Question

Makayla encuentra todas las maneras posibles de trazar un camino en una cuadrícula con forma de rombo de $5 \times 5$ . Cada camino empieza en la parte inferior de la cuadrícula y termina en la parte superior, moviéndose siempre una unidad hacia el noreste o el noroeste. Ella calcula el área de la región entre cada camino y el lado derecho de la cuadrícula. En las figuras de abajo se muestran dos ejemplos. ¿Cuál es la suma de las áreas determinadas por todos los caminos posibles?

Makayla finds all the possible ways to draw a path in a $5 \times 5$ diamond-shaped grid. Each path starts at the bottom of the grid and ends at the top, always moving one unit northeast or northwest. She computes the area of the region between each path and the right side of the grid. Two examples are shown in the figures below. What is the sum of the areas determined by all possible paths?

$2520$

$3150$

$3840$

$4730$

$5050$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $X$ la respuesta.

Por simetría, si la pregunta pidiera la suma de las áreas entre cada camino y el lado izquierdo de la cuadrícula, la respuesta sería exactamente la misma $X.$

Pero si esa respuesta se suma a la respuesta original, eso es exactamente lo mismo que la suma, sobre todos los caminos, de la suma de las áreas a la izquierda y a la derecha.

Para cada camino, esa suma de áreas es exactamente $25.$

El número de caminos es igual al número de maneras de reordenar $LLLLLRRRRR,$ donde $L$ representa Izquierda y $R$ representa Derecha, a medida que el camino sube. El número de reordenamientos es $10$ sobre $5$ , denotado $\binom{10}{5}.$

Así que $2X = 25 \times \binom{10}{5}.$ Dividiendo entre $2,$ obtenemos que $X$ es igual a $\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{25}{2},$ que es 3150, o la opción B.

Let $X$ be the answer.

By symmetry, if the question asked for the sum of areas between each path and the left side of the grid, then the answer would be exactly the same $X.$

But if that answer is added to the original answer, that is exactly the same as the sum over all paths, of the sum of areas to the left and to the right.

For each path, that sum of areas is exactly $25.$

The number of paths is equal to the number of ways to rearrange $LLLLLRRRRR,$ where $L$ stands for Left and $R$ stands for Right, as the path walks up. The number of rearrangements is $10$ choose $5,$ denoted $\binom{10}{5}.$

So, $2X = 25 \times \binom{10}{5}.$ Dividing by $2,$ we get that $X$ equals $\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{25}{2},$ which is 3150, or choice B.

2025 AMC 8 Problema 25

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 25 en otros años