Question

Ricardo tiene $2020$ monedas, algunas de las cuales son centavos (monedas de $1$ centavo) y el resto son monedas de cinco centavos (monedas de $5$ centavos). Tiene al menos un centavo y al menos una moneda de cinco centavos. ¿Cuál es la diferencia en centavos entre la mayor y la menor cantidad de dinero que Ricardo puede tener?

Ricardo has $2020$ coins, some of which are pennies ( $1$ -cent coins) and the rest of which are nickels ( $5$ -cent coins). He has at least one penny and at least one nickel. What is the difference in cents between the greatest possible and least possible amounts of money that Ricardo can have?

$8062$

$8068$

$8072$

$8076$

$8082$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $p$ el número de centavos que tiene Ricardo y sea $n$ el número de monedas de cinco centavos que tiene.

Sabemos que $p+n=2020,$ $p \geq 1,$ y $n \geq 1$ por el enunciado del problema.

Esto significa que $\begin{align*}2020 -n &=p \\ \implies 2020 -n &\geq 1.\end{align*}$ Por lo tanto, $1 \leq n \leq 2019.$ Se deduce, entonces, que Ricardo tiene $\begin{align*}p+5n &= p+n + 4n\\ &= 2020 + 4n \end{align*}$ centavos.

Por lo tanto, para maximizar el dinero que tiene, maximizamos el número de monedas de cinco centavos, y para minimizar el dinero minimizamos el número de monedas de cinco centavos. El máximo número de monedas de cinco centavos que puede tener es $2019,$ así que puede tener a lo sumo $2020+2019(4)$ centavos. El mínimo número de monedas de cinco centavos que puede tener es $1,$ así que tiene al menos $2020+1(4)$ centavos. La diferencia entre la cantidad máxima y mínima de dinero que puede tener es: $\begin{align*} &2020+2019(4) - (2020+1(4)) \\ &= 2018(4) = 8072 . \end{align*}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $p$ be the number of pennies Ricardo has and let $n$ be the number of nickels he has.

We know that $p+n=2020,$ $p \geq 1,$ and $n \geq 1$ by the problem statement.

This means $\begin{align*}2020 -n &=p \\ \implies 2020 -n &\geq 1.\end{align*}$ Therefore, $1 \leq n \leq 2019.$ It follows, then, that Ricardo has $\begin{align*}p+5n &= p+n + 4n\\ &= 2020 + 4n \end{align*}$ cents.

Therefore, to maximize the money he has, we maximize the number of nickels he has, and minimizing the money he has involves minimizing the number of nickels he has. The maximum number of nickels he can have is $2019,$ so he can have at most $2020+2019(4)$ cents. The minimum number of nickels he can have is $1,$ so he has at least $2020+1(4)$ cents. The difference between the maximum and minimum amount of money he can have is: $\begin{align*} &2020+2019(4) - (2020+1(4)) \\ &= 2018(4) = 8072 . \end{align*}$

Thus, the correct answer is C.

2020 AMC 8 Problema 8

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 8 en otros años