Question

Un cubo de un pie cúbico se corta en cuatro piezas mediante tres cortes paralelos a la cara superior del cubo. El primer corte está a $\dfrac{1}{2}$ pie de la cara superior. El segundo corte está $\dfrac{1}{3}$ pie debajo del primer corte, y el tercer corte está $\dfrac{1}{17}$ pie debajo del segundo corte. De arriba hacia abajo las piezas se etiquetan $A,$ $B,$ $C,$ y $D.$ Luego las piezas se pegan una tras otra en el orden $C,$ $B,$ $A,$ $D$ para formar un sólido largo como se muestra. ¿Cuál es el área superficial total de este sólido en pies cuadrados?

A one-cubic-foot cube is cut into four pieces by three cuts parallel to the top face of the cube. The first cut is $\dfrac{1}{2}$ foot from the top face. The second cut is $\dfrac{1}{3}$ foot below the first cut, and the third cut is $\dfrac{1}{17}$ foot below the second cut. From the top to the bottom the pieces are labeled $A,$ $B,$ $C,$ and $D.$ The pieces are then glued together end to end in the order $C,$ $B,$ $A,$ $D$ to make a long solid as shown. What is the total surface area of this solid in square feet?

$6$

$7$

$\dfrac{419}{51}$

$\dfrac{158}{17}$

$11$

Respuesta: E

Conceptos:área de superficie Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Piensa en el área superficial mirando desde las seis direcciones

Think of surface area by looking from the six directions.

Pista grande:

Las cuatro piezas se apilan de nuevo en un cubo unitario cuando se ven desde cualquiera de los lados

The four pieces stack back to a unit cube when viewed from either side.

Solución:

Observa el sólido desde las seis direcciones coordenadas.

Visto desde cualquiera de los extremos, las caras verticales expuestas tienen una altura total igual al grosor de la pieza $A,$ es decir, $\dfrac{1}{2}$ pie. Por lo tanto, cada vista desde un extremo tiene un área de $\dfrac{1}{2}$ pie cuadrado.

Desde cada lado, las cuatro piezas se apilan en la vista lateral del cubo unitario original, así que cada vista lateral tiene un área de $1$ pie cuadrado.

Desde arriba y desde abajo, cada vista muestra cuatro caras de $1$ por $1,$ así que cada una tiene un área de $4$ pies cuadrados.

El área superficial total es $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1+1+4+4=11$ pies cuadrados.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Look at the solid from the six coordinate directions.

Viewed from either end, the exposed vertical faces have total height equal to the thickness of piece $A,$ namely $\dfrac{1}{2}$ foot. Thus each end view has area $\dfrac{1}{2}$ square foot.

From each side, the four pieces stack to the side view of the original unit cube, so each side view has area $1$ square foot.

From the top and bottom, each view shows four $1$ -by- $1$ faces, so each has area $4$ square feet.

The total surface area is $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1+1+4+4=11$ square feet.

Thus, E is the correct answer.

2009 AMC 8 Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años