1994 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

¿Cuál de los siguientes es el mayor?

Which of the following is the largest?

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{7}{24}$

Respuesta: D

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Con el común denominador $24$ , las fracciones son $\dfrac{8}{24}, \dfrac{6}{24}, \dfrac{9}{24}, \dfrac{10}{24},$ y $\dfrac{7}{24}.$

El numerador mayor es $10$ , así que $\dfrac{5}{12} = \dfrac{10}{24}$ es la mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Over the common denominator $24$ , the fractions are $\dfrac{8}{24}, \dfrac{6}{24}, \dfrac{9}{24}, \dfrac{10}{24},$ and $\dfrac{7}{24}.$

The largest numerator is $10$ , so $\dfrac{5}{12} = \dfrac{10}{24}$ is the largest.

Thus, the correct answer is D .

2.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\begin{aligned} &\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{4}{10} \\ &\quad {}+ \frac{5}{10} + \frac{6}{10} + \frac{7}{10} + \frac{8}{10} \\ &\quad {}+ \frac{9}{10} + \frac{55}{10} \end{aligned}$

What is the value of the following expression?

$\begin{aligned} &\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{4}{10} \\ &\quad {}+ \frac{5}{10} + \frac{6}{10} + \frac{7}{10} + \frac{8}{10} \\ &\quad {}+ \frac{9}{10} + \frac{55}{10} \end{aligned}$

$4\dfrac{1}{2}$

$6.4$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: D

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Los numeradores suman $1 + 2 + \cdots + 9 + 55$ $= 45 + 55$ $= 100.$

Entonces el total es $\dfrac{100}{10} = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The numerators sum to $1 + 2 + \cdots + 9 + 55$ $= 45 + 55$ $= 100.$

So the total is $\dfrac{100}{10} = 10.$

Thus, the correct answer is D .

3.

Cada día Maria debe trabajar $8$ horas. Esto no incluye los $45$ minutos que toma para el almuerzo. Si comienza a trabajar a las 7:25 A.M. y toma su descanso para almorzar al mediodía, entonces su jornada laboral terminará a las

Each day Maria must work $8$ hours. This does not include the $45$ minutes she takes for lunch. If she begins working at 7:25 A.M. and takes her lunch break at noon, then her working day will end at

3:40 P.M.

3:55 P.M.

4:10 P.M.

4:25 P.M.

4:40 P.M.

Respuesta: C

Conceptos:reloj

Nivel de dificultad: 660

Solución:

Ocho horas después de las 7:25 A.M. son las 3:25 P.M.

Al sumar el descanso de almuerzo de $45$ minutos, la hora de finalización es las 4:10 P.M.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Eight hours after 7:25 A.M. is 3:25 P.M.

Adding the $45$ -minute lunch break gives an ending time of 4:10 P.M.

Thus, the correct answer is C .

4.

¿Cuál de las siguientes representa el resultado cuando la figura mostrada a la derecha se rota $120°$ en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de su centro?

Which of the following represents the result when the figure shown at the right is rotated clockwise $120°$ about its center?

Respuesta: B

Conceptos:transformación

Nivel de dificultad: 660

Solución:

Un giro de $120°$ en sentido horario envía cada figura a la siguiente posición en sentido horario: el triángulo de arriba se mueve a la parte inferior derecha, el cuadrado de la parte inferior derecha se mueve a la parte inferior izquierda, y el círculo de la parte inferior izquierda se mueve a la parte de arriba.

Por lo tanto, el resultado tiene un círculo arriba, un cuadrado en la parte inferior izquierda, y un triángulo en la parte inferior derecha, conservando cada figura su forma original.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A clockwise turn of $120°$ sends each shape to the next position clockwise: the triangle at the top moves to the lower right, the square at the lower right moves to the lower left, and the circle at the lower left moves to the top.

The result therefore has a circle on top, a square at the lower left, and a triangle at the lower right, with each shape keeping its original form.

Thus, the correct answer is B .

5.

Dado que $1$ milla $= 8$ furlongs y $1$ furlong $= 40$ rods, el número de rods en una milla es

Given that $1$ mile $= 8$ furlongs and $1$ furlong $= 40$ rods, the number of rods in one mile is

$5$

$320$

$660$

$1760$

$5280$

Respuesta: B

Conceptos:conversión de unidades

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Una milla son $8$ furlongs, y cada furlong son $40$ rods, así que una milla son $8 \times 40 = 320$ rods.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

One mile is $8$ furlongs, and each furlong is $40$ rods, so one mile is $8 \times 40 = 320$ rods.

Thus, the correct answer is B .

6.

El dígito de las unidades del producto de cualesquiera seis números enteros positivos consecutivos es

The unit's digit (one's digit) of the product of any six consecutive positive whole numbers is

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Respuesta: A

Conceptos:dígito de las unidades divisibilidad

Nivel de dificultad: 730

Solución:

Cualesquiera seis números enteros consecutivos incluyen al menos un múltiplo de $5$ y al menos un número par, así que su producto es un múltiplo de $5 \times 2 = 10.$

Un múltiplo de $10$ siempre termina en $0$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Any six consecutive whole numbers include at least one multiple of $5$ and at least one even number, so their product is a multiple of $5 \times 2 = 10.$

A multiple of $10$ always ends in $0$ .

Thus, the correct answer is A .

7.

Si $\angle A = 60°,$ $\angle E = 40°,$ y $\angle C = 30°,$ entonces $\angle BDC =$

If $\angle A = 60°,$ $\angle E = 40°,$ and $\angle C = 30°,$ then $\angle BDC =$

$40°$

$50°$

$60°$

$70°$

$80°$

Respuesta: B

Conceptos:persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 920

Solución:

En el triángulo $ABE,$ $\angle ABE = 180°$ $- (60° + 40°)$ $= 80°.$

Como $A, B, C$ son colineales y $D$ está sobre el segmento $EB,$ el ángulo $\angle DBC = 180° - 80° = 100°.$

En el triángulo $BDC,$ $\angle BDC = 180°$ $- (100° + 30°)$ $= 50°.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In triangle $ABE,$ $\angle ABE = 180°$ $- (60° + 40°)$ $= 80°.$

Since $A, B, C$ are collinear and $D$ lies on segment $EB,$ the angle $\angle DBC = 180° - 80° = 100°.$

In triangle $BDC,$ $\angle BDC = 180°$ $- (100° + 30°)$ $= 50°.$

Thus, the correct answer is B .

8.

¿Para cuántos números enteros de tres dígitos la suma de los dígitos es igual a $25$ ?

For how many three-digit whole numbers does the sum of the digits equal $25?$

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

Respuesta: C

Conceptos:dígitos permutaciones de multiconjuntos

Nivel de dificultad: 920

Solución:

Como los dígitos suman $25$ y el máximo es $27$ , al menos un dígito es $9$ . Los conjuntos posibles de dígitos son $\{9, 9, 7\}$ y $\{9, 8, 8\}.$

Cada conjunto tiene $3$ arreglos distintos ( $997, 979, 799$ y $988, 898, 889$ ), lo que da $6$ números en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since the digits sum to $25$ and the maximum is $27$ , at least one digit is $9$ . The possible digit sets are $\{9, 9, 7\}$ and $\{9, 8, 8\}.$

Each set has $3$ distinct arrangements ( $997, 979, 799$ and $988, 898, 889$ ), giving $6$ numbers in all.

Thus, the correct answer is C .

9.

Un comprador adquiere un abrigo de $\$100$ en oferta con un $20\%$ de descuento. Se descuentan $\$5$ adicionales del precio de oferta usando un cupón de descuento. Sobre el precio de venta final se paga un impuesto de venta del $8\%$ . El monto total que el comprador paga por el abrigo es

A shopper buys a $\$100$ coat on sale for $20\%$ off. An additional $\$5$ is taken off the sale price by using a discount coupon. A sales tax of $8\%$ is paid on the final selling price. The total amount the shopper pays for the coat is

$\$81.00$

$\$81.40$

$\$82.00$

$\$82.08$

$\$82.40$

Respuesta: A

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 860

Solución:

El $20\%$ de descuento baja el precio a $\$80,$ y el cupón de $\$5$ lo reduce a $\$75.$

Al agregar el $8\%$ de impuesto se obtiene $1.08 \times \$75 = \$81.00.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The $20\%$ discount lowers the price to $\$80,$ and the $\$5$ coupon reduces it to $\$75.$

Adding $8\%$ tax gives $1.08 \times \$75 = \$81.00.$

Thus, the correct answer is A .

10.

¿Para cuántos valores enteros positivos de $N$ $(N \gt 0)$ la expresión

$\frac{36}{N+2}$

es un entero?

For how many positive integer values of $N$ $(N \gt 0)$ is the expression

$\frac{36}{N+2}$

an integer?

$7$

$8$

$9$

$10$

$12$

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad factor

Nivel de dificultad: 860

Solución:

La expresión es un entero cuando $N+2$ divide a $36.$ Los divisores de $36$ son $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.$

Como $N \gt 0,$ necesitamos $N + 2 \gt 2,$ lo que deja los divisores $3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ : es decir, $7$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The expression is an integer when $N+2$ divides $36.$ The divisors of $36$ are $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.$

Because $N \gt 0,$ we need $N + 2 \gt 2,$ leaving the divisors $3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ : that is $7$ values.

Thus, the correct answer is A .

11.

El verano pasado, $100$ estudiantes asistieron a un campamento de baloncesto. De los asistentes, $52$ eran niños y $48$ eran niñas. Además, $40$ estudiantes eran de Jones Middle School y $60$ eran de Clay Middle School. Veinte de las niñas eran de Jones Middle School. ¿Cuántos de los niños eran de Clay Middle School?

Last summer $100$ students attended basketball camp. Of those attending, $52$ were boys and $48$ were girls. Also, $40$ students were from Jones Middle School and $60$ were from Clay Middle School. Twenty of the girls were from Jones Middle School. How many of the boys were from Clay Middle School?

$20$

$32$

$40$

$48$

$52$

Respuesta: B

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 820

Solución:

Como asistieron $48$ niñas y $20$ eran de Jones, $48 - 20 = 28$ niñas eran de Clay.

Clay tenía $60$ estudiantes en total, así que el número de niños de Clay es $60 - 28 = 32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $48$ girls attended and $20$ were from Jones, $48 - 20 = 28$ girls were from Clay.

Clay had $60$ students total, so the number of Clay boys is $60 - 28 = 32.$

Thus, the correct answer is B .

12.

Cada uno de los tres cuadrados grandes mostrados tiene el mismo tamaño. Los segmentos que cortan los lados de los cuadrados se intersecan en los puntos medios de los lados. ¿Cómo se comparan las áreas sombreadas de estos cuadrados?

Each of the three large squares shown is the same size. Segments that intersect the sides of the squares intersect at the midpoints of the sides. How do the shaded areas of these squares compare?

Las áreas sombreadas de los tres son iguales.

The shaded areas in all three are equal.

Solo las áreas sombreadas de $I$ y $II$ son iguales.

Only the shaded areas of $I$ and $II$ are equal.

Solo las áreas sombreadas de $I$ y $III$ son iguales.

Only the shaded areas of $I$ and $III$ are equal.

Solo las áreas sombreadas de $II$ y $III$ son iguales.

Only the shaded areas of $II$ and $III$ are equal.

Las áreas sombreadas de $I, II,$ y $III$ son todas diferentes.

The shaded areas of $I, II,$ and $III$ are all different.

Respuesta: A

Conceptos:descomposición de áreas razón de áreas

Nivel de dificultad: 820

Solución:

En el cuadrado $II,$ $1$ de las $4$ celdas iguales está sombreada, así que $\tfrac14$ de él está sombreado.

El cuadrado $I$ se divide en $8$ triángulos iguales con $2$ sombreados, y el cuadrado $III$ se divide en $16$ triángulos iguales con $4$ sombreados; cada una de estas es igual a $\tfrac{2}{8} = \tfrac{4}{16} = \tfrac14.$

Como cada figura tiene exactamente $\tfrac14$ sombreado, las áreas sombreadas son todas iguales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

In square $II,$ $1$ of the $4$ equal cells is shaded, so $\tfrac14$ of it is shaded.

Square $I$ breaks into $8$ equal triangles with $2$ shaded, and square $III$ breaks into $16$ equal triangles with $4$ shaded; each of these equals $\tfrac{2}{8} = \tfrac{4}{16} = \tfrac14.$

Since every figure has exactly $\tfrac14$ shaded, the shaded areas are all equal.

Thus, the correct answer is A .

13.

El número que está a la mitad entre $\dfrac{1}{6}$ y $\dfrac{1}{4}$ es

The number halfway between $\dfrac{1}{6}$ and $\dfrac{1}{4}$ is

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{5}{24}$

$\dfrac{7}{24}$

$\dfrac{5}{12}$

Respuesta: C

Conceptos:media fracción

Nivel de dificultad: 660

Solución:

El número que está a la mitad entre dos valores es su promedio: $\dfrac{\frac16 + \frac14}{2}.$

Como $\dfrac16 + \dfrac14 = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12},$ el promedio es $\dfrac{5}{12} \div 2 = \dfrac{5}{24}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The number halfway between two values is their average: $\dfrac{\frac16 + \frac14}{2}.$

Since $\dfrac16 + \dfrac14 = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12},$ the average is $\dfrac{5}{12} \div 2 = \dfrac{5}{24}.$

Thus, the correct answer is C .

14.

Dos niños a la vez pueden jugar pairball. Durante $90$ minutos, con solo dos niños jugando a la vez, cinco niños se turnan de modo que cada uno juegue la misma cantidad de tiempo. El número de minutos que juega cada niño es

Two children at a time can play pairball. For $90$ minutes, with only two children playing at one time, five children take turns so that each one plays the same amount of time. The number of minutes each child plays is

$9$

$10$

$18$

$20$

$36$

Respuesta: E

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 820

Solución:

Dos niños juegan en todo momento durante $90$ minutos, así que el tiempo total de juego es $2 \times 90 = 180$ niño-minutos.

Repartido equitativamente entre $5$ niños, cada uno juega $\dfrac{180}{5} = 36$ minutos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Two children play at every moment for $90$ minutes, so the total playing time is $2 \times 90 = 180$ child-minutes.

Split equally among $5$ children, each plays $\dfrac{180}{5} = 36$ minutes.

Thus, the correct answer is E .

15.

Si este camino continúa con el mismo patrón, ¿cuál secuencia de flechas va del punto $425$ al punto $427$ ?

If this path is to continue in the same pattern, then which sequence of arrows goes from point $425$ to point $427?$

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 910

Solución:

El patrón se repite cada $4$ puntos, así que las flechas que salen de un punto dependen solo de su residuo al dividir entre $4.$

Como $425 = 4(106) + 1$ y $427 = 4(106) + 3,$ el camino de $425$ a $427$ es igual al camino del punto $1$ al punto $3$ : desde $1$ sube hasta $2,$ luego va a la derecha hasta $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The pattern repeats every $4$ points, so the arrows leaving a point depend only on its remainder upon division by $4.$

Because $425 = 4(106) + 1$ and $427 = 4(106) + 3,$ the path from $425$ to $427$ looks just like the path from point $1$ to point $3$ : from $1$ it goes up to $2,$ then right to $3.$

Thus, the correct answer is A .

16.

El perímetro de un cuadrado es $3$ veces el perímetro de otro cuadrado. ¿Cuántas veces es el área del cuadrado mayor respecto del área del cuadrado menor?

The perimeter of one square is $3$ times the perimeter of another square. The area of the larger square is how many times the area of the smaller square?

$2$

$3$

$4$

$6$

$9$

Respuesta: E

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 820

Solución:

El perímetro de un cuadrado es proporcional a su lado, así que el cuadrado mayor tiene una longitud de lado $3$ veces la del menor.

El área es el lado al cuadrado, así que el área mayor es $3^2 = 9$ veces la menor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A square's perimeter is proportional to its side, so the larger square has side length $3$ times the smaller one.

Area is the side squared, so the larger area is $3^2 = 9$ times the smaller.

Thus, the correct answer is E .

17.

Pauline Bunyan puede palear nieve a razón de $20$ yardas cúbicas en la primera hora, $19$ yardas cúbicas en la segunda, $18$ en la tercera, etc., paleando siempre una yarda cúbica menos por hora que la hora anterior. Si su entrada para autos tiene $4$ yardas de ancho, $10$ yardas de largo, y está cubierta con nieve de $3$ yardas de profundidad, entonces el número de horas que le tomará dejarla limpia es lo más cercano a

Pauline Bunyan can shovel snow at the rate of $20$ cubic yards for the first hour, $19$ cubic yards for the second, $18$ for the third, etc., always shoveling one cubic yard less per hour than the previous hour. If her driveway is $4$ yards wide, $10$ yards long, and covered with snow $3$ yards deep, then the number of hours it will take her to shovel it clean is closest to

$4$

$5$

$6$

$7$

$12$

Respuesta: D

Conceptos:volumen sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1000

Solución:

El volumen de nieve es $4 \times 10 \times 3 = 120$ yardas cúbicas.

Las cantidades paleadas suman $20 + 19 + 18 + 17$ $+ 16 + 15 + 14 = 119$ después de $7$ horas, mientras que $8$ horas darían $132.$ Como $119$ está mucho más cerca de $120$ que $132$ , la respuesta de $7$ horas es la más cercana.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The volume of snow is $4 \times 10 \times 3 = 120$ cubic yards.

The amounts shoveled add up to $20 + 19 + 18 + 17$ $+ 16 + 15 + 14 = 119$ after $7$ hours, while $8$ hours would give $132.$ Since $119$ is much closer to $120$ than $132$ is, the $7$ -hour answer is closest.

Thus, the correct answer is D .

18.

Mike sale de casa y conduce lentamente hacia el este a través del tráfico de la ciudad. Cuando llega a la autopista conduce hacia el este más rápidamente hasta que llega al centro comercial donde se detiene. Compra en el centro comercial durante una hora. Mike regresa a casa por la misma ruta por la que vino, conduciendo rápidamente hacia el oeste por la autopista y luego lentamente a través del tráfico de la ciudad. Cada gráfica muestra la distancia desde casa en el eje vertical frente al tiempo transcurrido desde que salió de casa en el eje horizontal. ¿Cuál gráfica es la mejor representación del viaje de Mike?

Mike leaves home and drives slowly east through city traffic. When he reaches the highway he drives east more rapidly until he reaches the shopping mall where he stops. He shops at the mall for an hour. Mike returns home by the same route as he came, driving west rapidly along the highway and then slowly through city traffic. Each graph shows the distance from home on the vertical axis versus the time elapsed since leaving home on the horizontal axis. Which graph is the best representation of Mike's trip?

Respuesta: B

Conceptos:interpretación de datos y gráficas distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 920

Solución:

En la ida, Mike conduce despacio (pendiente suave) y luego rápido (pendiente pronunciada), así que la distancia sube despacio y luego más pronunciadamente. Durante la hora en el centro comercial la distancia permanece igual, un segmento plano.

En el regreso conduce rápido (pronunciada) y luego despacio (suave), así que la distancia baja pronunciadamente y luego se nivela. Solo encaja la gráfica con una subida lenta-luego-rápida, una cima plana, y una bajada rápida-luego-lenta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

On the way out Mike drives slowly (a shallow slope) then rapidly (a steep slope), so the distance rises slowly and then more steeply. During the hour at the mall the distance stays the same, a flat segment.

On the return he drives rapidly (steep) then slowly (shallow), so the distance falls steeply and then levels off. Only the graph with a slow-then-fast rise, a flat top, and a fast-then-slow fall fits.

Thus, the correct answer is B .

19.

Alrededor del exterior de un cuadrado de $4$ por $4$ , se construyen cuatro semicírculos con los cuatro lados del cuadrado como sus diámetros. Otro cuadrado, $ABCD,$ tiene sus lados paralelos a los lados correspondientes del cuadrado original, y cada lado de $ABCD$ es tangente a uno de los semicírculos. El área del cuadrado $ABCD$ es

Around the outside of a $4$ by $4$ square, construct four semicircles with the four sides of the square as their diameters. Another square, $ABCD,$ has its sides parallel to the corresponding sides of the original square, and each side of $ABCD$ is tangent to one of the semicircles. The area of the square $ABCD$ is

$16$

$32$

$36$

$48$

$64$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrado (geometría)círculo

Nivel de dificultad: 980

Solución:

Cada semicírculo se construye sobre un lado de longitud $4,$ así que su radio es $2.$ Un semicírculo sobresale desde el medio de cada lado por ese radio.

Cada lado de $ABCD$ es el lado original más dos radios: $4 + 2(2) = 8.$ Así que el área de $ABCD$ es $8^2 = 64.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each semicircle is built on a side of length $4,$ so its radius is $2.$ A semicircle bulges out from the middle of each side by that radius.

Each side of $ABCD$ is the original side plus two radii: $4 + 2(2) = 8.$ So the area of $ABCD$ is $8^2 = 64.$

Thus, the correct answer is E .

20.

Sean $W, X, Y,$ y $Z$ cuatro dígitos diferentes seleccionados del conjunto

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$

Si la suma $\dfrac{W}{X} + \dfrac{Y}{Z}$ debe ser lo más pequeña posible, entonces $\dfrac{W}{X} + \dfrac{Y}{Z}$ debe ser igual a

Let $W, X, Y,$ and $Z$ be four different digits selected from the set

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$

If the sum $\dfrac{W}{X} + \dfrac{Y}{Z}$ is to be as small as possible, then $\dfrac{W}{X} + \dfrac{Y}{Z}$ must equal

$\dfrac{2}{17}$

$\dfrac{3}{17}$

$\dfrac{17}{72}$

$\dfrac{25}{72}$

$\dfrac{13}{36}$

Respuesta: D

Conceptos:fracción optimización

Nivel de dificultad: 1000

Solución:

Los numeradores pequeños y los denominadores grandes hacen fracciones pequeñas, así que usa $1$ y $2$ como numeradores y $8$ y $9$ como denominadores.

Emparejar el numerador mayor con el denominador mayor da $\dfrac18 + \dfrac29 = \dfrac{9 + 16}{72} = \dfrac{25}{72},$ que es menor que $\dfrac19 + \dfrac28 = \dfrac{26}{72}.$ Así que la suma mínima es $\dfrac{25}{72}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Small numerators and large denominators make small fractions, so use $1$ and $2$ as numerators and $8$ and $9$ as denominators.

Pairing the larger numerator with the larger denominator gives $\dfrac18 + \dfrac29 = \dfrac{9 + 16}{72} = \dfrac{25}{72},$ which is smaller than $\dfrac19 + \dfrac28 = \dfrac{26}{72}.$ So the minimum sum is $\dfrac{25}{72}.$

Thus, the correct answer is D .

21.

Una máquina de chicles contiene $9$ chicles rojos, $7$ blancos y $8$ azules. El menor número de chicles que una persona debe comprar para asegurarse de obtener cuatro chicles del mismo color es

A gumball machine contains $9$ red, $7$ white, and $8$ blue gumballs. The least number of gumballs a person must buy to be sure of getting four gumballs of the same color is

$8$

$9$

$10$

$12$

$18$

Respuesta: C

Conceptos:principio del palomar

Nivel de dificultad: 980

Solución:

En el peor caso, una persona podría sacar $3$ rojos, $3$ blancos y $3$ azules, que son $9$ chicles, sin tener aún cuatro de ningún color.

El siguiente chicle (el décimo) debe coincidir con uno de estos colores, dando cuatro de ese color. Así que se necesitan $10$ chicles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In the worst case, a person could draw $3$ red, $3$ white, and $3$ blue, which is $9$ gumballs, without yet having four of any color.

The next (tenth) gumball must match one of these colors, giving four of that color. So $10$ gumballs are needed.

Thus, the correct answer is C .

22.

Los dos discos giratorios mostrados a la derecha se giran y se suman los dos números resultantes. La probabilidad de que la suma de los dos números sea par es

The two wheels shown at the right are spun and the two resulting numbers are added. The probability that the sum of the two numbers is even is

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{4}{9}$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad básica paridad

Nivel de dificultad: 1060

Solución:

En el primer disco, $P(1) = \dfrac14,$ $P(2) = \dfrac14,$ y $P(3) = \dfrac12.$ En el segundo disco, cada uno de $4, 5, 6$ tiene probabilidad $\dfrac13.$

La suma es par cuando ambos números son impares o ambos son pares. Ambos impares: el primero es $1$ o $3$ $\left(\dfrac34\right)$ y el segundo es $5$ $\left(\dfrac13\right),$ dando $\dfrac34 \cdot \dfrac13 = \dfrac14.$ Ambos pares: el primero es $2$ $\left(\dfrac14\right)$ y el segundo es $4$ o $6$ $\left(\dfrac23\right),$ dando $\dfrac14 \cdot \dfrac23 = \dfrac16.$

La probabilidad total es $\dfrac14 + \dfrac16 = \dfrac{5}{12}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

On the first wheel, $P(1) = \dfrac14,$ $P(2) = \dfrac14,$ and $P(3) = \dfrac12.$ On the second wheel, each of $4, 5, 6$ has probability $\dfrac13.$

The sum is even when both numbers are odd or both are even. Both odd: the first is $1$ or $3$ $\left(\dfrac34\right)$ and the second is $5$ $\left(\dfrac13\right),$ giving $\dfrac34 \cdot \dfrac13 = \dfrac14.$ Both even: the first is $2$ $\left(\dfrac14\right)$ and the second is $4$ or $6$ $\left(\dfrac23\right),$ giving $\dfrac14 \cdot \dfrac23 = \dfrac16.$

The total probability is $\dfrac14 + \dfrac16 = \dfrac{5}{12}.$

Thus, the correct answer is D .

23.

Si $X, Y,$ y $Z$ son dígitos diferentes, entonces la mayor suma posible de $3$ dígitos para

$\begin{array}{cr} & XXX \\ & YX \\ + & X \\ \hline \end{array}$

tiene la forma

If $X, Y,$ and $Z$ are different digits, then the largest possible $3$ -digit sum for

$\begin{array}{cr} & XXX \\ & YX \\ + & X \\ \hline \end{array}$

has the form

$XXY$

$XYZ$

$YYX$

$YYZ$

$ZZY$

Respuesta: D

Conceptos:criptoaritmética valor posicional

Nivel de dificultad: 1090

Solución:

El dígito de las centenas de la suma proviene de $X$ más cualquier acarreo, así que si $X = 9$ la suma se desbordaría a cuatro dígitos. El mayor valor permitido es $X = 8.$

Para hacer la suma lo más grande posible, toma $Y = 9:$ entonces $888 + 98 + 8 = 994.$ Sus dígitos son $9, 9, 4;$ como $9 = Y$ y $4$ es un nuevo dígito $Z,$ la suma tiene la forma $YYZ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The hundreds digit of the sum comes from $X$ plus any carry, so if $X = 9$ the sum would spill over into four digits. The largest allowed value is $X = 8.$

To make the sum as large as possible, take $Y = 9:$ then $888 + 98 + 8 = 994.$ Its digits are $9, 9, 4;$ since $9 = Y$ and $4$ is a new digit $Z,$ the sum has the form $YYZ.$

Thus, the correct answer is D .

24.

Un cuadrado de $2$ por $2$ se divide en cuatro cuadrados de $1$ por $1$ . Cada uno de los cuadrados pequeños se pintará de verde o de rojo. ¿De cuántas maneras diferentes puede realizarse la pintura de modo que ningún cuadrado verde comparta su lado superior o derecho con algún cuadrado rojo? Puede haber tan pocos como cero o tantos como cuatro cuadrados pequeños verdes.

A $2$ by $2$ square is divided into four $1$ by $1$ squares. Each of the small squares is to be painted either green or red. In how many different ways can the painting be accomplished so that no green square shares its top or right side with any red square? There may be as few as zero or as many as four small green squares.

$4$

$6$

$7$

$8$

$16$

Respuesta: B

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1150

Solución:

La regla dice que un cuadrado verde no puede tener un cuadrado rojo en su lado superior o derecho, así que cualquier cuadrado verde obliga a que los cuadrados de arriba y a su derecha también sean verdes. Por lo tanto, los cuadrados verdes deben agruparse hacia la esquina superior derecha.

Las coloraciones válidas son: los cuatro rojos; solo el superior derecho verde; toda la fila superior verde; toda la columna derecha verde; todos verdes excepto el inferior izquierdo; y los cuatro verdes. Son $6$ coloraciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The rule says a green square cannot have a red square on its top or right side, so any green square forces the squares above and to its right to be green as well. The green squares must therefore cluster toward the top-right corner.

The valid colorings are: all four red; only the top-right green; the whole top row green; the whole right column green; all green except the bottom-left; and all four green. That is $6$ colorings.

Thus, the correct answer is B .

25.

Halla la suma de los dígitos en la respuesta a

$\underbrace{9999\cdots99}_{94 \text{ nines}} \times \underbrace{4444\cdots44}_{94 \text{ fours}}$

donde una cadena de $94$ nueves se multiplica por una cadena de $94$ cuatros.

Find the sum of the digits in the answer to

$\underbrace{9999\cdots99}_{94 \text{ nines}} \times \underbrace{4444\cdots44}_{94 \text{ fours}}$

where a string of $94$ nines is multiplied by a string of $94$ fours.

$846$

$855$

$945$

$954$

$1072$

Respuesta: A

Conceptos:dígitos reconocimiento de patrones casos pequeños

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Los casos pequeños muestran el patrón: $99 \times 44 = 4356$ y $999 \times 444 = 443556.$ En general, una cadena de $n$ nueves por una cadena de $n$ cuatros da $(n-1)$ cuatros, luego un $3,$ luego $(n-1)$ cincos, luego un $6.$

Para $n = 94,$ el producto tiene $93$ cuatros, un $3,$ $93$ cincos, y un $6.$ La suma de los dígitos es $93(4) + 3$ $+ 93(5) + 6$ $= 93(9) + 9$ $= 94(9)$ $= 846.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Small cases show the pattern: $99 \times 44 = 4356$ and $999 \times 444 = 443556.$ In general, a string of $n$ nines times a string of $n$ fours gives $(n-1)$ fours, then a $3,$ then $(n-1)$ fives, then a $6.$

For $n = 94,$ the product has $93$ fours, one $3,$ $93$ fives, and one $6.$ The digit sum is $93(4) + 3$ $+ 93(5) + 6$ $= 93(9) + 9$ $= 94(9)$ $= 846.$

Thus, the correct answer is A .

Problemas del 1994 AMC 8

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: A

Solución: