Question

En un triángulo mágico, cada uno de los seis números enteros del $10$ al $15$ se coloca en uno de los círculos de modo que la suma $S$ de los tres números de cada lado del triángulo sea la misma. El mayor valor posible de $S$ es

In a magic triangle, each of the six whole numbers $10$ through $15$ is placed in one of the circles so that the sum $S$ of the three numbers on each side of the triangle is the same. The largest possible value for $S$ is

$36$

$37$

$38$

$39$

$40$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrado mágico optimización

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Al sumar las tres sumas de los lados, cada número de vértice se cuenta dos veces y cada número de punto medio una vez

Adding the three side sums counts each corner number twice and each midpoint number once

Pista grande:

Sea $C$ la suma de los números de los vértices. Entonces $3S = 75 + C;$ coloca los tres números más grandes en los vértices

Let $C$ be the sum of the corner numbers. Then $3S = 75 + C;$ put the three largest numbers at the corners

Solución:

Sea $C$ la suma de los números de los vértices. Al sumar las tres sumas de los lados se obtiene $3S = 75 + C,$ porque los seis números suman $75$ y cada vértice se cuenta una vez más. Para maximizar $S,$ coloca los tres números más grandes $13,$ $14,$ $15$ en los vértices, lo que da $C = 42.$

Entonces $3S = 75 + 42 = 117,$ así que $S = 39.$ Esto se puede lograr colocando $12$ entre los vértices $13$ y $14,$ colocando $10$ entre $14$ y $15,$ y colocando $11$ entre $15$ y $13.$

Así, la respuesta correcta es D.

Let $C$ be the sum of the corner numbers. Adding the three side sums gives $3S = 75 + C,$ because the six numbers sum to $75$ and every corner is counted one extra time. To maximize $S,$ place the three largest numbers $13,$ $14,$ $15$ at the corners, giving $C = 42.$

Then $3S = 75 + 42 = 117,$ so $S = 39.$ This is achievable: put $12$ between corners $13$ and $14,$ put $10$ between $14$ and $15,$ and put $11$ between $15$ and $13.$

Thus, the correct answer is D .

1985 AMC 8 Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años