Soluciones del 2014 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

A Harry y a Terry se les pide calcular $8-(2+5).$ Harry obtiene la respuesta correcta. Terry ignora los paréntesis y calcula $8-2+5.$ Si la respuesta de Harry es $H$ y la respuesta de Terry es $T,$ ¿cuánto vale $H-T$ ?

Harry and Terry are each told to calculate $8-(2+5).$ Harry gets the correct answer. Terry ignores the parentheses and calculates $8-2+5.$ If Harry’s answer is $H$ and Terry’s answer is $T,$ what is $H-T?$

$-10$

$-6$

$0$

$6$

$10$

Conceptos:orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Para Harry, calcula primero lo que está dentro de los paréntesis.

Compute inside the parentheses first for Harry.

Pista grande:

Compara el resultado de Harry con el cálculo de izquierda a derecha de Terry.

Compare Harry’s result with Terry’s left-to-right calculation.

Solución:

Harry lo calcula correctamente así: $\begin{align*} 8 - (2 + 5) &= 8 - 7 \\ &= 1. \end{align*}$ Terry lo calcula incorrectamente así: $\begin{align*} 8 - 2 + 5 &= 6 + 5 \\ &= 11. \end{align*}$ Por lo tanto: $\begin{align*} H - T &= 1 - 11 \\ &= -10. \end{align*}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Harry calculates it correctly as follows: $\begin{align*} 8 - (2 + 5) &= 8 - 7 \\ &= 1. \end{align*}$ Terry calculates it incorrectly as follows: $\begin{align*} 8 - 2 + 5 &= 6 + 5 \\ &= 11. \end{align*}$ Therefore: $\begin{align*} H - T &= 1 - 11 \\ &= -10. \end{align*}$

Thus, A is the correct answer.

2.

Paul le debe a Paula $35$ centavos y tiene un bolsillo lleno de monedas de $5$ centavos, monedas de $10$ centavos y monedas de $25$ centavos que puede usar para pagarle. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor número de monedas que puede usar para pagarle?

Paul owes Paula $35$ cents and has a pocket full of $5$ -cent coins, $10$ -cent coins, and $25$ -cent coins that he can use to pay her. What is the difference between the largest and the smallest number of coins he can use to pay her?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:dinero optimización

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Usa las monedas más pequeñas para maximizar el número de monedas.

Use the smallest coins to maximize the number of coins.

Pista grande:

Usa una moneda de veinticinco centavos y una de diez centavos para minimizar el número de monedas.

Use a quarter and a dime to minimize the number of coins.

Solución:

Para usar la mayor cantidad de monedas, Paul usaría solo monedas de $5$ centavos, lo que da $\frac{35}{5}=7$ monedas.

Para usar la menor cantidad de monedas, usaría una moneda de $25$ centavos y una moneda de $10$ centavos, para un total de $2$ monedas. La diferencia es $7-2=5$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

To use the largest number of coins, Paul would use only $5$ -cent coins, which gives $\frac{35}{5}=7$ coins.

To use the smallest number of coins, Paul would use a $25$ -cent coin and a $10$ -cent coin, for a total of $2$ coins. The difference is $7-2=5$ .

Thus, E is the correct answer.

3.

Isabella tuvo una semana para leer un libro para una tarea escolar. Leyó un promedio de $36$ páginas por día durante los primeros tres días y un promedio de $44$ páginas por día durante los siguientes tres días. Luego terminó el libro leyendo $10$ páginas el último día. ¿Cuántas páginas tenía el libro?

Isabella had a week to read a book for a school assignment. She read an average of $36$ pages per day for the first three days and an average of $44$ pages per day for the next three days. She then finished the book by reading $10$ pages on the last day. How many pages were in the book?

$240$

$250$

$260$

$270$

$280$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Convierte cada promedio en un número total de páginas.

Convert each average into a total number of pages.

Pista grande:

Suma los primeros tres días, los siguientes tres días y el último día.

Add the first three days, next three days, and last day.

Solución:

Durante los primeros tres días, Isabella leyó $36 \cdot 3 = 108$ páginas.

Durante los siguientes tres días, Isabella leyó $44 \cdot 3 = 132$ páginas.

Por lo tanto, leyó un total de $108 + 132 + 10 = 250$ páginas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

During the first three days, Isabella read $36 \cdot 3 = 108$ pages.

During the next three days, Isabella read $44 \cdot 3 = 132$ pages.

Therefore, she read a total of $108 + 132 + 10 = 250$ pages.

Thus, B is the correct answer.

4.

La suma de dos números primos es $85.$ ¿Cuál es el producto de estos dos números primos?

The sum of two prime numbers is $85.$ What is the product of these two prime numbers?

$85$

$91$

$115$

$133$

$166$

Conceptos:primo paridad

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Una suma impar de dos primos debe incluir el único primo par.

An odd sum of two primes must include the only even prime.

Pista grande:

Resta ese primo par de $85$ .

Subtract that even prime from $85$ .

Solución:

La suma de dos primos impares es par. Como $85$ es impar, uno de los primos debe ser el único primo par, $2$ .

El otro primo es $85-2=83$ , así que el producto es $2\cdot83=166$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sum of two odd primes is even. Since $85$ is odd, one of the primes must be the only even prime, $2$ .

The other prime is $85-2=83$ , so the product is $2\cdot83=166$ .

Thus, E is the correct answer.

5.

El auto de Margie puede recorrer $32$ millas con un galón de gasolina, y la gasolina cuesta actualmente $\$4$ por galón. ¿Cuántas millas puede conducir Margie con $\$20$ de gasolina?

Margie’s car can go $32$ miles on a gallon of gas, and gas currently costs $\$4$ per gallon. How many miles can Margie drive on $\$20$ worth of gas?

$64$

$128$

$160$

$320$

$640$

Conceptos:tasa dinero

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Primero halla cuántos galones compran $\$20$ .

First find how many gallons $\$20$ buys.

Pista grande:

Multiplica los galones por $32$ millas por galón.

Multiply the gallons by $32$ miles per gallon.

Solución:

Con $\$20$ , Margie puede comprar $\frac{20}{4}=5$ galones de gasolina.

A $32$ millas por galón, puede conducir $5\cdot32=160$ millas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

With $\$20$ , Margie can buy $\frac{20}{4}=5$ gallons of gas.

At $32$ miles per gallon, she can drive $5\cdot32=160$ miles.

Thus, C is the correct answer.

6.

Seis rectángulos, cada uno con un ancho de base común de $2$ , tienen longitudes de $1,$ $4,$ $9,$ $16,$ $25,$ y $36.$ ¿Cuál es la suma de las áreas de los seis rectángulos?

Six rectangles each with a common base width of $2$ have lengths of $1,$ $4,$ $9,$ $16,$ $25,$ and $36.$ What is the sum of the areas of the six rectangles?

$91$

$93$

$162$

$182$

$202$

Conceptos:rectángulo área

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Cada rectángulo tiene un área de $2$ veces su longitud indicada.

Each rectangle has area $2$ times its listed length.

Pista grande:

Suma primero las longitudes y luego multiplica por $2$ .

Add the lengths first, then multiply by $2$ .

Solución:

Para hallar el área de cada rectángulo multiplicamos $2$ por sus respectivas longitudes. Esto significa que podemos factorizar el $2$ y nos queda la suma de las longitudes. Sumando las longitudes, obtenemos $91.$

Por lo tanto, la suma de las áreas es $2 \cdot 91 = 182.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

To find the area of each rectangle we multiply $2$ by their respective lengths. This means that we can factor out the $2$ and we are left with the sum of the lengths. Adding together the lengths, we get $91.$

Therefore, the sum of the areas is $2 \cdot 91 = 182.$

Thus, D is the correct answer.

7.

En la clase de $28$ estudiantes de la señora Raub hay cuatro niñas más que niños. ¿Cuál es la razón entre el número de niñas y el número de niños en su clase?

There are four more girls than boys in Ms. Raub’s class of $28$ students. What is the ratio of the number of girls to the number of boys in her class?

$3 : 4$

$4 : 3$

$3 : 2$

$7 : 4$

$2 : 1$

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Sea $b$ el número de niños.

Let the number of boys be $b$ .

Pista grande:

Entonces el número de niñas es $b+4$ , y el total es $28$ .

Then the number of girls is $b+4$ , and the total is $28$ .

Solución:

Sea $x$ el número de niños en la clase. Esto significa que hay $x + 4$ niñas. Como hay $28$ estudiantes, sabemos que: $\begin{align*} x + x + 4 &= 28\\ 2x&=24 \\ x&=12. \end{align*}$ Por lo tanto, la razón de niñas a niños es $16 : 12 = 4 : 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $x$ be the number of boys in the class. This means that there are $x + 4$ girls. As there are $28$ students, we know that: $\begin{align*} x + x + 4 &= 28\\ 2x&=24 \\ x&=12. \end{align*}$ Therefore, the ratio of girls to boys is $16 : 12 = 4 : 3.$

Thus, B is the correct answer.

8.

Once miembros del Middle School Math Club pagaron cada uno la misma cantidad por un orador invitado que hablara sobre resolución de problemas en la reunión de su club de matemáticas. Le pagaron al orador invitado $\$\underline{1}\underline{A}\underline{2}$ . ¿Cuál es el dígito faltante $A$ de este número de $3$ dígitos?

Eleven members of the Middle School Math Club each paid the same amount for a guest speaker to talk about problem solving at their math club meeting. They paid their guest speaker $\$\underline{1}\underline{A}\underline{2}$ . What is the missing digit $A$ of this $3$ -digit number?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

El total pagado por $11$ miembros debe ser divisible entre $11$ .

The total paid by $11$ members must be divisible by $11$ .

Pista grande:

Para un número de tres dígitos, usa la prueba de suma alternada para la divisibilidad entre $11$ .

For a three-digit number, use the alternating-sum test for divisibility by $11$ .

Solución:

Observa que como $11$ personas pagaron la misma cantidad, la suma resultante es divisible entre $11.$ Por lo tanto, $\underline{1} \underline{A} \underline{2}$ debe ser divisible entre $11.$

Recuerda la regla de divisibilidad entre $11$ : si tomamos la diferencia de las sumas de los dígitos alternados y esta diferencia es divisible entre $11,$ el número entero es divisible entre $11.$

Para $\underline{1} \underline{A} \underline{2},$ la diferencia mencionada es $1 + 2 - A = 3 - A.$ La única manera de que esto sea divisible entre $11$ es si $A = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Note that since $11$ people paid the same amount, then the resulting sum is divisible by $11.$ Therefore, $\underline{1} \underline{A} \underline{2}$ must be divisible by $11.$

Remember the divisibility rule for $11$ : if we take the difference of the sums of alternating digits, and this difference is divisible by $11,$ the whole number is divisible by $11.$

For $\underline{1} \underline{A} \underline{2},$ the aforementioned difference is $1 + 2 - A = 3 - A.$ The only way for this to be divisible by $11$ is if $A = 3.$

Thus, D is the correct answer.

9.

En $\triangle ABC,$ $D$ es un punto en el lado $\overline{AC}$ tal que $BD=DC$ y $\angle BCD$ mide $70^\circ.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle ADB$ ?

In $\triangle ABC,$ $D$ is a point on side $\overline{AC}$ such that $BD=DC$ and $\angle BCD$ measures $70^\circ.$ What is the degree measure of $\angle ADB?$

$100$

$120$

$135$

$140$

$150$

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Como $BD=DC$ , el triángulo $BCD$ es isósceles.

Since $BD=DC$ , triangle $BCD$ is isosceles.

Pista grande:

Halla $\angle BDC$ y luego usa el ángulo llano en $D$ .

Find $\angle BDC$ , then use the straight angle at $D$ .

Solución:

Como $BD=DC$ , el triángulo $BDC$ es isósceles, así que $\angle DBC=\angle BCD=70^\circ$ .

Así $\begin{aligned}\angle BDC&=180^\circ-70^\circ-70^\circ\\&=40^\circ.\end{aligned}$ Como $A,D,C$ son colineales, $\angle ADB$ y $\angle BDC$ forman un ángulo llano, así que $\angle ADB=180^\circ-40^\circ=140^\circ$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $BD=DC$ , triangle $BDC$ is isosceles, so $\angle DBC=\angle BCD=70^\circ$ .

Thus $\begin{aligned}\angle BDC&=180^\circ-70^\circ-70^\circ\\&=40^\circ.\end{aligned}$ Because $A,D,C$ are collinear, $\angle ADB$ and $\angle BDC$ form a straight angle, so $\angle ADB=180^\circ-40^\circ=140^\circ$ .

Thus, D is the correct answer.

10.

El primer AMC $8$ se dio en $1985$ y se ha dado anualmente desde entonces. Samantha cumplió $12$ años el año en que tomó el séptimo AMC $8.$ ¿En qué año nació Samantha?

The first AMC $8$ was given in $1985$ and it has been given annually since that time. Samantha turned $12$ years old the year that she took the seventh AMC $8.$ In what year was Samantha born?

$1979$

$1980$

$1981$

$1982$

$1983$

Conceptos:edades fecha y hora

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

El séptimo AMC $8$ fue seis años después del primer AMC $8.$

The seventh AMC $8$ was six years after the first AMC $8.$

Pista grande:

Resta la edad de Samantha de ese año.

Subtract Samantha’s age from that year.

Solución:

El séptimo AMC $8$ se habría realizado $6$ años después del primero. Por lo tanto, Samantha lo tomó en $1985 + 6 = 1991.$

Esto significa que Samantha nació $12$ años antes, en $1991 - 12 = 1979.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The seventh AMC $8$ would have been administered $6$ years after the first one. Therefore, Samantha took it in $1985 + 6 = 1991.$

This means that Samantha was born $12$ years prior in $1991 - 12 = 1979.$

Thus, A is the correct answer.

11.

Jack quiere ir en bicicleta desde su casa hasta la casa de Jill, que está ubicada tres cuadras al este y dos cuadras al norte de la casa de Jack. Después de recorrer cada cuadra, Jack puede continuar hacia el este o hacia el norte, pero necesita evitar un cruce peligroso ubicado una cuadra al este y una cuadra al norte de su casa. ¿De cuántas maneras puede llegar a la casa de Jill recorriendo un total de cinco cuadras?

Jack wants to bike from his house to Jill’s house, which is located three blocks east and two blocks north of Jack’s house. After biking each block, Jack can continue either east or north, but he needs to avoid a dangerous intersection one block east and one block north of his house. In how many ways can he reach Jill’s house by biking a total of five blocks?

$4$

$5$

$6$

$8$

$10$

Conceptos:caminos reticulares conteo complementario

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Cualquier ruta más corta usa tres movimientos al este y dos movimientos al norte.

Any shortest path uses three east moves and two north moves.

Pista grande:

Cuenta o lista solo las rutas que evitan el cruce después de un movimiento al este y uno al norte.

Count or list only the paths that avoid the intersection after one east and one north move.

Solución:

Representemos con E un avance de una cuadra al este y con N un avance de una cuadra al norte. Una ruta más corta usa tres movimientos E y dos movimientos N. Para evitar el cruce peligroso ubicado una cuadra al este y una cuadra al norte de la casa de Jack, los dos primeros movimientos deben ser EE o NN.

Las rutas posibles son $EEENN$ , $EENEN$ , $EENNE$ y $NNEEE$ , para un total de $4$ rutas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let E represent traveling one block east and N represent traveling one block north. A shortest route uses three E moves and two N moves. To avoid the dangerous intersection one block east and one block north of Jack’s house, the first two moves must be either EE or NN.

The possible routes are $EEENN$ , $EENEN$ , $EENNE$ , and $NNEEE$ , for $4$ routes.

Thus, A is the correct answer.

12.

Una revista publicó fotos de tres celebridades junto con tres fotos de las celebridades cuando eran bebés. Las fotos de bebé no identificaban a las celebridades. Se pidió a los lectores emparejar cada celebridad con la foto de bebé correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un lector que adivine al azar empareje las tres correctamente?

A magazine printed photos of three celebrities along with three photos of the celebrities as babies. The baby pictures did not identify the celebrities. Readers were asked to match each celebrity with the correct baby picture. What is the probability that a reader guessing at random will match all three correctly?

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad básica permutaciones

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Hay $3!$ maneras de emparejar los bebés con las celebridades.

There are $3!$ ways to match the babies to celebrities.

Pista grande:

Solo un emparejamiento es completamente correcto.

Only one matching is completely correct.

Solución:

Observa que hay $3! = 6$ maneras en total en que un lector podría emparejar las celebridades. Sin embargo, solo una de ellas es el emparejamiento correcto. Por lo tanto, la probabilidad de que el lector adivine correctamente es $\frac{1}{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Notice that there are $3! = 6$ total ways that a reader could match the celebrities. However, only one of these is the correct matching. Therefore, the probability that the reader guesses it correctly is $\frac{1}{6}.$

Thus, B is the correct answer.

13.

Si $n$ y $m$ son enteros y $n^2 + m^2$ es par, ¿cuál de las siguientes opciones es imposible?

If $n$ and $m$ are integers and $n^2 + m^2$ is even, which of the following is impossible?

$n$ y $m$ son pares

$n$ and $m$ are even

$n$ y $m$ son impares

$n$ and $m$ are odd

$n + m$ es par

$n + m$ is even

$n + m$ es impar

$n + m$ is odd

ninguna de estas es imposible

none of these are impossible

Conceptos:paridad

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Un cuadrado tiene la misma paridad que su entero base.

A square has the same parity as its base integer.

Pista grande:

Para que una suma de dos cuadrados sea par, los dos enteros tienen la misma paridad.

For a sum of two squares to be even, the two integers have the same parity.

Solución:

Como $n^2 + m^2$ es par, o bien $n^2$ y $m^2$ son ambos impares, o ambos pares.

Si ambos son impares, entonces $n$ y $m$ son ambos impares. Si ambos son pares, entonces $n$ y $m$ son ambos pares. Si $n$ y $m$ son ambos impares o pares, su suma siempre será par.

Por lo tanto, $n + m$ nunca es impar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $n^2 + m^2$ is even, either $n^2$ and $m^2$ are both odd, or both even.

If they are both odd, then $n$ and $m$ are both odd. If they are both even, then $n$ and $m$ are both even. If $n$ and $m$ are both odd or even, their sum will always be even.

Therefore, $n + m$ is never odd.

Thus, D is the correct answer.

14.

El rectángulo $ABCD$ y el triángulo rectángulo $DCE$ tienen la misma área. Se unen para formar un trapecio, como se muestra. ¿Cuánto vale $DE$ ?

Rectangle $ABCD$ and right triangle $DCE$ have the same area. They are joined to form a trapezoid, as shown. What is $DE?$

$12$

$13$

$14$

$15$

$16$

Conceptos:área Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Iguala el área del triángulo al área del rectángulo.

Set the triangle area equal to the rectangle area.

Pista grande:

Después de hallar $CE$ , usa el triángulo rectángulo $5$ - $12$ - $13$ .

After finding $CE$ , use the $5$ - $12$ - $13$ right triangle.

Solución:

El área de $ABCD$ es $5 \cdot 6 = 30.$

El área del triángulo es $\begin{align*} \triangle DCE &= \frac{1}{2}DC \cdot CE \\ &= 30 \end{align*}$ Por lo tanto: $\begin{align*} \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot CE &= 30 \\ CE &= 12. \end{align*}$ Luego, usando el teorema de Pitágoras obtenemos que $\begin{align*} DE &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13. \end{align*}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The area of $ABCD$ is $5 \cdot 6 = 30.$

The area of $\begin{align*} \triangle DCE &= \frac{1}{2}DC \cdot CE \\ &= 30 \end{align*}$ Therefore: $\begin{align*} \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot CE &= 30 \\ CE &= 12. \end{align*}$ Then using the Pythagorean theorem we get that $\begin{align*} DE &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13. \end{align*}$

Thus, B is the correct answer.

15.

La circunferencia del círculo con centro $O$ se divide en $12$ arcos iguales, marcados con las letras $A$ hasta $L$ como se ve abajo. ¿Cuál es el número de grados en la suma de los ángulos $x$ y $y$ ?

The circumference of the circle with center $O$ is divided into $12$ equal arcs, marked the letters $A$ through $L$ as seen below. What is the number of degrees in the sum of the angles $x$ and $y?$

$75$

$80$

$90$

$120$

$150$

Conceptos:arco triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Cada par de letras adyacentes recorta $30^\circ$ en el centro.

Each adjacent pair of letters cuts off $30^\circ$ at the center.

Pista grande:

Los dos triángulos relevantes son isósceles porque sus lados son radios.

The two relevant triangles are isosceles because their sides are radii.

Solución:

Observa que cada uno de los $12$ arcos divide el círculo por igual, así que cada uno cubre $\frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}.$

$\angle AOE$ abarca $4$ de estos arcos, así que $\angle AOE = 4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}.$ De manera similar, $\angle GOI = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}.$ También sabemos que ambos triángulos son isósceles ya que dos de sus lados son radios. Por lo tanto, $x = \dfrac{180 - 120}{2} = 30^{\circ}$ y $y = \dfrac{180 - 60}{2} = 60^{\circ}.$ Por lo tanto, $x + y = 90^{\circ}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Note that each of the $12$ arcs splits the circle evenly, so they each cover $\frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}.$

$\angle AOE$ spans $4$ of these arcs, so $\angle AOE = 4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}.$ Similarly, $\angle GOI = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}.$ We also know that both triangles are isosceles since two of their sides are radii. Therefore, $x = \dfrac{180 - 120}{2} = 30^{\circ}$ and $y = \dfrac{180 - 60}{2} = 60^{\circ}.$ Therefore, $x + y = 90^{\circ}.$

Thus, C is the correct answer.

16.

La conferencia de baloncesto “Middle School Eight” tiene $8$ equipos. Cada temporada, cada equipo juega dos veces contra cada uno de los otros equipos de la conferencia (local y visitante), y cada equipo también juega $4$ partidos contra oponentes de fuera de la conferencia. ¿Cuál es el número total de partidos en una temporada que involucran a los equipos “Middle School Eight”?

The “Middle School Eight” basketball conference has $8$ teams. Every season, each team plays every other conference team twice (home and away), and each team also plays $4$ games against non-conference opponents. What is the total number of games in a season involving the “Middle School Eight” teams?

$60$

$88$

$96$

$144$

$160$

Conceptos:conteo básico

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Cuenta los partidos de fuera de la conferencia por separado de los partidos de la conferencia.

Count non-conference games separately from conference games.

Pista grande:

Para los partidos de la conferencia, cuenta los partidos como local de cada equipo contra los otros siete equipos.

For conference games, count each team’s home games against the other seven teams.

Solución:

Cada equipo juega $4$ partidos fuera de la conferencia, para $8\cdot4=32$ partidos que involucran a equipos Middle School Eight y oponentes de fuera de la conferencia.

Dentro de la conferencia, cada uno de los $8$ equipos tiene $7$ partidos como local contra los otros equipos, así que hay $8\cdot7=56$ partidos de conferencia. El total es $32+56=88$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each team plays $4$ non-conference games, for $8\cdot4=32$ games involving Middle School Eight teams and non-conference opponents.

Within the conference, each of the $8$ teams has $7$ home games against the other teams, so there are $8\cdot7=56$ conference games. The total is $32+56=88$ .

Thus, B is the correct answer.

17.

George camina $1$ milla a la escuela. Sale de casa a la misma hora cada día, camina a una velocidad constante de $3$ millas por hora y llega justo cuando comienza la escuela.

Hoy se distrajo con el clima agradable y caminó la primera $\frac{1}{2}$ milla a una velocidad de solo $2$ millas por hora. ¿A cuántas millas por hora debe correr George la última $\frac{1}{2}$ milla para llegar justo cuando comienza la escuela hoy?

George walks $1$ mile to school. He leaves home at the same time each day, walks at a steady speed of $3$ miles per hour, and arrives just as school begins.

Today he was distracted by the pleasant weather and walked the first $\frac{1}{2}$ mile at a speed of only $2$ miles per hour. At how many miles per hour must George run the last $\frac{1}{2}$ mile in order to arrive just as school begins today?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Halla el tiempo habitual para una milla a $3$ mph.

Find the usual time for one mile at $3$ mph.

Pista grande:

Resta el tiempo ya empleado en caminar la primera media milla.

Subtract the time already spent walking the first half mile.

Solución:

Si George normalmente camina $1$ milla a $3$ millas por hora, le toma $\dfrac{1}{3}$ de hora, o $20$ minutos, llegar a la escuela.

Hoy caminó la primera $\dfrac{1}{2}$ milla a $2$ millas por hora, tomando $\dfrac{1}{2}\div2=\dfrac{1}{4}$ de hora, o $15$ minutos. Le quedan $5$ minutos, que es $\dfrac{1}{12}$ de hora, para recorrer $\dfrac{1}{2}$ milla.

La velocidad que necesita es $\dfrac{1}{2}\div\dfrac{1}{12}=6$ millas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If George normally walks $1$ mile at $3$ miles per hour, it takes him $\dfrac{1}{3}$ hour, or $20$ minutes, to get to school.

Today he walked the first $\dfrac{1}{2}$ mile at $2$ miles per hour, taking $\dfrac{1}{2}\div2=\dfrac{1}{4}$ hour, or $15$ minutes. He has $5$ minutes, which is $\dfrac{1}{12}$ hour, left to cover $\dfrac{1}{2}$ mile.

His required speed is $\dfrac{1}{2}\div\dfrac{1}{12}=6$ miles per hour.

Thus, B is the correct answer.

18.

Ayer nacieron cuatro bebés en el City Hospital. Supón que cada bebé tiene la misma probabilidad de ser niño o niña. ¿Cuál de los siguientes resultados es el más probable?

Four children were born at City Hospital yesterday. Assume each child is equally likely to be a boy or a girl. Which of the following outcomes is most likely?

los $4$ son niños

all $4$ are boys

las $4$ son niñas

all $4$ are girls

$2$ son niñas y $2$ son niños

$2$ are girls and $2$ are boys

$3$ son de un género y $1$ es del otro género

$3$ are of one gender and $1$ is of the other gender

todos estos resultados son igualmente probables

all of these outcomes are equally likely

Conceptos:probabilidad binomial combinaciones

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Lista los resultados según el número de niños y niñas.

List outcomes by the number of boys and girls.

Pista grande:

La categoría más probable es la que tiene más disposiciones.

The most likely category is the one with the most arrangements.

Solución:

Hay $2^4=16$ resultados igualmente probables según el orden de nacimiento. Los conteos por categoría son: todos niños, $1$ ; todas niñas, $1$ ; dos niños y dos niñas, $\binom{4}{2}=6$ ; y tres de un género y uno del otro, $2\binom{4}{1}=8$ .

El conteo mayor es $8$ , así que el resultado más probable es tres niños de un género y uno del otro.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are $2^4=16$ equally likely birth-order outcomes. The counts by category are: all boys, $1$ ; all girls, $1$ ; two boys and two girls, $\binom{4}{2}=6$ ; and three of one gender and one of the other, $2\binom{4}{1}=8$ .

The largest count is $8$ , so the most likely outcome is three children of one gender and one of the other.

Thus, D is the correct answer.

19.

Se va a construir un cubo con aristas de $3$ pulgadas a partir de $27$ cubos más pequeños con aristas de $1$ pulgada. Veintiuno de los cubos están coloreados de rojo y $6$ están coloreados de blanco.

Si el cubo de $3$ pulgadas se construye para que muestre la menor área de superficie blanca posible, ¿qué fracción de la superficie es blanca?

A cube with $3$ -inch edges is to be constructed from $27$ smaller cubes with $1$ -inch edges. Twenty-one of the cubes are colored red and $6$ are colored white.

If the $3$ -inch cube is constructed to have the smallest possible white surface area showing, what fraction of the surface area is white?

$\dfrac{5}{54}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{5}{27}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{1}{3}$

Conceptos:geometría del cubo área de superficie optimización

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Esconde un cubo blanco en el centro del cubo $3\times3\times3$ .

Hide one white cube in the center of the $3\times3\times3$ cube.

Pista grande:

Coloca los cubos blancos restantes en los centros de las caras para exponer solo una cara blanca cada uno.

Put the remaining white cubes in face centers to expose only one white face each.

Solución:

Para minimizar el área blanca visible, coloca un cubo blanco en el centro del cubo grande, donde no hay caras visibles. Coloca cada uno de los otros cinco cubos blancos en el centro de una cara del cubo grande, donde cada uno aporta solo un cuadrado blanco visible.

El área de superficie blanca visible es, por lo tanto, $5$ pulgadas cuadradas. El área de superficie total del cubo de $3$ pulgadas es $6\cdot3^2=54$ pulgadas cuadradas, así que la fracción que es blanca es $\dfrac{5}{54}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

To minimize visible white area, place one white cube in the center of the large cube, where no faces are visible. Place each of the other five white cubes at the center of a face of the large cube, where each contributes only one visible white square.

The visible white surface area is therefore $5$ square inches. The total surface area of the $3$ -inch cube is $6\cdot3^2=54$ square inches, so the fraction that is white is $\dfrac{5}{54}$ .

Thus, A is the correct answer.

20.

El rectángulo $ABCD$ tiene lados $CD=3$ y $DA=5.$ Un círculo de radio $1$ está centrado en $A,$ un círculo de radio $2$ está centrado en $B,$ y un círculo de radio $3$ está centrado en $C.$ ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana al área de la región dentro del rectángulo pero fuera de los tres círculos?

Rectangle $ABCD$ has sides $CD=3$ and $DA=5.$ A circle of radius $1$ is centered at $A,$ a circle of radius $2$ is centered at $B,$ and a circle of radius $3$ is centered at $C.$ Which of the following is closest to the area of the region inside the rectangle but outside all three circles?

$3.5$

$4.0$

$4.5$

$5.0$

$5.5$

Conceptos:sector circular área estimación

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Dentro del rectángulo, cada círculo aporta un sector de un cuarto de círculo.

Inside the rectangle, each circle contributes a quarter-circle sector.

Pista grande:

Resta el área total de los sectores del área del rectángulo y aproxima $\pi$ .

Subtract the total sector area from the rectangle area and approximate $\pi$ .

Solución:

Las partes de los tres círculos dentro del rectángulo son cuartos de círculo con radios $1$ , $2$ y $3$ . Su área total es $\dfrac{\pi}{4}+\pi+\dfrac{9\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{2}.$

Usando $\pi\approx\dfrac{22}{7}$ , este total es aproximadamente $11$ . El rectángulo tiene área $3\cdot5=15$ , así que el área deseada es aproximadamente $15-11=4$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The parts of the three circles inside the rectangle are quarter-circles with radii $1$ , $2$ , and $3$ . Their total area is $\dfrac{\pi}{4}+\pi+\dfrac{9\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{2}.$

Using $\pi\approx\dfrac{22}{7}$ , this total is about $11$ . The rectangle has area $3\cdot5=15$ , so the desired area is about $15-11=4$ .

Thus, B is the correct answer.

21.

Los números de $7$ dígitos $\underline{74A52B1}$ y $\underline{326AB4C}$ son cada uno múltiplos de $3$ . ¿Cuál de las siguientes opciones podría ser el valor de $C$ ?

The $7$ -digit numbers $\underline{74A52B1}$ and $\underline{326AB4C}$ are each multiples of $3$ . Which of the following could be the value of $C$ ?

$1$

$2$

$3$

$5$

$8$

Conceptos:divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Usa la prueba de divisibilidad entre $3$ en ambos números.

Use the divisibility-by- $3$ test on both numbers.

Pista grande:

Compara lo que dice el primer número sobre $A+B$ con lo que necesita el segundo número.

Compare what the first number says about $A+B$ with what the second number needs.

Solución:

Para que $\underline{74A52B1}$ sea divisible entre $3$ , la suma de dígitos $19+A+B$ debe ser múltiplo de $3$ . Por lo tanto $A+B$ es $1$ menos que un múltiplo de $3$ .

Para que $\underline{326AB4C}$ sea divisible entre $3$ , la suma de dígitos $15+A+B+C$ debe ser múltiplo de $3$ . Como $15$ ya es divisible entre $3$ , $A+B+C$ debe ser divisible entre $3$ .

Por lo tanto $C$ debe ser $1$ más que un múltiplo de $3$ . Entre las opciones, solo $1$ tiene esa forma.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For $\underline{74A52B1}$ to be divisible by $3$ , the digit sum $19+A+B$ must be a multiple of $3$ . Hence $A+B$ is $1$ less than a multiple of $3$ .

For $\underline{326AB4C}$ to be divisible by $3$ , the digit sum $15+A+B+C$ must be a multiple of $3$ . Since $15$ is already divisible by $3$ , $A+B+C$ must be divisible by $3$ .

Therefore $C$ must be $1$ more than a multiple of $3$ . Among the answer choices, only $1$ has that form.

Thus, A is the correct answer.

22.

Un número de $2$ dígitos es tal que el producto de los dígitos más la suma de los dígitos es igual al número. ¿Cuál es el dígito de las unidades del número?

A $2$ -digit number is such that the product of the digits plus the sum of the digits is equal to the number. What is the units digit of the number?

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:dígitos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Sea $a$ el dígito de las decenas y $b$ el dígito de las unidades.

Let the tens digit be $a$ and the units digit be $b$ .

Pista grande:

Traduce la condición a $ab+a+b=10a+b$ .

Translate the condition into $ab+a+b=10a+b$ .

Solución:

Sea el número $10a+b$ , donde $a$ es el dígito de las decenas y $b$ es el dígito de las unidades. La condición da $ab+a+b=10a+b.$

Cancelando $b$ de ambos lados obtenemos $ab+a=10a$ , así que $ab=9a$ . Como $a\neq0$ , obtenemos $b=9$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the number be $10a+b$ , where $a$ is the tens digit and $b$ is the units digit. The condition gives $ab+a+b=10a+b.$

Canceling $b$ from both sides gives $ab+a=10a$ , so $ab=9a$ . Since $a\neq0$ , we get $b=9$ .

Thus, E is the correct answer.

23.

Tres integrantes del equipo de softball femenino de Euclid Middle School tuvieron la siguiente conversación.

Ashley: Acabo de darme cuenta de que nuestros números de camiseta son todos primos de $2$ dígitos.

Bethany: Y la suma de sus dos números de camiseta es la fecha de mi cumpleaños a principios de este mes.

Caitlin: Qué curioso. La suma de sus dos números de camiseta es la fecha de mi cumpleaños a finales de este mes.

Ashley: Y la suma de sus dos números de camiseta es la fecha de hoy.

¿Qué número usa Caitlin?

Three members of the Euclid Middle School girls’ softball team had the following conversation.

Ashley: I just realized that our uniform numbers are all $2$ -digit primes.

Bethany: And the sum of your two uniform numbers is the date of my birthday earlier this month.

Caitlin: That’s funny. The sum of your two uniform numbers is the date of my birthday later this month.

Ashley: And the sum of your two uniform numbers is today’s date.

What number does Caitlin wear?

$11$

$13$

$17$

$19$

$23$

Conceptos:primo deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Las sumas por parejas de dos primos de dos dígitos deben ser fechas de un mes.

Pair sums of two two-digit primes must be dates in a month.

Pista grande:

Usa el orden de antes, hoy y después para determinar cuál número de camiseta es el más pequeño.

Use the earlier-today-later order to determine which uniform number is smallest.

Solución:

Cualquier suma por parejas debe ser una fecha del mes, así que es a lo sumo $31$ . Las posibles sumas de dos primos de dos dígitos que son a lo sumo $31$ son $11+13=24$ , $11+17=28$ , $11+19=30$ y $13+17=30$ .

Las tres fechas son antes, hoy y después, así que deben ser distintas y crecientes. El único conjunto posible de tres fechas distintas es $24,28,30$ , que proviene de los números $11$ , $13$ y $17$ .

La fecha de Bethany es Ashley más Caitlin, la fecha de Ashley es Bethany más Caitlin, y la fecha posterior de Caitlin es Ashley más Bethany. Esto significa que el número de Caitlin es el más pequeño de los tres, es decir $11$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Any pair-sum must be a date in the month, so it is at most $31$ . The possible sums of two two-digit primes that are at most $31$ are $11+13=24$ , $11+17=28$ , $11+19=30$ , and $13+17=30$ .

The three dates are earlier, today, and later, so they must be distinct and increasing. The only possible set of three distinct dates is $24,28,30$ , coming from the numbers $11$ , $13$ , and $17$ .

Bethany’s date is Ashley plus Caitlin, Ashley’s date is Bethany plus Caitlin, and Caitlin’s later date is Ashley plus Bethany. This means Caitlin’s number is the smallest of the three, namely $11$ .

Thus, A is the correct answer.

24.

Un día, Beverage Barn vendió $252$ latas de refresco a $100$ clientes, y cada cliente compró al menos una lata de refresco. ¿Cuál es la mediana máxima posible del número de latas de refresco compradas por cliente ese día?

One day the Beverage Barn sold $252$ cans of soda to $100$ customers, and every customer bought at least one can of soda. What is the maximum possible median number of cans of soda bought per customer on that day?

$2.5$

$3.0$

$3.5$

$4.0$

$4.5$

Conceptos:mediana (datos)optimización

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

La mediana es el promedio de las compras ordenadas número $50$ y $51$ .

The median is the average of the $50$ th and $51$ st ordered purchases.

Pista grande:

Haz que las primeras $49$ compras sean lo más pequeñas posible.

Make the first $49$ purchases as small as possible.

Solución:

Ordena las $100$ compras de menor a mayor. La mediana es el promedio de las entradas número $50$ y $51$ . Para maximizarla, haz que las primeras $49$ entradas sean lo más pequeñas posible, así que ponlas todas iguales a $1$ .

Si la entrada número $50$ fuera al menos $4$ , entonces el total sería al menos $49+51\cdot4=253$ , demasiadas latas. Así que la entrada número $50$ es a lo sumo $3$ .

Este máximo es alcanzable: usa $49$ entradas iguales a $1$ , la entrada número $50$ igual a $3$ y las últimas $50$ entradas iguales a $4$ . El total es $49+3+50\cdot4=252$ , y la mediana es $\frac{3+4}{2}=3.5$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Order the $100$ purchases from least to greatest. The median is the average of the $50$ th and $51$ st entries. To maximize it, make the first $49$ entries as small as possible, so set them all equal to $1$ .

If the $50$ th entry were at least $4$ , then the total would be at least $49+51\cdot4=253$ , too many cans. So the $50$ th entry is at most $3$ .

This maximum is attainable: use $49$ entries equal to $1$ , the $50$ th entry equal to $3$ , and the final $50$ entries equal to $4$ . The total is $49+3+50\cdot4=252$ , and the median is $\frac{3+4}{2}=3.5$ .

Thus, C is the correct answer.

25.

Un tramo recto de una milla de carretera, de $40$ pies de ancho, está cerrado. Robert monta su bicicleta por un camino compuesto de semicírculos, como se muestra. Si monta a $5$ millas por hora, ¿cuántas horas le tomará recorrer el tramo de una milla?

Nota: $1$ milla = $5280$ pies

A straight one-mile stretch of highway, $40$ feet wide, is closed. Robert rides his bike on a path composed of semicircles as shown. If he rides at $5$ miles per hour, how many hours will it take to cover the one-mile stretch?

Note: $1$ mile = $5280$ feet

$\dfrac{\pi}{11}$

$\dfrac{\pi}{10}$

$\dfrac{\pi}{5}$

$\dfrac{2\pi}{5}$

$\dfrac{2\pi}{3}$

Conceptos:arco conversión de unidades distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Cada semicírculo hace avanzar a Robert $40$ pies a lo largo de la carretera.

Each semicircle advances Robert $40$ feet along the highway.

Pista grande:

Compara la longitud de un semicírculo con su diámetro.

Compare the length of a semicircle to its diameter.

Solución:

Cada semicírculo hace avanzar a Robert $40$ pies a lo largo de la carretera, así que un tramo de una milla requiere $\frac{5280}{40}=132$ semicírculos.

Cada semicírculo tiene diámetro $40$ pies, así que su longitud de arco es $20\pi$ pies. La distancia total que recorre Robert es $132\cdot20\pi=2640\pi$ pies, que son $\dfrac{2640\pi}{5280}=\dfrac{\pi}{2}$ millas.

A $5$ millas por hora, el tiempo es $\dfrac{\pi}{2}\div5=\dfrac{\pi}{10}$ horas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each semicircle advances Robert $40$ feet along the highway, so a one-mile stretch requires $\frac{5280}{40}=132$ semicircles.

Each semicircle has diameter $40$ feet, so its arc length is $20\pi$ feet. The total distance Robert rides is $132\cdot20\pi=2640\pi$ feet, which is $\dfrac{2640\pi}{5280}=\dfrac{\pi}{2}$ miles.

At $5$ miles per hour, the time is $\dfrac{\pi}{2}\div5=\dfrac{\pi}{10}$ hours.

Thus, B is the correct answer.