Question

Halla la suma de los dígitos en la respuesta a

$\underbrace{9999\cdots99}_{94 \text{ nines}} \times \underbrace{4444\cdots44}_{94 \text{ fours}}$

donde una cadena de $94$ nueves se multiplica por una cadena de $94$ cuatros.

Find the sum of the digits in the answer to

$\underbrace{9999\cdots99}_{94 \text{ nines}} \times \underbrace{4444\cdots44}_{94 \text{ fours}}$

where a string of $94$ nines is multiplied by a string of $94$ fours.

$846$

$855$

$945$

$954$

$1072$

Solución:

Los casos pequeños muestran el patrón: $99 \times 44 = 4356$ y $999 \times 444 = 443556.$ En general, una cadena de $n$ nueves por una cadena de $n$ cuatros da $(n-1)$ cuatros, luego un $3,$ luego $(n-1)$ cincos, luego un $6.$

Para $n = 94,$ el producto tiene $93$ cuatros, un $3,$ $93$ cincos, y un $6.$ La suma de los dígitos es $93(4) + 3$ $+ 93(5) + 6$ $= 93(9) + 9$ $= 94(9)$ $= 846.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Small cases show the pattern: $99 \times 44 = 4356$ and $999 \times 444 = 443556.$ In general, a string of $n$ nines times a string of $n$ fours gives $(n-1)$ fours, then a $3,$ then $(n-1)$ fives, then a $6.$

For $n = 94,$ the product has $93$ fours, one $3,$ $93$ fives, and one $6.$ The digit sum is $93(4) + 3$ $+ 93(5) + 6$ $= 93(9) + 9$ $= 94(9)$ $= 846.$

Thus, the correct answer is A .

1994 AMC 8 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años