Soluciones del 2004 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En un mapa, una longitud de $12$ centímetros representa $72$ kilómetros. ¿Cuántos kilómetros representa una longitud de $17$ centímetros?

On a map, a $12$ -centimeter length represents $72$ kilometers. How many kilometers does a $17$ -centimeter length represent?

$6$

$102$

$204$

$864$

$1224$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 370

Solución:

$1$ cm representa $72 \div 12 = 6$ kilómetros. Esto significa que $17$ cm representa $6 \cdot 17 = 102$ kilómetros.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that $1$ cm represents $72 \div 12 = 6$ kilometers. This means that $17$ cm represents $6 \cdot 17 = 102$ kilometers.

Thus, B is the correct answer.

2.

¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se pueden formar reordenando las cuatro cifras de $2004$ ?

How many different four-digit numbers can be formed by rearranging the four digits in $2004$ ?

$4$

$6$

$16$

$24$

$81$

Conceptos:permutaciones de multiconjuntos arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 450

Solución:

Nota que hay $2$ cifras distintas de cero que podrían ser la cifra de los millares.

Después de elegirla, debemos ordenar las otras $3$ cifras. Hay $3$ lugares para la otra cifra distinta de cero.

Esto nos da $2 \cdot 3 = 6$ números posibles.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that there are $2$ non-zero digits that could be the thousands digit.

After choosing that, we need to arrange the other $3$ digits. There are $3$ spots for the other non-zero digit.

This gives us $2 \cdot 3 = 6$ possible numbers.

Thus, B is the correct answer.

3.

Doce amigos se reunieron para cenar en Oscar's Overstuffed Oyster House, y cada uno pidió una comida. Las porciones eran tan grandes que había suficiente comida para $18$ personas. Si compartieran, ¿cuántas comidas deberían haber pedido para tener justo la suficiente comida para los $12$ ?

Twelve friends met for dinner at Oscar's Overstuffed Oyster House, and each ordered one meal. The portions were so large, there was enough food for $18$ people. If they shared, how many meals should they have ordered to have just enough food for the $12$ of them?

$8$

$9$

$10$

$15$

$18$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Nota que $12$ comidas alimentan a $18$ personas. Esto significa que una comida alimenta a $\dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$ personas.

Esto significa que necesitan $12 \div \dfrac{3}{2} = 8$ comidas para $12$ personas.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that $12$ meals feed $18$ people. This means that one meal feeds $\dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$ people.

This means that they need $12 \div \dfrac{3}{2} = 8$ meals for $12$ people.

Thus, A is the correct answer.

4.

La clase de octavo grado de la señora Hamilton quiere participar en el torneo anual de baloncesto de equipos de tres personas. Lance, Sally, Joy y Fred son elegidos para el equipo. ¿De cuántas maneras se pueden elegir los tres titulares?

Ms. Hamilton’s eighth-grade class wants to participate in the annual three-person-team basketball tournament. Lance, Sally, Joy, and Fred are chosen for the team. In how many ways can the three starters be chosen?

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

Conceptos:combinaciones conteo complementario

Nivel de dificultad: 660

Solución:

Si hay $3$ titulares, entonces una persona no puede ser titular. Elegir a la persona que no es titular determina a los titulares.

Hay $4$ opciones para la persona que no es titular.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

If there are $3$ starters, then one person must not be starting. Choosing the person who doesn't start determines the starters.

There are $4$ choices for the person who doesn't start.

Thus, B is the correct answer.

5.

La clase de octavo grado de la señora Hamilton quiere participar en el torneo anual de baloncesto de equipos de tres personas. El equipo perdedor de cada partido es eliminado del torneo. Si compiten dieciséis equipos, ¿cuántos partidos se jugarán para determinar al ganador?

Ms. Hamilton's eighth-grade class wants to participate in the annual three-person-team basketball tournament. The losing team of each game is eliminated from the tournament. If sixteen teams compete, how many games will be played to determine the winner?

$4$

$7$

$8$

$15$

$16$

Conceptos:conteo básico invariante

Nivel de dificultad: 730

Solución:

Nota que después de cada partido, un equipo queda eliminado. Para que quede un solo equipo, deben haber sido eliminados $15$ equipos.

Esto significa que se tuvieron que jugar $15$ partidos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that after every game, one team gets eliminated. For there to be one team remaining, $15$ teams must have been eliminated.

This means that $15$ games had to have been played.

Thus, D is the correct answer.

6.

Después de que Sally realiza $20$ tiros, ha encestado el $55 \%$ de sus tiros. Después de realizar $5$ tiros más, aumenta su porcentaje a $56 \%.$ ¿Cuántos de los últimos $5$ tiros encestó?

After Sally takes $20$ shots, she has made $55 \%$ of her shots. After she takes $5$ more shots, she raises her percentage to $56 \%.$ How many of the last $5$ shots did she make?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 870

Solución:

Sally encestó $20 \times .55 = 11$ de sus primeros $20$ tiros. Entonces obtenemos que $\dfrac{11 + x}{25} = .56,$ lo que nos dice que $11 + x = 14$ y $x = 3.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Sally made $20 \times .55 = 11$ of her first $20$ shots. Then we get that $\dfrac{11 + x}{25} = .56,$ which tells us that $11 + x = 14$ and $x = 3.$

Thus, C is the correct answer.

7.

La frecuencia cardíaca objetivo de un atleta, en latidos por minuto, es el $80 \%$ de la frecuencia cardíaca máxima teórica. La frecuencia cardíaca máxima se obtiene restando la edad del atleta, en años, de $220.$ Redondeando al número entero más cercano, ¿cuál es la frecuencia cardíaca objetivo de un atleta que tiene $26$ años?

An athlete's target heart rate, in beats per minute, is $80 \%$ of the theoretical maximum heart rate. The maximum heart rate is found by subtracting the athlete's age, in years, from $220.$ To the nearest whole number, what is the target heart rate of an athlete who is $26$ years old?

$134$

$155$

$176$

$194$

$243$

Conceptos:porcentaje estimación

Nivel de dificultad: 900

Solución:

La frecuencia cardíaca máxima de este atleta sería $220 - 26 = 194.$ Entonces la frecuencia cardíaca objetivo sería $194 \times .8 \approx 155.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The maximum heart rate for this athlete would be $220 - 26 = 194.$ Then the target heart rate would be $194 \times .8 \approx 155.$

Thus, B is the correct answer.

8.

Halla la cantidad de enteros positivos de dos cifras cuyas cifras suman $7.$

Find the number of two-digit positive integers whose digits total $7.$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:dígitos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 930

Solución:

Nota que la cifra de las decenas puede ir de $1$ a $7,$ y esta cifra determina la cifra de las unidades.

En consecuencia, hay $7$ números.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that the tens digit can range from $1$ to $7,$ and this digit determines the units digit.

Therefore, there are $7$ numbers.

Thus, B is the correct answer.

9.

El promedio de los cinco números de una lista es $54.$ El promedio de los dos primeros números es $48.$ ¿Cuál es el promedio de los tres últimos números?

The average of the five numbers in a list is $54.$ The average of the first two numbers is $48.$ What is the average of the last three numbers?

$55$

$56$

$57$

$58$

$59$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

La suma de los $5$ números es $54 \cdot 5 = 270.$ La suma de los $2$ primeros números es $48 \cdot 2 = 96.$

La suma de los $3$ últimos números es $270 - 96 = 174.$ El promedio es entonces $174 \div 3 = 58.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The sum of all $5$ numbers is $54 \cdot 5 = 270.$ The sum of the first $2$ numbers is $48 \cdot 2 = 96.$

The sum of the last $3$ numbers is $270 - 96 = 174.$ The average is therefore $174 \div 3 = 58.$

Thus, D is the correct answer.

10.

Handy Aaron ayudó a un vecino $1 \frac{1}{4}$ horas el lunes, $50$ minutos el martes, de $8:20$ a $10:45$ el miércoles por la mañana, y media hora el viernes. Le pagan $\$3$ por hora. ¿Cuánto ganó en la semana?

Handy Aaron helped a neighbor $1 \frac{1}{4}$ hours on Monday, $50$ minutes on Tuesday, from $8:20$ to $10:45$ on Wednesday morning, and a half-hour on Friday. He is paid $\$3$ per hour. How much did he earn for the week?

$\$ 8$

$\$ 9$

$\$ 10$

$\$ 12$

$\$ 15$

Conceptos:conversión de unidades tasa

Nivel de dificultad: 1000

Solución:

Aaron trabajó $75$ minutos el lunes, $50$ minutos el martes, $145$ minutos el miércoles y $30$ minutos el viernes.

El total es $75+50+145+30=300$ minutos, o sea $5$ horas.

A $\$3$ por hora, ganó $5\cdot3=15$ dólares.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Aaron worked $75$ minutes on Monday, $50$ minutes on Tuesday, $145$ minutes on Wednesday, and $30$ minutes on Friday.

The total is $75+50+145+30=300$ minutes, or $5$ hours.

At $\$3$ per hour, he earned $5\cdot3=15$ dollars.

Thus, E is the correct answer.

11.

Los números $-2, 4, 6, 9$ y $12$ se reordenan según estas reglas:

1. El mayor no está primero, pero está en uno de los tres primeros lugares.

2. El menor no está último, pero está en uno de los tres últimos lugares.

3. La mediana no está ni primera ni última.

¿Cuál es el promedio del primer y el último número?

The numbers $-2, 4, 6, 9$ and $12$ are rearranged according to these rules:

1. The largest isn’t first, but it is in one of the first three places.

2. The smallest isn’t last, but it is in one of the last three places.

3. The median isn’t first or last.

What is the average of the first and last numbers?

$3.5$

$5$

$6.5$

$7.5$

$8$

Conceptos:deducción lógica media

Nivel de dificultad: 1060

Solución:

Nota que el mayor, el menor y la mediana no pueden ser el primer ni el último número.

Esto significa que el primer y el último número son $4$ y $9$ en algún orden. El promedio es $(4 + 9) \div 2$ $= 13 \div 2$ $= 6.5.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that the largest, smallest, and median numbers cannot be the first or last number.

This means that the first and last numbers are $4$ and $9$ in some order. The average is $(4 + 9) \div 2$ $= 13 \div 2$ $= 6.5.$

Thus, C is the correct answer.

12.

Niki normalmente deja su teléfono celular encendido. Si su teléfono está encendido pero no lo está usando, la batería durará $24$ horas. Si lo usa constantemente, la batería durará solo $3$ horas. Desde la última recarga, su teléfono ha estado encendido $9$ horas, y durante ese tiempo lo ha usado por $60$ minutos. Si ya no habla más pero deja el teléfono encendido, ¿cuántas horas más durará la batería?

Niki usually leaves her cell phone on. If her cell phone is on but she is not actually using it, the battery will last for $24$ hours. If she is using it constantly, the battery will last for only $3$ hours. Since the last recharge, her phone has been on $9$ hours, and during that time she has used it for $60$ minutes. If she doesn’t talk any more but leaves the phone on, how many more hours will the battery last?

$7$

$8$

$11$

$14$

$15$

Conceptos:tasa fracción

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Cuando no está en uso, su teléfono consume $\frac{1}{24}$ de su batería por hora. Cuando está en uso, consume $\frac{1}{3}$ de su batería por hora.

El teléfono de Niki ha estado encendido $9$ horas, de las cuales $8$ horas estuvo en reposo y $1$ hora se usó para hablar por teléfono.

Esto significa que el teléfono ha consumido $\frac{2}{3}$ de su batería. Para agotar el $\frac{1}{3}$ restante de la batería, el teléfono puede durar $8$ horas más sin ser usado.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

When not in use, her cell phone uses up $\frac{1}{24}$ of its battery per hour. When it is in use, it uses up $\frac{1}{3}$ of its battery per hour.

Niki's phone has been on for $9$ hours, with $8$ of those hours being idle and $1$ hour being used to talk on the phone.

This means that the phone has used up $\frac{2}{3}$ of its battery. In order to drain the remaining $\frac{1}{3}$ of the battery, the phone can last for $8$ more hours without being used.

Thus, B is the correct answer.

13.

Amy, Bill y Celine son amigos de edades diferentes. Exactamente una de las siguientes afirmaciones es verdadera.

I. Bill es el mayor.

II. Amy no es la mayor.

III. Celine no es la menor.

Ordena a los amigos de mayor a menor.

Amy, Bill and Celine are friends with different ages. Exactly one of the following statements is true.

I. Bill is the oldest.

II. Amy is not the oldest.

III. Celine is not the youngest.

Rank the friends from the oldest to youngest.

$\text{Bill, Amy, Celine}$

$\text{Amy, Bill, Celine}$

$\text{Celine, Amy, Bill}$

$\text{Celine, Bill, Amy}$

$\text{Amy, Celine, Bill}$

Conceptos:deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

Si Bill fuera el mayor, entonces las afirmaciones I y II serían ambas verdaderas, así que Bill no es el mayor.

Si Celine fuera la mayor, entonces las afirmaciones II y III serían ambas verdaderas, así que Celine no es la mayor.

Por lo tanto, Amy es la mayor. Las afirmaciones I y II son falsas, así que la afirmación III debe ser la única verdadera. Así, Celine no es la menor, quedando Bill como el menor.

El orden es Amy, Celine, Bill.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

If Bill were oldest, then statements I and II would both be true, so Bill is not oldest.

If Celine were oldest, then statements II and III would both be true, so Celine is not oldest.

Therefore Amy is oldest. Statements I and II are false, so statement III must be the single true statement. Thus Celine is not youngest, leaving Bill youngest.

The order is Amy, Celine, Bill.

Thus, E is the correct answer.

14.

¿Cuál es el área encerrada por el cuadrilátero del geoplano de abajo?

What is the area enclosed by the geoboard quadrilateral below?

$15$

$18\frac{1}{2}$

$22\frac{1}{2}$

$27$

$41$

Conceptos:punto reticular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

Coloca el cuadrilátero dentro del cuadrado circundante de $10\times10$ , cuya área es $100$ .

Las cinco piezas exteriores tienen áreas $15$ , $\frac12\cdot6\cdot7=21$ , $\frac12\cdot1\cdot3=\frac32$ , $\frac12\cdot4\cdot5=10$ y $\frac12\cdot6\cdot10=30$ .

El área exterior es $15+21+\frac32+10+30=77\frac12$ , así que el área del cuadrilátero es $100-77\frac12=22\frac12$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Place the quadrilateral inside the surrounding $10\times10$ square, whose area is $100$ .

The five outside pieces have areas $15$ , $\frac12\cdot6\cdot7=21$ , $\frac12\cdot1\cdot3=\frac32$ , $\frac12\cdot4\cdot5=10$ , and $\frac12\cdot6\cdot10=30$ .

The outside area is $15+21+\frac32+10+30=77\frac12$ , so the quadrilateral area is $100-77\frac12=22\frac12$ .

Thus, C is the correct answer.

15.

Se usaron trece baldosas hexagonales sombreadas y seis sin sombrear para crear la figura de abajo. Si se crea una nueva figura agregando un borde de baldosas sin sombrear del mismo tamaño y forma que las demás, ¿cuál será la diferencia entre el número total de baldosas sin sombrear y el número total de baldosas sombreadas en la nueva figura?

Thirteen shaded and six unshaded hexagonal tiles were used to create the figure below. If a new figure is created by attaching a border of unshaded tiles with the same size and shape as the others, what will be the difference between the total number of unshaded tiles and the total number of shaded tiles in the new figure?

$5$

$7$

$11$

$12$

$18$

Conceptos:teselado reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1220

Solución:

La figura original tiene $13$ baldosas sombreadas y $6$ baldosas sin sombrear.

El nuevo borde es el siguiente anillo hexagonal alrededor de la figura, que tiene $18$ baldosas sin sombrear.

La nueva figura tiene $6+18=24$ baldosas sin sombrear y $13$ baldosas sombreadas, así que la diferencia es $24-13=11$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The original figure has $13$ shaded tiles and $6$ unshaded tiles.

The new border is the next hexagonal ring around the figure, which has $18$ unshaded tiles.

The new figure has $6+18=24$ unshaded tiles and $13$ shaded tiles, so the difference is $24-13=11$ .

Thus, C is the correct answer.

16.

Dos jarras de $600$ mL contienen jugo de naranja. Una jarra está $\frac 13$ llena y la otra está $\frac 25$ llena. Se agrega agua para llenar completamente cada jarra, luego ambas jarras se vierten en un recipiente grande. ¿Qué fracción de la mezcla en el recipiente grande es jugo de naranja?

Two $600$ mL pitchers contain orange juice. One pitcher is $\frac 13$ full and the other pitcher is $\frac 25$ full. Water is added to fill each pitcher completely, then both pitchers are poured into one large container. What fraction of the mixture in the large container is orange juice?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{11}{30}$

$\dfrac{11}{19}$

$\dfrac{11}{15}$

Conceptos:mezcla fracción

Nivel de dificultad: 1160

Solución:

La primera jarra contiene $600 \cdot \dfrac{1}{3} = 200$ mL de jugo de naranja. La segunda tiene $600 \cdot \dfrac{2}{5} = 240$ mL.

El recipiente grande tiene entonces $200 + 240 = 440$ mL de jugo de naranja. La cantidad total de mezcla es $2 \cdot 600 = 1200$ mL.

Entonces la fracción de jugo de naranja es $\dfrac{440}{1200} = \dfrac{11}{30}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The first pitcher contains $600 \cdot \dfrac{1}{3} = 200$ mL of orange juice. The second one has $600 \cdot \dfrac{2}{5} = 240$ mL.

The large container then has $200 + 240 = 440$ mL of orange juice. The total amount of mixture is $2 \cdot 600 = 1200$ mL.

Then the fraction of orange juice is $\dfrac{440}{1200} = \dfrac{11}{30}.$

Thus, C is the correct answer.

17.

Tres amigos tienen un total de $6$ lápices idénticos, y cada uno tiene al menos un lápiz. ¿De cuántas maneras puede ocurrir esto?

Three friends have a total of $6$ identical pencils, and each one has at least one pencil. In how many ways can this happen?

$1$

$3$

$6$

$10$

$12$

Conceptos:estrellas y barras análisis por casos

Nivel de dificultad: 1220

Solución:

Primero dale un lápiz a cada amigo. Entonces quedan $3$ lápices para distribuir entre los $3$ amigos.

Si un amigo recibe los $3$ lápices restantes, hay $3$ maneras. Si los lápices restantes se reparten como $2$ y $1$ , hay $3\cdot2=6$ maneras. Si cada amigo recibe uno más, hay $1$ manera.

El número total de maneras es $3+6+1=10$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

First give each friend one pencil. Then $3$ pencils remain to distribute among the $3$ friends.

If one friend gets all $3$ remaining pencils, there are $3$ ways. If the remaining pencils split as $2$ and $1$ , there are $3\cdot2=6$ ways. If each friend gets one more, there is $1$ way.

The total number of ways is $3+6+1=10$ .

Thus, D is the correct answer.

18.

Cinco amigos compiten en un concurso de lanzamiento de dardos. Cada uno tiene dos dardos para lanzar al mismo blanco circular, y la puntuación de cada persona es la suma de las puntuaciones de las regiones del blanco que acierta. Las puntuaciones de las regiones del blanco son los números enteros del $1$ al $10.$ Cada lanzamiento acierta en una región de valor diferente. Las puntuaciones son: Alice $16$ puntos, Ben $4$ puntos, Cindy $7$ puntos, Dave $11$ puntos y Ellen $17$ puntos. ¿Quién acierta la región que vale $6$ puntos?

Five friends compete in a dart-throwing contest. Each one has two darts to throw at the same circular target, and each individual's score is the sum of the scores in the target regions that are hit. The scores for the target regions are the whole numbers $1$ through $10.$ Each throw hits the target in a region with a different value. The scores are: Alice $16$ points, Ben $4$ points, Cindy $7$ points, Dave $11$ points, and Ellen $17$ points. Who hits the region worth $6$ points?

$\text{Alice}$

$\text{Ben}$

$\text{Cindy}$

$\text{Dave}$

$\text{Ellen}$

Conceptos:deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1400

Solución:

La única manera de obtener la puntuación de Ben es con un $1$ y un $3$ , ya que no puede acertar $2$ dos veces.

Cindy puede lograr su puntuación con $1 + 6,\quad 2 + 5,\quad 3 + 4.$ Ben ya acertó $1$ y $3,$ así que Cindy debe haber acertado $2$ y $5.$

De manera similar, Dave debe haber acertado $4$ y $7.$ Finalmente, como $7$ ya está usado, Alice se ve forzada a haber acertado $6$ y $10$ con Ellen acertando $8$ y $9.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The only way to get Ben's score is with a $1$ and $3$ since he can't hit $2$ twice.

Cindy can achieve her score with $1 + 6,\quad 2 + 5,\quad 3 + 4.$ Ben already hit $1$ and $3,$ so Cindy must have hit $2$ and $5.$

Similarly, Dave must have hit $4$ and $7.$ Finally, since $7$ is already used, Alice is forced to have hit $6$ and $10$ with Ellen hitting $8$ and $9.$

Thus, A is the correct answer.

19.

Un número entero mayor que $2$ deja un residuo de $2$ al dividirse entre cada uno de los números $3, 4, 5,$ y $6.$ ¿Entre cuáles dos números se encuentra el menor número de este tipo?

A whole number larger than $2$ leaves a remainder of $2$ when divided by each of the numbers $3, 4, 5,$ and $6.$ The smallest such number lies between which two numbers?

$40\ \text{and}\ 49$

$60 \text{ and}\ 79$

$100\ \text{and}\ 129$

$210\ \text{and}\ 249$

$320\ \text{and}\ 369$

Conceptos:mínimo común múltiplo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1220

Solución:

Sea $x$ el número. Entonces $x - 2$ es divisible entre $3, 4, 5,$ y $6.$

El mínimo común múltiplo de estos números es $60,$ lo que hace que $x$ sea $62.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number. Then $x - 2$ is divisible by $3, 4, 5,$ and $6.$

The least common multiple of these numbers is $60,$ which makes $x$ $62.$

Thus, B is the correct answer.

20.

Dos tercios de las personas en una sala están sentadas en tres cuartos de las sillas. El resto de las personas están de pie. Si hay $6$ sillas vacías, ¿cuántas personas hay en la sala?

Two-thirds of the people in a room are seated in three-fourths of the chairs. The rest of the people are standing. If there are $6$ empty chairs, how many people are in the room?

$12$

$18$

$24$

$27$

$36$

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 1230

Solución:

Como $3/4$ de las sillas están ocupadas, las $6$ sillas vacías son $1/4$ de todas las sillas. Así hay $24$ sillas.

El número de personas sentadas es $3/4$ de $24$ , que es $18$ .

Esas $18$ personas sentadas son $2/3$ de todas las personas, así que el número total de personas es $18\div\frac23=27$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since $3/4$ of the chairs are occupied, the $6$ empty chairs are $1/4$ of all the chairs. Thus there are $24$ chairs.

The number of seated people is $3/4$ of $24$ , which is $18$ .

Those $18$ seated people are $2/3$ of all the people, so the total number of people is $18\div\frac23=27$ .

Thus, D is the correct answer.

21.

Se giran las ruletas $A$ y $B$ . En cada ruleta, la flecha tiene la misma probabilidad de caer en cada número. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los números de las dos ruletas sea par?

Spinners $A$ and $B$ are spun. On each spinner, the arrow is equally likely to land on each number. What is the probability that the product of the two spinners' numbers is even?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

Conceptos:probabilidad básica probabilidad complementaria paridad

Nivel de dificultad: 1290

Solución:

Para que el producto sea par, al menos una de las ruletas debe caer en un número par.

Podemos usar conteo complementario y calcular la probabilidad de que ambas ruletas caigan en impares.

Esto ocurre con una probabilidad de $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}.$

Entonces la probabilidad de caer en al menos un par es $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

For the product to be even, then at least one of the spinners must land on an even number.

We can use complementary counting and calculate the probability of both spinners landing on odds.

This happens with a probability of $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}.$

Then the probability of landing on at least one even is $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}.$

Thus, D is the correct answer.

22.

En una fiesta solo hay mujeres solteras y hombres casados con sus esposas. La probabilidad de que una mujer seleccionada al azar sea soltera es $\dfrac{2}{5}.$ ¿Qué fracción de las personas en la sala son hombres casados?

At a party there are only single women and married men with their wives. The probability that a randomly selected woman is single is $\dfrac{2}{5}.$ What fraction of the people in the room are married men?

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{3}{5}$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 1450

Solución:

Sin pérdida de generalidad, supongamos que hay $5$ mujeres en la sala. Entonces hay $5 \cdot \dfrac{2}{5} = 2$ mujeres solteras.

Esto significa que hay $5 - 2 = 3$ mujeres casadas, que también es el número de hombres casados.

Hay un total de $5 + 3 = 8$ personas en la sala. La fracción de hombres casados es $\dfrac{3}{8}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

WLOG, let there be $5$ women in the room. Then there are $5 \cdot \dfrac{2}{5} = 2$ single women.

This means that there are $5 - 2 = 3$ married women, which is also the number of married men.

There are a total of $5 + 3 = 8$ people in the room. The fraction of married men is $\dfrac{3}{8}.$

Thus, B is the correct answer.

23.

Tess corre en sentido antihorario alrededor de la manzana rectangular $JKLM.$ Vive en la esquina $J.$ ¿Cuál gráfica podría representar su distancia en línea recta desde su casa?

Tess runs counterclockwise around rectangular block $JKLM.$ She lives at corner $J.$ Which graph could represent her straight-line distance from home?

Conceptos:interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 1450

Solución:

Comenzando en $J$ , la distancia de Tess desde su casa aumenta a medida que corre de $J$ a $K$ .

De $K$ a $L$ , su distancia sigue aumentando, pero con una forma diferente, alcanzando su máximo en la esquina opuesta $L$ .

De $L$ a $M$ y luego de $M$ de vuelta a $J$ , su distancia disminuye de nuevo hasta $0$ , cambiando otra vez de comportamiento en $M$ .

La gráfica $D$ es la única gráfica con este aumento, aumento con ritmo cambiado, disminución con ritmo cambiado, y disminución final hasta $0$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Starting at $J$ , Tess’s distance from home increases as she runs from $J$ to $K$ .

From $K$ to $L$ , her distance continues to increase, but with a different shape, reaching its maximum at the opposite corner $L$ .

From $L$ to $M$ and then from $M$ back to $J$ , her distance decreases back to $0$ , again changing behavior at $M$ .

Graph $D$ is the only graph with this increase, changed-rate increase, changed-rate decrease, and final decrease to $0$ .

Thus, D is the correct answer.

24.

En la figura, $ABCD$ es un rectángulo y $EFGH$ es un paralelogramo. Usando las medidas dadas en la figura, ¿cuál es la longitud $d$ del segmento que es perpendicular a $\overline{HE}$ y $\overline{FG}$ ?

In the figure, $ABCD$ is a rectangle and $EFGH$ is a parallelogram. Using the measurements given in the figure, what is the length $d$ of the segment that is perpendicular to $\overline{HE}$ and $\overline{FG}?$

$6.8$

$7.1$

$7.6$

$7.8$

$8.1$

Conceptos:paralelogramo descomposición de áreas Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

El rectángulo tiene lados de longitud $10$ y $8$ , así que su área es $80$ .

Los cuatro triángulos de las esquinas tienen área total $2\cdot\frac12\cdot3\cdot4$ $+2\cdot\frac12\cdot6\cdot5$ $=12+30$ $=42$ . Así, el paralelogramo $EFGH$ tiene área $80-42=38$ .

El segmento $HE$ tiene longitud $5$ por el triángulo rectángulo $3-4-5$ . Como el área del paralelogramo es $HE\cdot d$ , tenemos $5d=38$ , así que $d=7.6$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The rectangle has side lengths $10$ and $8$ , so its area is $80$ .

The four corner triangles have total area $2\cdot\frac12\cdot3\cdot4$ $+2\cdot\frac12\cdot6\cdot5$ $=12+30$ $=42$ . Thus parallelogram $EFGH$ has area $80-42=38$ .

Segment $HE$ has length $5$ by the $3-4-5$ right triangle. Since the parallelogram area is $HE\cdot d$ , we have $5d=38$ , so $d=7.6$ .

Thus, C is the correct answer.

25.

Dos cuadrados de $4 \times 4$ se intersecan en ángulo recto, bisecando sus lados que se intersecan, como se muestra. El diámetro del círculo es el segmento entre los dos puntos de intersección. ¿Cuál es el área de la región sombreada que se crea al quitar el círculo de los cuadrados?

Two $4 \times 4$ squares intersect at right angles, bisecting their intersecting sides, as shown. The circle's diameter is the segment between the two points of intersection. What is the area of the shaded region created by removing the circle from the squares?

$16-4\pi$

$16-2\pi$

$28-4\pi$

$28-2\pi$

$32-2\pi$

Conceptos:área del círculo inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Los dos cuadrados de $4\times4$ tienen área total $32$ , pero su solapamiento es un cuadrado de $2\times2$ con área $4$ . Así, el área cubierta por la unión de los dos cuadrados es $32-4=28$ .

El diámetro del círculo es la diagonal de ese cuadrado de solapamiento de $2\times2$ , así que el diámetro es $2\sqrt2$ y el radio es $\sqrt2$ .

El área del círculo es $\pi(\sqrt2)^2=2\pi$ , así que el área sombreada es $28-2\pi$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The two $4\times4$ squares have total area $32$ , but their overlap is a $2\times2$ square with area $4$ . Thus the area covered by the union of the two squares is $32-4=28$ .

The circle’s diameter is the diagonal of that $2\times2$ overlap square, so the diameter is $2\sqrt2$ and the radius is $\sqrt2$ .

The circle area is $\pi(\sqrt2)^2=2\pi$ , so the shaded area is $28-2\pi$ .

Thus, D is the correct answer.