Question

Los seis números enteros $10,$ $11,$ $12,$ $13,$ $14,$ y $15$ se colocan en seis círculos, uno en cada uno de los tres vértices de un triángulo y uno en el punto medio de cada lado, de modo que la suma $S$ de los tres números a lo largo de cada lado del triángulo sea la misma. El mayor valor posible de $S$ es

The six whole numbers $10,$ $11,$ $12,$ $13,$ $14,$ and $15$ are placed in six circles — one at each of the three corners of a triangle and one at the midpoint of each side — so that the sum $S$ of the three numbers along each side of the triangle is the same. The largest possible value for $S$ is

$36$

$37$

$38$

$39$

$40$

Solución:

Al sumar las tres sumas de los lados se obtiene $3S = (10 + 11 + \cdots + 15)$ $+ (\text{sum of corners})$ $= 75 + (\text{sum of corners}).$ Para maximizar $S,$ coloca los tres números más grandes $13,$ $14,$ $15$ en los vértices, lo que da una suma de vértices de $42.$

Entonces $3S = 75 + 42 = 117,$ así que $S = 39.$ Esto es alcanzable: con vértices $13,$ $14,$ $15$ y puntos medios $12,$ $10,$ $11,$ cada lado suma $39.$

Así, la respuesta correcta es D.

Adding the three side sums gives $3S = (10 + 11 + \cdots + 15)$ $+ (\text{sum of corners})$ $= 75 + (\text{sum of corners}).$ To maximize $S,$ place the three largest numbers $13,$ $14,$ $15$ at the corners, giving corner sum $42.$

Then $3S = 75 + 42 = 117,$ so $S = 39.$ This is achievable: with corners $13,$ $14,$ $15$ and midpoints $12,$ $10,$ $11,$ each side sums to $39.$

Thus, the correct answer is D .

1985 AMC 8 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años