Question

Supón que $m$ y $n$ son enteros positivos impares. ¿Cuál de los siguientes también debe ser un entero impar?

Suppose $m$ and $n$ are positive odd integers. Which of the following must also be an odd integer?

$m + 3n$

$3m - n$

$3m^2 + 3n^2$

$(nm + 3)^2$

$3mn$

Solución:

Recuerda las cuatro reglas siguientes:

• impar más impar y par más par es par

• par más impar es impar

• par por cualquier cosa es par

• impar por impar es impar

Estas reglas se pueden verificar fácilmente representando cualquier número impar como $2m+1$ y cualquier número par como $2n$ respectivamente, para enteros $m,n.$

Con esto en mente, examinemos cada opción de respuesta individualmente:

A:

Nota que $3$ es impar. Módulo $2$ , esto nos da $1 + 1 \cdot 1 \equiv 0 \pmod 2.$ Por nuestras reglas anteriores, sabemos que esto es par.

B: $1 \cdot 1 - 1 \equiv 0 \pmod 2.$ Una vez más, esto es par.

C: $1 \cdot 1^2 + 1 \cdot 1^2 \equiv 0 \pmod 2.$ Esto también es par.

D: $(1 \cdot 1 + 1)^2 \equiv 0 \pmod 2.$ Lamentablemente, esto también es par.

E: $1 \cdot 1 \cdot 1 \equiv 1 \pmod 2.$ Esto es impar.

Por lo tanto, E es la única opción de respuesta que es un entero impar.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Recall the four following rules:

• odd plus odd and even plus even is even

• even plus odd is odd

• even times anything is even

• odd times odd is odd

These rules can be easily verified by representing arbitrary odd numbers as $2m+1$ and arbitrary even numbers as $2n$ respectively, for integers $m,n.$

With this in mind, let's examine each answer choice individually:

A:

Note that $3$ is odd. Modulo $2$ , this gives us $1 + 1 \cdot 1 \equiv 0 \pmod 2.$ From our above rules, we know that this is even.

B: $1 \cdot 1 - 1 \equiv 0 \pmod 2.$ Once again, this is even.

C: $1 \cdot 1^2 + 1 \cdot 1^2 \equiv 0 \pmod 2.$ This is also even.

D: $(1 \cdot 1 + 1)^2 \equiv 0 \pmod 2.$ Unfortunately, this is also even.

E: $1 \cdot 1 \cdot 1 \equiv 1 \pmod 2.$ This is odd.

Therefore, E is the only answer choice that is an odd integer.

Thus, E is the correct answer.

2005 AMC 8 Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años