Question

在四边形 $ABCD$ 中，边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 长度都为 $10$ ，边 $\overline{CD}$ 和 $\overline{DA}$ 长度都为 $17$ ，且角 $ADC$ 的度数是 $60^\circ$ 。对角线 $\overline{AC}$ 的长度是多少？

In quadrilateral $ABCD,$ sides $\overline{AB}$ and $\overline{BC}$ both have length $10,$ sides $\overline{CD}$ and $\overline{DA}$ both have length $17,$ and the measure of angle $ADC$ is $60^\circ.$ What is the length of diagonal $\overline{AC}?$

$13.5$

$14$

$15.5$

$17$

$18.5$

答案：D

知识点：等腰三角形等边三角形角度和

难度评级：1020

小提示：

只看 $\triangle ADC$

Look only at $\triangle ADC$ .

大提示：

它是等腰三角形，并且有一个 $60^\circ$ 角

It is isosceles and has a $60^\circ$ angle.

解答：

$\triangle ADC$ 是等腰三角形，所以 $\angle DAC = \angle DCA$ 。

我们得到 $\begin{gather*} \angle DAC + \angle DCA \\ {}+ \angle ADC = 180^{\circ} \\ \angle DAC + \angle DCA = 120^{\circ} \\ \angle DAC = \angle DCA = 60^{\circ} \end{gather*}\text{。}$

所以 $\triangle ADC$ 是等边三角形，因此 $AC = CD = 17\text{。}$

所以正确答案是 D。

Note that $\triangle ADC$ is isosceles. This means that $\angle DAC = \angle DCA.$

We get that $\begin{gather*} \angle DAC + \angle DCA \\ {}+ \angle ADC = 180^{\circ} \\ \angle DAC + \angle DCA = 120^{\circ} \\ \angle DAC = \angle DCA = 60^{\circ}. \end{gather*}$

This shows that $\triangle ADC$ is equilateral. This gives us that $AC = CD = 17.$

Thus, D is the correct answer.

2005 AMC 8 第 9 题

答案：D

难度评级：1020

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题