Question

En la figura, $ABCD$ es un rectángulo y $EFGH$ es un paralelogramo. Usando las medidas dadas en la figura, ¿cuál es la longitud $d$ del segmento que es perpendicular a $\overline{HE}$ y $\overline{FG}$ ?

In the figure, $ABCD$ is a rectangle and $EFGH$ is a parallelogram. Using the measurements given in the figure, what is the length $d$ of the segment that is perpendicular to $\overline{HE}$ and $\overline{FG}?$

$6.8$

$7.1$

$7.6$

$7.8$

$8.1$

Respuesta: C

Conceptos:paralelogramo descomposición de áreas Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Halla el área del rectángulo y resta los cuatro triángulos de las esquinas.

Find the area of the rectangle and subtract the four corner triangles.

Pista grande:

Usa el teorema de Pitágoras para obtener la base $HE$ del paralelogramo.

Use the Pythagorean theorem to get the parallelogram base $HE.$

Solución:

El rectángulo tiene lados de longitud $10$ y $8,$ así que su área es $80.$

Los cuatro triángulos de las esquinas tienen área total $\begin{aligned} &2\cdot\frac12\cdot3\cdot4 \\ &\quad{}+2\cdot\frac12\cdot6\cdot5 \\ &=12+30=42. \end{aligned}$ Así, el paralelogramo $EFGH$ tiene área $80-42=38.$

El segmento $HE$ tiene longitud $5$ por el triángulo rectángulo $3-4-5.$ Como el área del paralelogramo es $HE\cdot d,$ tenemos $5d=38,$ así que $d=7.6.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The rectangle has side lengths $10$ and $8,$ so its area is $80.$

The four corner triangles have total area $\begin{aligned} &2\cdot\frac12\cdot3\cdot4 \\ &\quad{}+2\cdot\frac12\cdot6\cdot5 \\ &=12+30=42. \end{aligned}$ Thus parallelogram $EFGH$ has area $80-42=38.$

Segment $HE$ has length $5$ by the $3-4-5$ right triangle. Since the parallelogram area is $HE\cdot d,$ we have $5d=38,$ so $d=7.6.$

Thus, C is the correct answer.

2004 AMC 8 Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años