Question

假设计算器上有一个特殊按键，会把当前显示的数 $x$ 替换为公式 $\frac{1}{1 - x}$ 给出的数。例如，如果计算器显示 $2$ ，按下特殊键后会显示 $-1$ ，因为 $\frac{1}{1 - 2} = -1$ 。现在计算器显示 $5$ 。连续按下特殊键 $100$ 次后，计算器会显示

Suppose there is a special key on a calculator that replaces the number $x$ currently displayed with the number given by the formula $\frac{1}{1 - x}.$ For example, if the calculator is displaying $2$ and the special key is pressed, then the calculator will display $-1$ since $\frac{1}{1 - 2} = -1.$ Now suppose that the calculator is displaying $5.$ After the special key is pressed $100$ times in a row, the calculator will display

$-0.25$

$0$

$0.8$

$1.25$

$5$

答案：A

知识点：函数模运算

难度评级：1280

小提示：

从 $5$ 开始按几次这个键，观察是否出现循环。

Apply the key a few times starting from $5$ and watch for a repeating cycle

大提示：

数值按周期 $3$ 循环；确定第 $100$ 次落在循环中的哪个位置。

The values cycle with period $3;$ find where $100$ lands in the cycle

解答：

从 $5$ 开始： $\frac{1}{1 - 5} = -0.25$ ，再按得到 $\frac{1}{1 + 0.25} = 0.8$ ，再按得到 $\frac{1}{1 - 0.8} = 5$ 。数值按周期 $3$ 循环。

因为 $100 = 3 \cdot 33 + 1$ ，第 $100$ 次按键与第一次按键结果相同，为 $-0.25$ 。

所以正确答案是 A。

Starting from $5:$ $\frac{1}{1 - 5} = -0.25,$ then $\frac{1}{1 + 0.25} = 0.8,$ then $\frac{1}{1 - 0.8} = 5.$ The values repeat with period $3.$

Since $100 = 3 \cdot 33 + 1,$ the $100$ th press gives the same result as the first press, $-0.25.$

Thus, the correct answer is A .

1996 AMC 8 第 20 题

答案：A

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题