Question

El rectángulo $ABCD$ y el triángulo rectángulo $DCE$ tienen la misma área. Se unen para formar un trapecio, como se muestra. ¿Cuánto vale $DE$ ?

Rectangle $ABCD$ and right triangle $DCE$ have the same area. They are joined to form a trapezoid, as shown. What is $DE?$

$12$

$13$

$14$

$15$

$16$

Solución:

El área de $ABCD$ es $5 \cdot 6 = 30.$

El área del triángulo es $\begin{align*} \triangle DCE &= \frac{1}{2}DC \cdot CE \\ &= 30 \end{align*}$ Por lo tanto: $\begin{align*} \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot CE &= 30 \\ CE &= 12. \end{align*}$ Luego, usando el teorema de Pitágoras obtenemos que $\begin{align*} DE &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13. \end{align*}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The area of $ABCD$ is $5 \cdot 6 = 30.$

The area of $\begin{align*} \triangle DCE &= \frac{1}{2}DC \cdot CE \\ &= 30 \end{align*}$ Therefore: $\begin{align*} \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot CE &= 30 \\ CE &= 12. \end{align*}$ Then using the Pythagorean theorem we get that $\begin{align*} DE &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13. \end{align*}$

Thus, B is the correct answer.

2014 AMC 8 Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años