a correct answer and loses $2$ points for an incorrect answer. If Olivia answered every problem and her score was $29,$ how many correct answers did she have?

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Sea $x$ el número de respuestas correctas.

Let $x$ be the number of correct answers.

Pista grande:

Entonces el número de respuestas incorrectas es $10-x.$

Then the number of incorrect answers is $10-x.$

Solución:

Sea $x$ el número de respuestas correctas. Entonces respondió $10 - x$ preguntas de forma incorrecta.

Esto le da un puntaje total de $5x - 2(10 - x) = 7x - 20.$

Sabemos que esto es igual a $29,$ y al resolver se obtiene $7x - 20 = 29$ $x = 7.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of correct answers. Then she answered $10 - x$ questions incorrectly.

This gives her a total score of $5x - 2(10 - x) = 7x - 20.$

We know that this equals $29,$ and solving yields $7x - 20 = 29$ $x = 7.$

Thus, C is the correct answer.

18.

Gage patinó $1$ h $15$ min cada día durante $5$ días y $1$ h $30$ min cada día durante $3$ días. ¿Cuánto tiempo tendría que patinar el noveno día para promediar $85$ minutos de patinaje cada día durante todo el periodo?

Gage skated $1$ hr $15$ min each day for $5$ days and $1$ hr $30$ min each day for $3$ days. How long would he have to skate the ninth day in order to average $85$ minutes of skating each day for the entire time?

$1$ h

$1$ hr

$1$ h $10$ min

$1$ hr $10$ min

$1$ h $20$ min

$1$ hr $20$ min

$1$ h $40$ min

$1$ hr $40$ min

$2$ h

$2$ hr

Conceptos:media conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Convierte todos los tiempos de patinaje a minutos.

Convert all skating times to minutes.

Pista grande:

Halla el total de minutos necesarios para un promedio de $85$ en $9$ días.

Find the total minutes needed for a $9$ -day average of $85.$

Solución:

Gage ha patinado un total de $5 \cdot 75 + 3 \cdot 90 = 645$ minutos.

Para un promedio de $85$ minutos en $9$ días, Gage debe haber patinado un total de $85 \cdot 9 = 765$ minutos.

Esto significa que Gage debe patinar $765 - 645 = 120$ minutos el último día. Observa que $120$ minutos equivale a $2$ horas.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Gage has skated a total of $5 \cdot 75 + 3 \cdot 90 = 645$ minutes.

For an average of $85$ minutes over $9$ days, Gage must have skated a total of $85 \cdot 9 = 765$ minutes.

This means that Gage must skate $765 - 645 = 120$ minutes on the last day. Note that $120$ minutes is the same as $2$ hours.

Thus, E is the correct answer.

19.

¿Cuántos números enteros entre $99$ y $999$ contienen exactamente un $0$ ?

How many whole numbers between $99$ and $999$ contain exactly one $0?$

$72$

$90$

$144$

$162$

$180$

Conceptos:dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

El número es un número de tres cifras.

The number is a three-digit number.

Pista grande:

El único $0$ puede estar en las decenas o en las unidades, pero no en las centenas.

The single $0$ can be in the tens place or the ones place, but not the hundreds place.

Solución:

Nota que la cifra $0$ puede ser la de las decenas o la de las unidades. Esto nos da $2$ opciones.

Hay $9$ opciones para cada una de las otras cifras, para un total de $2 \cdot 9 \cdot 9 = 162$ números.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that the $0$ digit can either be the tens or the units digit. This gives us $2$ options for this.

There are $9$ options for each of the other digits for a total of $2 \cdot 9 \cdot 9 = 162$ numbers.

Thus, D is the correct answer.

20.

El área del triángulo $XYZ$ es $8$ pulgadas cuadradas. Los puntos $A$ y $B$ son los puntos medios de los segmentos congruentes $\overline{XY}$ y $\overline{XZ}.$ La altura $\overline{XC}$ biseca a $\overline{YZ}.$ El área (en pulgadas cuadradas) de la región sombreada es

The area of triangle $XYZ$ is $8$ square inches. Points $A$ and $B$ are midpoints of congruent segments $\overline{XY}$ and $\overline{XZ}.$ Altitude $\overline{XC}$ bisects $\overline{YZ}.$ The area (in square inches) of the shaded region is

$1 \frac{1}{2}$

$2$

$2 \frac{1}{2}$

$3$

$3 \frac{1}{2}$

Conceptos:semejanza razón de áreas punto medio

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

La altura divide el triángulo isósceles en dos mitades iguales.

The altitude splits the isosceles triangle into two equal halves.

Pista grande:

El segmento que pasa por los puntos medios crea un triángulo semejante con lados de la mitad de longitud.

The segment through the midpoints creates a similar triangle with half the side lengths.

Solución:

Como $XY=XZ$ y $XC$ biseca a $YZ,$ la altura $XC$ divide a $\triangle XYZ$ en dos triángulos congruentes. La mitad izquierda $\triangle XYC$ tiene área $4.$

En $\triangle XYC,$ el punto $A$ es el punto medio de $XY.$ El segmento horizontal que pasa por $A$ corta a $XC$ a media altura, así que el pequeño triángulo superior es semejante a $\triangle XYC$ con factor de escala $\frac{1}{2}.$ Por lo tanto, su área es $\frac{1}{4}$ de $4,$ es decir $1.$

La región sombreada es el resto de la mitad izquierda, así que su área es $4-1=3.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since $XY=XZ$ and $XC$ bisects $YZ,$ altitude $XC$ splits $\triangle XYZ$ into two congruent triangles. The left half $\triangle XYC$ has area $4.$

In $\triangle XYC,$ point $A$ is the midpoint of $XY.$ The horizontal segment through $A$ meets $XC$ halfway up, so the small top triangle is similar to $\triangle XYC$ with scale factor $\frac{1}{2}.$ Its area is therefore $\frac{1}{4}$ of $4,$ or $1.$

The shaded region is the rest of the left half, so its area is $4-1=3.$

Thus, D is the correct answer.

21.

Harold lanza una moneda de cinco centavos cuatro veces. La probabilidad de que obtenga al menos tantas caras como cruces es

Harold tosses a nickel four times. The probability that he gets at least as many heads as tails is

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{11}{16}$

Conceptos:probabilidad binomial combinaciones

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Al menos tantas caras como cruces significa $2,$ $3$ o $4$ caras.

At least as many heads as tails means $2,$ $3,$ or $4$ heads.

Pista grande:

Cuenta los resultados eligiendo cuáles lanzamientos son caras.

Count outcomes by choosing which tosses are heads.

Solución:

Hay $2^4=16$ resultados igualmente probables para cuatro lanzamientos de moneda.

Obtener al menos tantas caras como cruces significa obtener $2,$ $3$ o $4$ caras. El número de tales resultados es $\begin{aligned} &\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4} \\ &\quad {}=6+4+1=11. \end{aligned}$

Así, la probabilidad es $\dfrac{11}{16}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

There are $2^4=16$ equally likely outcomes for four coin tosses.

At least as many heads as tails means getting $2,$ $3,$ or $4$ heads. The number of such outcomes is $\begin{aligned} &\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4} \\ &\quad {}=6+4+1=11. \end{aligned}$

Thus the probability is $\dfrac{11}{16}.$

Thus, E is the correct answer.

22.

Seis cubos, cada uno de una pulgada de arista, están unidos entre sí, como se muestra. Halla el área total de la superficie en pulgadas cuadradas. Incluye la cara superior, la inferior y los lados.

Six cubes, each an inch on an edge, are fastened together, as shown. Find the total surface area in square inches. Include the top, bottom, and sides.

$18$

$24$

$26$

$30$

$36$

Conceptos:área de superficie Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Empieza con $6$ cubos separados, cada uno con $6$ caras expuestas.

Start with $6$ separate cubes, each with $6$ exposed faces.

Pista grande:

Cada par de caras pegadas elimina dos caras expuestas.

Each glued pair of faces removes two exposed faces.

Solución:

Podemos contar el número de caras no expuestas para hallar cuántas caras contribuyen al área de la superficie.

Tres cubos tienen $1$ cara no expuesta, dos cubos tienen $2$ caras no expuestas, y un cubo tiene $3$ caras no expuestas.

Esto nos da un total de $3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 10$ caras no expuestas, lo que nos da $6 \cdot 6 - 10 = 36 - 10$ $= 26$ caras expuestas.

Cada cara expuesta contribuye $1^2 = 1$ al área de la superficie, para un área total de $1 \cdot 26 = 26.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can count the number of unexposed faces to find how many faces contribute to the surface area.

Three cubes have $1$ face unexposed, two cubes have $2$ faces unexposed, and one cube has $3$ faces unexposed.

This gives us a total of $3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 10$ unexposed faces, which gives us $6 \cdot 6 - 10 = 36 - 10$ $= 26$ exposed faces.

Each exposed face contributes $1^2 = 1$ to the surface area, for a total surface area of $1 \cdot 26 = 26.$

Thus, C is the correct answer.

23.

Se muestra una esquina de un piso embaldosado. Si todo el piso se embaldosa de esta manera y cada una de las cuatro esquinas se ve como esta, ¿qué fracción del piso embaldosado está hecha de baldosas más oscuras?

A corner of a tiled floor is shown. If the entire floor is tiled in this way and each of the four corners looks like this one, then what fraction of the tiled floor is made of darker tiles?

$\dfrac{1}3$

$\dfrac{4}9$

$\dfrac{1}2$

$\dfrac{5}9$

$\dfrac{5}8$

Conceptos:teselado razón de áreas

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Busca un bloque $3\times3$ que se repite.

Look for a repeating $3\times3$ block.

Pista grande:

En un bloque, combina pares de medias baldosas oscuras para formar baldosas oscuras completas.

In one block, combine pairs of half dark squares into whole dark squares.

Solución:

Nota que hay regiones $3 \times 3$ que se repiten con el mismo patrón (pueden estar rotadas de forma distinta).

En esta región, hay tres cuadrados unitarios oscuros y dos triángulos oscuros que se combinan para formar otro cuadrado unitario.

Esto hace que el área de la región más oscura sea $4$ y la región completa sea $9.$ La fracción buscada es entonces $\dfrac{4}{9}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Notice that there are repeating $3 \times 3$ regions with the same pattern (they might be rotated differently).

In this region, there are three dark unit squares and two dark triangles that combine to form another unit square.

This makes the area of the darker region $4$ and the whole region $9.$ The desired fraction is then $\dfrac{4}{9}.$

Thus, B is the correct answer.

24.

Miki tiene una docena de naranjas del mismo tamaño y una docena de peras del mismo tamaño. Miki usa su exprimidor para extraer $8$ onzas de jugo de pera de $3$ peras y $8$ onzas de jugo de naranja de $2$ naranjas. Prepara una mezcla de jugo de pera y naranja con un número igual de peras y naranjas. ¿Qué porcentaje de la mezcla es jugo de pera?

Miki has a dozen oranges of the same size and a dozen pears of the same size. Miki uses her juicer to extract $8$ ounces of pear juice from $3$ pears and $8$ ounces of orange juice from $2$ oranges. She makes a pear-orange juice blend from an equal number of pears and oranges. What percent of the blend is pear juice?

$30$

$40$

$50$

$60$

$70$

Conceptos:mezcla porcentaje

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Usa la misma cantidad de peras y naranjas, elegida para facilitar los cálculos.

Use an equal convenient number of pears and oranges.

Pista grande:

Seis peras y seis naranjas hacen que ambas cantidades de jugo sean fáciles de calcular.

Six pears and six oranges make both juice amounts easy to compute.

Solución:

Usa $6$ peras y $6$ naranjas, que es un número igual de cada fruta.

Como $3$ peras dan $8$ onzas, $6$ peras dan $16$ onzas. Como $2$ naranjas dan $8$ onzas, $6$ naranjas dan $24$ onzas.

La mezcla tiene $16+24=40$ onzas en total, de las cuales $16$ onzas son jugo de pera. El porcentaje de jugo de pera es $\frac{16}{40}=40\%.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Use $6$ pears and $6$ oranges, which is an equal number of each fruit.

Since $3$ pears make $8$ ounces, $6$ pears make $16$ ounces. Since $2$ oranges make $8$ ounces, $6$ oranges make $24$ ounces.

The blend has $16+24=40$ ounces total, of which $16$ ounces is pear juice. The pear-juice percent is $\frac{16}{40}=40\%.$

Thus, B is the correct answer.

25.

Loki, Moe, Nick y Ott son buenos amigos. Ott no tenía dinero, pero los demás sí. Moe le dio a Ott un quinto de su dinero, Loki le dio a Ott un cuarto de su dinero y Nick le dio a Ott un tercio de su dinero. Cada uno le dio a Ott la misma cantidad de dinero. ¿Qué parte fraccionaria del dinero del grupo tiene Ott ahora?

Loki, Moe, Nick and Ott are good friends. Ott had no money, but the others did. Moe gave Ott one-fifth of his money, Loki gave Ott one-fourth of his money and Nick gave Ott one-third of his money. Each gave Ott the same amount of money. What fractional part of the group’s money does Ott now have?

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:fracción trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Supón que cada amigo le da a Ott la misma cantidad, elegida para facilitar los cálculos.

Assume each friend gives Ott the same convenient amount.

Pista grande:

Si cada uno le da a Ott $\$1,$ trabaja hacia atrás para hallar la cantidad original de cada amigo.

If each gives Ott $\$1,$ work backward to each friend’s original amount.

Solución:

Como solo importan las fracciones, supón que cada uno le dio a Ott $\$1.$ Esto significa que Moe tenía $\$5,$ Loki tenía $\$4,$ y Nick tenía $\$3$ originalmente.

Las transferencias no cambian la cantidad total de dinero del grupo, que es $\$5 + \$4 + \$3 = \$12.$ Ott ahora tiene $\$3.$

Esto significa que Ott tiene $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ del dinero del grupo.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Because only the fractions matter, suppose each person gave Ott $\$1.$ This means that Moe had $\$5,$ Loki had $\$4,$ and Nick had $\$3$ originally.

The transfers do not change the group’s total amount of money, which is $\$5 + \$4 + \$3 = \$12.$ Ott now has $\$3.$

This means that Ott has $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ of the group’s money.

Thus, B is the correct answer.