Question

三角形 $XYZ$ 的面积是 $8$ 平方英寸。点 $A$ 和 $B$ 分别是全等线段 $\overline{XY}$ 和 $\overline{XZ}$ 的中点。高 $\overline{XC}$ 平分 $\overline{YZ}$ 。阴影区域的面积（平方英寸）是

The area of triangle $XYZ$ is $8$ square inches. Points $A$ and $B$ are midpoints of congruent segments $\overline{XY}$ and $\overline{XZ}.$ Altitude $\overline{XC}$ bisects $\overline{YZ}.$ The area (in square inches) of the shaded region is

$1 \frac{1}{2}$

$2$

$2 \frac{1}{2}$

$3$

$3 \frac{1}{2}$

答案：D

知识点：相似面积比中点

难度评级：1450

小提示：

高把这个等腰三角形分成两个相等的部分。

The altitude splits the isosceles triangle into two equal halves.

大提示：

过中点的线段形成边长为一半的相似三角形。

The segment through the midpoints creates a similar triangle with half the side lengths.

解答：

因为 $XY=XZ$ ，且 $XC$ 平分 $YZ$ ，所以高 $XC$ 将 $\triangle XYZ$ 分成两个全等三角形。左半部分 $\triangle XYC$ 的面积为 $4$ 。

在 $\triangle XYC$ 中，点 $A$ 是 $XY$ 的中点。过 $A$ 的水平线段与 $XC$ 在半高处相交，因此上方小三角形与 $\triangle XYC$ 相似，比例因子为 $\frac{1}{2}$ 。它的面积是原面积的 $\frac{1}{4}$ ，即 $4$ 的四分之一，也就是 $1$ 。

阴影区域是左半部分剩余的面积，所以面积为 $4-1=3$ 。

所以正确答案是 D。

Since $XY=XZ$ and $XC$ bisects $YZ,$ altitude $XC$ splits $\triangle XYZ$ into two congruent triangles. The left half $\triangle XYC$ has area $4.$

In $\triangle XYC,$ point $A$ is the midpoint of $XY.$ The horizontal segment through $A$ meets $XC$ halfway up, so the small top triangle is similar to $\triangle XYC$ with scale factor $\frac{1}{2}.$ Its area is therefore $\frac{1}{4}$ of $4,$ or $1.$

The shaded region is the rest of the left half, so its area is $4-1=3.$

Thus, D is the correct answer.

2002 AMC 8 第 20 题

答案：D

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题