Soluciones del 1994 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál de los siguientes es el mayor?

Which of the following is the largest?

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{7}{24}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Reescribe las cinco fracciones sobre un mismo común denominador

Rewrite all five fractions over one common denominator

Pista grande:

El mínimo común denominador de estas fracciones es $24$

The least common denominator of these fractions is $24$

Solución:

Con el común denominador $24$ , las fracciones son $\dfrac{8}{24},$ $\dfrac{6}{24},$ $\dfrac{9}{24},$ $\dfrac{10}{24},$ y $\dfrac{7}{24}.$

El numerador mayor es $10$ , así que $\dfrac{5}{12} = \dfrac{10}{24}$ es la mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Over the common denominator $24$ , the fractions are $\dfrac{8}{24},$ $\dfrac{6}{24},$ $\dfrac{9}{24},$ $\dfrac{10}{24},$ and $\dfrac{7}{24}.$

The largest numerator is $10$ , so $\dfrac{5}{12} = \dfrac{10}{24}$ is the largest.

Thus, the correct answer is D .

2.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\begin{aligned} &\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{4}{10} \\ &\quad {}+ \frac{5}{10} + \frac{6}{10} + \frac{7}{10} + \frac{8}{10} \\ &\quad {}+ \frac{9}{10} + \frac{55}{10} \end{aligned}$

What is the value of the following expression?

$\begin{aligned} &\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{4}{10} \\ &\quad {}+ \frac{5}{10} + \frac{6}{10} + \frac{7}{10} + \frac{8}{10} \\ &\quad {}+ \frac{9}{10} + \frac{55}{10} \end{aligned}$

$4\dfrac{1}{2}$

$6.4$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Todos los términos comparten el denominador $10$ , así que suma primero los numeradores

All the terms share the denominator $10$ , so add the numerators first

Pista grande:

$1 + 2 + \cdots + 9 = 45,$ y luego suma el $55$

$1 + 2 + \cdots + 9 = 45,$ and then add the $55$

Solución:

Los numeradores suman $1 + 2 + \cdots + 9 + 55$ $= 45 + 55$ $= 100.$

Entonces el total es $\dfrac{100}{10} = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The numerators sum to $1 + 2 + \cdots + 9 + 55$ $= 45 + 55$ $= 100.$

So the total is $\dfrac{100}{10} = 10.$

Thus, the correct answer is D .

3.

Cada día María debe trabajar $8$ horas. Esto no incluye los $45$ minutos que toma para el almuerzo. Si comienza a trabajar a las $7{:}25$ A.M. y toma su descanso para almorzar al mediodía, entonces su jornada laboral terminará a las

Each day Maria must work $8$ hours. This does not include the $45$ minutes she takes for lunch. If she begins working at $7{:}25$ A.M. and takes her lunch break at noon, then her working day will end at

$3{:}40$ P.M.

$3{:}55$ P.M.

$4{:}10$ P.M.

$4{:}25$ P.M.

$4{:}40$ P.M.

Conceptos:reloj

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

La jornada laboral abarca $8$ horas de trabajo más el descanso de almuerzo de $45$ minutos

The workday spans $8$ hours of work plus the $45$ -minute lunch break

Pista grande:

Suma $8$ horas a las $7{:}25$ A.M., luego suma $45$ minutos más

Add $8$ hours to $7{:}25$ A.M., then add $45$ more minutes

Solución:

Ocho horas después de las $7{:}25$ A.M. son las $3{:}25$ P.M.

Al sumar el descanso de almuerzo de $45$ minutos, la hora de finalización son las $4{:}10$ P.M.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Eight hours after $7{:}25$ A.M. is $3{:}25$ P.M.

Adding the $45$ -minute lunch break gives an ending time of $4{:}10$ P.M.

Thus, the correct answer is C .

4.

¿Cuál de las siguientes representa el resultado cuando la figura mostrada a la derecha se rota $120°$ en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de su centro?

Which of the following represents the result when the figure shown at the right is rotated clockwise $120°$ about its center?

Conceptos:transformación

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Un giro de $120°$ en el sentido de las manecillas del reloj mueve cada una de las tres figuras a la siguiente posición en sentido horario.

A clockwise turn of $120°$ moves each of the three shapes to the next position in the clockwise direction.

Pista grande:

El cuadrado debe seguir siendo un cuadrado y el círculo un círculo; solo cambian sus posiciones.

The square must stay a square and the circle a circle; only their positions change.

Solución:

Un giro de $120°$ en sentido horario envía cada figura a la siguiente posición en sentido horario: el triángulo de arriba se mueve a la parte inferior derecha, el cuadrado de la parte inferior derecha se mueve a la parte inferior izquierda, y el círculo de la parte inferior izquierda se mueve a la parte de arriba.

Por lo tanto, el resultado tiene un círculo arriba, un cuadrado en la parte inferior izquierda, y un triángulo en la parte inferior derecha, conservando cada figura su forma original.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A clockwise turn of $120°$ sends each shape to the next position clockwise: the triangle at the top moves to the lower right, the square at the lower right moves to the lower left, and the circle at the lower left moves to the top.

The result therefore has a circle on top, a square at the lower left, and a triangle at the lower right, with each shape keeping its original form.

Thus, the correct answer is B .

5.

Dado que $1$ milla $= 8$ furlongs y $1$ furlong $= 40$ rods, el número de rods en una milla es

Given that $1$ mile $= 8$ furlongs and $1$ furlong $= 40$ rods, the number of rods in one mile is

$5$

$320$

$660$

$1760$

$5280$

Conceptos:conversión de unidades

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Convierte millas a furlongs, luego furlongs a rods

Convert miles to furlongs, then furlongs to rods

Pista grande:

Una milla son $8$ furlongs, y cada furlong son $40$ rods

One mile is $8$ furlongs, and each furlong is $40$ rods

Solución:

Una milla son $8$ furlongs, y cada furlong son $40$ rods, así que una milla son $8 \times 40 = 320$ rods.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

One mile is $8$ furlongs, and each furlong is $40$ rods, so one mile is $8 \times 40 = 320$ rods.

Thus, the correct answer is B .

6.

El dígito de las unidades del producto de cualesquiera seis números enteros positivos consecutivos es

The unit’s digit (one’s digit) of the product of any six consecutive positive whole numbers is

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:dígito de las unidades divisibilidad

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Entre cualesquiera seis números consecutivos hay al menos un múltiplo de $5$ y al menos un número par

Among any six consecutive numbers there is at least one multiple of $5$ and at least one even number

Pista grande:

Un múltiplo de $5$ por un número par es un múltiplo de $10$

A multiple of $5$ times an even number is a multiple of $10$

Solución:

Cualesquiera seis números enteros consecutivos incluyen al menos un múltiplo de $5$ y al menos un número par, así que su producto es un múltiplo de $5 \times 2 = 10.$

Un múltiplo de $10$ siempre termina en $0$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Any six consecutive whole numbers include at least one multiple of $5$ and at least one even number, so their product is a multiple of $5 \times 2 = 10.$

A multiple of $10$ always ends in $0$ .

Thus, the correct answer is A .

7.

Si $\angle A = 60°,$ $\angle E = 40°,$ y $\angle C = 30°,$ entonces $\angle BDC =$

If $\angle A = 60°,$ $\angle E = 40°,$ and $\angle C = 30°,$ then $\angle BDC =$

$40°$

$50°$

$60°$

$70°$

$80°$

Conceptos:persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

En el triángulo $ABE$ , los ángulos en $A$ y $E$ determinan el ángulo $\angle ABE$

In triangle $ABE$ , the angles at $A$ and $E$ determine the angle $\angle ABE$

Pista grande:

Como $D$ está sobre $EB$ y $A, B, C$ son colineales, $\angle DBC$ es el suplemento de $\angle ABE$ ; luego usa el triángulo $BDC$

Since $D$ lies on $EB$ and $A, B, C$ are collinear, $\angle DBC$ is the supplement of $\angle ABE$ ; then use triangle $BDC$

Solución:

En el triángulo $ABE,$ $\angle ABE = 180°$ $- (60° + 40°)$ $= 80°.$

Como $A, B, C$ son colineales y $D$ está sobre el segmento $EB,$ el ángulo $\angle DBC = 180° - 80° = 100°.$

En el triángulo $BDC,$ $\angle BDC = 180°$ $- (100° + 30°)$ $= 50°.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In triangle $ABE,$ $\angle ABE = 180°$ $- (60° + 40°)$ $= 80°.$

Since $A, B, C$ are collinear and $D$ lies on segment $EB,$ the angle $\angle DBC = 180° - 80° = 100°.$

In triangle $BDC,$ $\angle BDC = 180°$ $- (100° + 30°)$ $= 50°.$

Thus, the correct answer is B .

8.

¿Para cuántos números enteros de tres dígitos la suma de los dígitos es igual a $25$ ?

For how many three-digit whole numbers does the sum of the digits equal $25?$

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

Conceptos:dígitos permutaciones de multiconjuntos

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

La mayor suma de dígitos posible es $9 + 9 + 9 = 27$ , así que los dígitos deben estar cerca de ser todos $9$

The largest possible digit sum is $9 + 9 + 9 = 27$ , so the digits must be close to all $9$ s

Pista grande:

Encuentra las combinaciones de dígitos que suman $25$ , luego cuenta cuántos arreglos tiene cada una

Find the digit combinations that sum to $25$ , then count how many arrangements each has

Solución:

Como los dígitos suman $25$ y el máximo es $27$ , al menos un dígito es $9$ . Los conjuntos posibles de dígitos son $\{9, 9, 7\}$ y $\{9, 8, 8\}.$

Cada conjunto tiene $3$ arreglos distintos ( $997,$ $979,$ $799$ y $988,$ $898,$ $889$ ), lo que da $6$ números en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since the digits sum to $25$ and the maximum is $27$ , at least one digit is $9$ . The possible digit sets are $\{9, 9, 7\}$ and $\{9, 8, 8\}.$

Each set has $3$ distinct arrangements ( $997,$ $979,$ $799$ and $988,$ $898,$ $889$ ), giving $6$ numbers in all.

Thus, the correct answer is C .

9.

Un comprador adquiere un abrigo de $\$100$ en oferta con un $20\%$ de descuento. Se descuentan $\$5$ adicionales del precio de oferta usando un cupón de descuento. Sobre el precio de venta final se paga un impuesto de venta del $8\%$ . El monto total que el comprador paga por el abrigo es

A shopper buys a $\$100$ coat on sale for $20\%$ off. An additional $\$5$ is taken off the sale price by using a discount coupon. A sales tax of $8\%$ is paid on the final selling price. The total amount the shopper pays for the coat is

$\$81.00$

$\$81.40$

$\$82.00$

$\$82.08$

$\$82.40$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Aplica primero el $20\%$ de descuento, luego resta el cupón de $\$5$

Apply the $20\%$ discount first, then subtract the $\$5$ coupon

Pista grande:

Multiplica el precio resultante por $1.08$ para agregar el $8\%$ de impuesto

Multiply the resulting price by $1.08$ to add the $8\%$ tax

Solución:

El $20\%$ de descuento baja el precio a $\$80,$ y el cupón de $\$5$ lo reduce a $\$75.$

Al agregar el $8\%$ de impuesto se obtiene $1.08 \times \$75 = \$81.00.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The $20\%$ discount lowers the price to $\$80,$ and the $\$5$ coupon reduces it to $\$75.$

Adding $8\%$ tax gives $1.08 \times \$75 = \$81.00.$

Thus, the correct answer is A .

10.

¿Para cuántos valores enteros positivos de $N$ $(N \gt 0)$ la expresión

$\frac{36}{N+2}$

es un entero?

For how many positive integer values of $N$ $(N \gt 0)$ is the expression

$\frac{36}{N+2}$

an integer?

$7$

$8$

$9$

$10$

$12$

Conceptos:divisibilidad factor

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

$\dfrac{36}{N+2}$ es un entero exactamente cuando $N+2$ es un divisor de $36$

$\dfrac{36}{N+2}$ is an integer exactly when $N+2$ is a divisor of $36$

Pista grande:

Como $N \gt 0,$ solo cuentan los divisores de $36$ que son mayores que $2$

Since $N \gt 0,$ only divisors of $36$ that are greater than $2$ count

Solución:

La expresión es un entero cuando $N+2$ divide a $36.$ Los divisores de $36$ son $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $9,$ $12,$ $18,$ $36.$

Como $N \gt 0,$ necesitamos $N + 2 \gt 2,$ lo que deja los divisores $3,$ $4,$ $6,$ $9,$ $12,$ $18,$ $36$ : es decir, $7$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The expression is an integer when $N+2$ divides $36.$ The divisors of $36$ are $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $9,$ $12,$ $18,$ $36.$

Because $N \gt 0,$ we need $N + 2 \gt 2,$ leaving the divisors $3,$ $4,$ $6,$ $9,$ $12,$ $18,$ $36$ : that is $7$ values.

Thus, the correct answer is A .

11.

El verano pasado, $100$ estudiantes asistieron a un campamento de baloncesto. De los asistentes, $52$ eran niños y $48$ eran niñas. Además, $40$ estudiantes eran de Jones Middle School y $60$ eran de Clay Middle School. Veinte de las niñas eran de Jones Middle School. ¿Cuántos de los niños eran de Clay Middle School?

Last summer $100$ students attended basketball camp. Of those attending, $52$ were boys and $48$ were girls. Also, $40$ students were from Jones Middle School and $60$ were from Clay Middle School. Twenty of the girls were from Jones Middle School. How many of the boys were from Clay Middle School?

$20$

$32$

$40$

$48$

$52$

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Primero halla cuántas niñas venían de Clay Middle School

First find how many girls came from Clay Middle School

Pista grande:

Resta las niñas de Clay de los $60$ estudiantes de Clay para obtener los niños de Clay

Subtract the Clay girls from the $60$ Clay students to get the Clay boys

Solución:

Como asistieron $48$ niñas y $20$ eran de Jones, $48 - 20 = 28$ niñas eran de Clay.

Clay tenía $60$ estudiantes en total, así que el número de niños de Clay es $60 - 28 = 32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $48$ girls attended and $20$ were from Jones, $48 - 20 = 28$ girls were from Clay.

Clay had $60$ students total, so the number of Clay boys is $60 - 28 = 32.$

Thus, the correct answer is B .

12.

Cada uno de los tres cuadrados grandes mostrados tiene el mismo tamaño. Los segmentos que cortan los lados de los cuadrados se intersecan en los puntos medios de los lados. ¿Cómo se comparan las áreas sombreadas de estos cuadrados?

Each of the three large squares shown is the same size. Segments that intersect the sides of the squares intersect at the midpoints of the sides. How do the shaded areas of these squares compare?

Las áreas sombreadas de los tres son iguales.

The shaded areas in all three are equal.

Solo las áreas sombreadas de $I$ y $II$ son iguales.

Only the shaded areas of $I$ and $II$ are equal.

Solo las áreas sombreadas de $I$ y $III$ son iguales.

Only the shaded areas of $I$ and $III$ are equal.

Solo las áreas sombreadas de $II$ y $III$ son iguales.

Only the shaded areas of $II$ and $III$ are equal.

Las áreas sombreadas de $I,$ $II,$ y $III$ son todas diferentes.

The shaded areas of $I,$ $II,$ and $III$ are all different.

Conceptos:descomposición de áreas razón de áreas

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Halla qué fracción de cada cuadrado grande está sombreada cortando cada figura en piezas más pequeñas iguales.

Find what fraction of each large square is shaded by cutting each figure into equal smaller pieces.

Pista grande:

Divide el cuadrado $I$ en $8$ triángulos iguales, el cuadrado $II$ en $4$ celdas iguales, y el cuadrado $III$ en $16$ triángulos iguales, luego cuenta las piezas sombreadas en cada uno.

Divide square $I$ into $8$ equal triangles, square $II$ into $4$ equal cells, and square $III$ into $16$ equal triangles, then count the shaded pieces in each.

Solución:

En el cuadrado $II,$ $1$ de las $4$ celdas iguales está sombreada, así que $\tfrac14$ de él está sombreado.

El cuadrado $I$ se divide en $8$ triángulos iguales con $2$ sombreados, y el cuadrado $III$ se divide en $16$ triángulos iguales con $4$ sombreados; cada una de estas es igual a $\tfrac{2}{8} = \tfrac{4}{16} = \tfrac14.$

Como cada figura tiene exactamente $\tfrac14$ sombreado, las áreas sombreadas son todas iguales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

In square $II,$ $1$ of the $4$ equal cells is shaded, so $\tfrac14$ of it is shaded.

Square $I$ breaks into $8$ equal triangles with $2$ shaded, and square $III$ breaks into $16$ equal triangles with $4$ shaded; each of these equals $\tfrac{2}{8} = \tfrac{4}{16} = \tfrac14.$

Since every figure has exactly $\tfrac14$ shaded, the shaded areas are all equal.

Thus, the correct answer is A .

13.

El número que está a la mitad entre $\dfrac{1}{6}$ y $\dfrac{1}{4}$ es

The number halfway between $\dfrac{1}{6}$ and $\dfrac{1}{4}$ is

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{5}{24}$

$\dfrac{7}{24}$

$\dfrac{5}{12}$

Conceptos:media fracción

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

El número que está a la mitad entre dos números es su promedio

The number halfway between two numbers is their average

Pista grande:

Suma $\dfrac16$ y $\dfrac14,$ luego divide la suma entre $2$

Add $\dfrac16$ and $\dfrac14,$ then divide the sum by $2$

Solución:

El número que está a la mitad entre dos valores es su promedio: $\dfrac{\frac16 + \frac14}{2}.$

Como $\dfrac16 + \dfrac14 = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12},$ el promedio es $\dfrac{5}{12} \div 2 = \dfrac{5}{24}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The number halfway between two values is their average: $\dfrac{\frac16 + \frac14}{2}.$

Since $\dfrac16 + \dfrac14 = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12},$ the average is $\dfrac{5}{12} \div 2 = \dfrac{5}{24}.$

Thus, the correct answer is C .

14.

Dos niños a la vez pueden jugar pairball. Durante $90$ minutos, con solo dos niños jugando a la vez, cinco niños se turnan de modo que cada uno juegue la misma cantidad de tiempo. El número de minutos que juega cada niño es

Two children at a time can play pairball. For $90$ minutes, with only two children playing at one time, five children take turns so that each one plays the same amount of time. The number of minutes each child plays is

$9$

$10$

$18$

$20$

$36$

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Con dos niños jugando durante los $90$ minutos completos, el tiempo total de juego es $2 \times 90$ niño-minutos

With two children playing for the whole $90$ minutes, the total playing time is $2 \times 90$ child-minutes

Pista grande:

Divide el tiempo total de juego equitativamente entre los $5$ niños

Divide the total playing time equally among the $5$ children

Solución:

Dos niños juegan en todo momento durante $90$ minutos, así que el tiempo total de juego es $2 \times 90 = 180$ niño-minutos.

Repartido equitativamente entre $5$ niños, cada uno juega $\dfrac{180}{5} = 36$ minutos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Two children play at every moment for $90$ minutes, so the total playing time is $2 \times 90 = 180$ child-minutes.

Split equally among $5$ children, each plays $\dfrac{180}{5} = 36$ minutes.

Thus, the correct answer is E .

15.

Si este camino continúa con el mismo patrón, ¿cuál secuencia de flechas va del punto $425$ al punto $427$ ?

If this path is to continue in the same pattern, then which sequence of arrows goes from point $425$ to point $427?$

Conceptos:aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 910

Pista pequeña:

Las flechas se repiten en un ciclo de longitud $4$ , así que las flechas que salen de un punto dependen solo de su residuo al dividir entre $4$ .

The arrows repeat in a cycle of length $4$ , so a point’s outgoing arrows depend only on its remainder when divided by $4$ .

Pista grande:

Como $425$ y $427$ dejan residuos $1$ y $3$ al dividir entre $4$ , las flechas coinciden con las que van del punto $1$ al punto $3$ .

Since $425$ and $427$ leave remainders $1$ and $3$ when divided by $4$ , the arrows match those going from point $1$ to point $3$ .

Solución:

El patrón se repite cada $4$ puntos, así que las flechas que salen de un punto dependen solo de su residuo al dividir entre $4.$

Como $425 = 4(106) + 1$ y $427 = 4(106) + 3,$ el camino de $425$ a $427$ es igual al camino del punto $1$ al punto $3$ : desde $1$ sube hasta $2,$ luego va a la derecha hasta $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The pattern repeats every $4$ points, so the arrows leaving a point depend only on its remainder upon division by $4.$

Because $425 = 4(106) + 1$ and $427 = 4(106) + 3,$ the path from $425$ to $427$ looks just like the path from point $1$ to point $3$ : from $1$ it goes up to $2,$ then right to $3.$

Thus, the correct answer is A .

16.

El perímetro de un cuadrado es $3$ veces el perímetro de otro cuadrado. ¿Cuántas veces es el área del cuadrado mayor respecto del área del cuadrado menor?

The perimeter of one square is $3$ times the perimeter of another square. The area of the larger square is how many times the area of the smaller square?

$2$

$3$

$4$

$6$

$9$

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Si un perímetro es $3$ veces el otro, la longitud del lado correspondiente también es $3$ veces la del otro cuadrado

If the perimeter is $3$ times as large, the side length is also $3$ times as large

Pista grande:

El área escala como el cuadrado de la razón de las longitudes de los lados

Area scales as the square of the ratio of side lengths

Solución:

El perímetro de un cuadrado es proporcional a su lado, así que el cuadrado mayor tiene una longitud de lado $3$ veces la del menor.

El área es el lado al cuadrado, así que el área mayor es $3^2 = 9$ veces la menor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A square’s perimeter is proportional to its side, so the larger square has side length $3$ times the smaller one.

Area is the side squared, so the larger area is $3^2 = 9$ times the smaller.

Thus, the correct answer is E .

17.

Pauline Bunyan puede palear nieve a razón de $20$ yardas cúbicas en la primera hora, $19$ yardas cúbicas en la segunda, $18$ en la tercera, etc., paleando siempre una yarda cúbica menos por hora que la hora anterior. Si su entrada para autos tiene $4$ yardas de ancho, $10$ yardas de largo, y está cubierta con nieve de $3$ yardas de profundidad, entonces el número de horas que le tomará dejarla limpia es lo más cercano a

Pauline Bunyan can shovel snow at the rate of $20$ cubic yards for the first hour, $19$ cubic yards for the second, $18$ for the third, etc., always shoveling one cubic yard less per hour than the previous hour. If her driveway is $4$ yards wide, $10$ yards long, and covered with snow $3$ yards deep, then the number of hours it will take her to shovel it clean is closest to

$4$

$5$

$6$

$7$

$12$

Conceptos:volumen sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Primero halla el volumen total de nieve: $4 \times 10 \times 3$

First find the total volume of snow: $4 \times 10 \times 3$

Pista grande:

Suma $20 + 19 + 18 + \cdots$ hora por hora hasta que el total acumulado alcance el volumen

Add $20 + 19 + 18 + \cdots$ hour by hour until the running total reaches the volume

Solución:

El volumen de nieve es $4 \times 10 \times 3 = 120$ yardas cúbicas.

Las cantidades paleadas suman $20 + 19 + 18 + 17$ $+ 16 + 15 + 14 = 119$ después de $7$ horas. Durante la octava hora palea a razón de $13$ yardas cúbicas por hora, así que la última yarda cúbica toma $\dfrac{1}{13}$ de hora. El tiempo exacto es $7\dfrac{1}{13}$ horas, que está más cerca de $7$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The volume of snow is $4 \times 10 \times 3 = 120$ cubic yards.

The amounts shoveled add up to $20 + 19 + 18 + 17$ $+ 16 + 15 + 14 = 119$ after $7$ hours. In the eighth hour her rate is $13$ cubic yards per hour, so the last cubic yard takes $\dfrac{1}{13}$ hour. The exact time is therefore $7\dfrac{1}{13}$ hours, which is closest to $7$ .

Thus, the correct answer is D .

18.

Mike sale de casa y conduce lentamente hacia el este a través del tráfico de la ciudad. Cuando llega a la autopista conduce hacia el este más rápidamente hasta que llega al centro comercial donde se detiene. Hace compras en el centro comercial durante una hora. Mike regresa a casa por la misma ruta por la que vino, conduciendo rápidamente hacia el oeste por la autopista y luego lentamente a través del tráfico de la ciudad. Cada gráfica muestra la distancia desde casa en el eje vertical frente al tiempo transcurrido desde que salió de casa en el eje horizontal. ¿Cuál gráfica es la mejor representación del viaje de Mike?

Mike leaves home and drives slowly east through city traffic. When he reaches the highway he drives east more rapidly until he reaches the shopping mall where he stops. He shops at the mall for an hour. Mike returns home by the same route as he came, driving west rapidly along the highway and then slowly through city traffic. Each graph shows the distance from home on the vertical axis versus the time elapsed since leaving home on the horizontal axis. Which graph is the best representation of Mike’s trip?

Conceptos:interpretación de datos y gráficas distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

La distancia desde casa aumenta durante la ida, permanece constante durante la hora de compras, y disminuye durante el regreso.

Distance from home increases on the way out, stays constant during the hour of shopping, and decreases on the way back.

Pista grande:

Conducir despacio por la ciudad es una pendiente suave (poco inclinada) y conducir rápido por la autopista es una pendiente pronunciada; la parada en el centro comercial es un segmento plano y horizontal.

Slow city driving is a gentle (shallow) slope and fast highway driving is a steep slope; the stop at the mall is a flat, horizontal segment.

Solución:

En la ida, Mike conduce despacio (pendiente suave) y luego rápido (pendiente pronunciada), así que la distancia sube despacio y luego más pronunciadamente. Durante la hora en el centro comercial la distancia permanece igual, un segmento plano.

En el regreso conduce rápido (pendiente pronunciada) y luego despacio (pendiente suave), así que la distancia baja rápidamente y luego más despacio. Solo encaja la gráfica con una subida lenta y luego rápida, una cima plana, y una bajada rápida y luego lenta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

On the way out Mike drives slowly (a shallow slope) then rapidly (a steep slope), so the distance rises slowly and then more steeply. During the hour at the mall the distance stays the same, a flat segment.

On the return he drives rapidly (steep) then slowly (shallow), so the distance falls steeply and then more gently. Only the graph with a slow-then-fast rise, a flat top, and a fast-then-slow fall fits.

Thus, the correct answer is B .

19.

Alrededor del exterior de un cuadrado de $4$ por $4$ , se construyen cuatro semicírculos con los cuatro lados del cuadrado como sus diámetros. Otro cuadrado, $ABCD,$ tiene sus lados paralelos a los lados correspondientes del cuadrado original, y cada lado de $ABCD$ es tangente a uno de los semicírculos. El área del cuadrado $ABCD$ es

Around the outside of a $4$ by $4$ square, construct four semicircles with the four sides of the square as their diameters. Another square, $ABCD,$ has its sides parallel to the corresponding sides of the original square, and each side of $ABCD$ is tangent to one of the semicircles. The area of the square $ABCD$ is

$16$

$32$

$36$

$48$

$64$

Conceptos:cuadrado (geometría)círculo

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Cada semicírculo tiene un lado del cuadrado de $4$ por $4$ como su diámetro, así que su radio es $2$

Each semicircle has a side of the $4$ by $4$ square as its diameter, so its radius is $2$

Pista grande:

Un lado de $ABCD$ es igual a la longitud del lado original más dos radios

A side of $ABCD$ equals the original side length plus two radii

Solución:

Cada semicírculo se construye sobre un lado de longitud $4,$ así que su radio es $2.$ Un semicírculo sobresale desde el medio de cada lado por ese radio.

Cada lado de $ABCD$ es el lado original más dos radios: $4 + 2(2) = 8.$ Así que el área de $ABCD$ es $8^2 = 64.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each semicircle is built on a side of length $4,$ so its radius is $2.$ A semicircle bulges out from the middle of each side by that radius.

Each side of $ABCD$ is the original side plus two radii: $4 + 2(2) = 8.$ So the area of $ABCD$ is $8^2 = 64.$

Thus, the correct answer is E .

20.

Sean $W,$ $X,$ $Y,$ y $Z$ cuatro dígitos diferentes seleccionados del conjunto

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$

Si la suma $\dfrac{W}{X} + \dfrac{Y}{Z}$ debe ser lo más pequeña posible, entonces $\dfrac{W}{X} + \dfrac{Y}{Z}$ debe ser igual a

Let $W,$ $X,$ $Y,$ and $Z$ be four different digits selected from the set

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$

If the sum $\dfrac{W}{X} + \dfrac{Y}{Z}$ is to be as small as possible, then $\dfrac{W}{X} + \dfrac{Y}{Z}$ must equal

$\dfrac{2}{17}$

$\dfrac{3}{17}$

$\dfrac{17}{72}$

$\dfrac{25}{72}$

$\dfrac{13}{36}$

Conceptos:fracción optimización

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Para hacer pequeña cada fracción, usa los dígitos más pequeños como numeradores y los más grandes como denominadores

To make each fraction small, use the smallest digits as numerators and the largest as denominators

Pista grande:

Compara $\dfrac18 + \dfrac29$ con $\dfrac19 + \dfrac28$ para ver cuál es menor

Compare $\dfrac18 + \dfrac29$ with $\dfrac19 + \dfrac28$ to see which is smaller

Solución:

Los numeradores pequeños y los denominadores grandes hacen fracciones pequeñas, así que usa $1$ y $2$ como numeradores y $8$ y $9$ como denominadores.

Emparejar el numerador mayor con el denominador mayor da $\dfrac18 + \dfrac29 = \dfrac{9 + 16}{72} = \dfrac{25}{72},$ que es menor que $\dfrac19 + \dfrac28 = \dfrac{26}{72}.$ Así que la suma mínima es $\dfrac{25}{72}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Small numerators and large denominators make small fractions, so use $1$ and $2$ as numerators and $8$ and $9$ as denominators.

Pairing the larger numerator with the larger denominator gives $\dfrac18 + \dfrac29 = \dfrac{9 + 16}{72} = \dfrac{25}{72},$ which is smaller than $\dfrac19 + \dfrac28 = \dfrac{26}{72}.$ So the minimum sum is $\dfrac{25}{72}.$

Thus, the correct answer is D .

21.

Una máquina de chicles contiene $9$ chicles rojos, $7$ blancos y $8$ azules. El menor número de chicles que una persona debe comprar para asegurarse de obtener cuatro chicles del mismo color es

A gumball machine contains $9$ red, $7$ white, and $8$ blue gumballs. The least number of gumballs a person must buy to be sure of getting four gumballs of the same color is

$8$

$9$

$10$

$12$

$18$

Conceptos:principio del palomar

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Considera el peor caso: ¿cuántos chicles puedes sacar con a lo sumo tres de cada color?

Consider the worst case: how many gumballs can you draw with at most three of each color?

Pista grande:

Cada color tiene al menos tres disponibles, así que podrías sacar tres de cada uno antes de que el siguiente garantice un cuarto del mismo color

Each color has at least three available, so you could draw three of each before the next one forces a fourth

Solución:

En el peor caso, una persona podría sacar $3$ rojos, $3$ blancos y $3$ azules, que son $9$ chicles, sin tener aún cuatro de ningún color.

El siguiente chicle (el décimo) debe coincidir con uno de estos colores, dando cuatro de ese color. Así que se necesitan $10$ chicles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In the worst case, a person could draw $3$ red, $3$ white, and $3$ blue, which is $9$ gumballs, without yet having four of any color.

The next (tenth) gumball must match one of these colors, giving four of that color. So $10$ gumballs are needed.

Thus, the correct answer is C .

22.

Los dos discos giratorios mostrados a la derecha se giran y se suman los dos números resultantes. La probabilidad de que la suma de los dos números sea par es

The two wheels shown at the right are spun and the two resulting numbers are added. The probability that the sum of the two numbers is even is

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{4}{9}$

Conceptos:probabilidad básica paridad

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

En el primer disco, el $3$ cubre la mitad y el $1$ y el $2$ cubren cada uno un cuarto; el segundo disco está dividido en tercios iguales

On the first wheel $3$ covers half and $1$ and $2$ each cover a quarter; the second wheel is divided into equal thirds

Pista grande:

La suma es par cuando ambos números son pares o ambos son impares

The sum is even when both numbers are even or both are odd

Solución:

En el primer disco, $P(1) = \dfrac14,$ $P(2) = \dfrac14,$ y $P(3) = \dfrac12.$ En el segundo disco, cada uno de $4,$ $5,$ $6$ tiene probabilidad $\dfrac13.$

La suma es par cuando ambos números son impares o ambos son pares. Ambos impares: el primero es $1$ o $3$ $\left(\dfrac34\right)$ y el segundo es $5$ $\left(\dfrac13\right),$ dando $\dfrac34 \cdot \dfrac13 = \dfrac14.$ Ambos pares: el primero es $2$ $\left(\dfrac14\right)$ y el segundo es $4$ o $6$ $\left(\dfrac23\right),$ dando $\dfrac14 \cdot \dfrac23 = \dfrac16.$

La probabilidad total es $\dfrac14 + \dfrac16 = \dfrac{5}{12}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

On the first wheel, $P(1) = \dfrac14,$ $P(2) = \dfrac14,$ and $P(3) = \dfrac12.$ On the second wheel, each of $4,$ $5,$ $6$ has probability $\dfrac13.$

The sum is even when both numbers are odd or both are even. Both odd: the first is $1$ or $3$ $\left(\dfrac34\right)$ and the second is $5$ $\left(\dfrac13\right),$ giving $\dfrac34 \cdot \dfrac13 = \dfrac14.$ Both even: the first is $2$ $\left(\dfrac14\right)$ and the second is $4$ or $6$ $\left(\dfrac23\right),$ giving $\dfrac14 \cdot \dfrac23 = \dfrac16.$

The total probability is $\dfrac14 + \dfrac16 = \dfrac{5}{12}.$

Thus, the correct answer is D .

23.

Si $X,$ $Y,$ y $Z$ son dígitos diferentes, entonces la mayor suma posible de $3$ dígitos para

$\begin{array}{cr} & XXX \\ & YX \\ + & X \\ \hline \end{array}$

tiene la forma

If $X,$ $Y,$ and $Z$ are different digits, then the largest possible $3$ -digit sum for

$\begin{array}{cr} & XXX \\ & YX \\ + & X \\ \hline \end{array}$

has the form

$XXY$

$XYZ$

$YYX$

$YYZ$

$ZZY$

Conceptos:criptoaritmética valor posicional

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Escribe la suma en columnas; si $X$ es demasiado grande, se produce un acarreo en las centenas y el resultado adquiere un cuarto dígito.

Write the addition in columns; if $X$ is too large the hundreds place carries and the answer gains a fourth digit.

Pista grande:

Toma el mayor $X$ que mantenga la suma en tres dígitos, luego elige $Y$ para hacer el total lo más grande posible y observa a qué letras corresponden los dígitos resultantes.

Take the largest $X$ that keeps the sum to three digits, then choose $Y$ to make the total as large as possible and see which letters the resulting digits match.

Solución:

El dígito de las centenas de la suma proviene de $X$ más cualquier acarreo, así que si $X = 9$ la suma se desbordaría a cuatro dígitos. El mayor valor permitido es $X = 8.$

Para hacer la suma lo más grande posible, toma $Y = 9:$ entonces $888 + 98 + 8 = 994.$ Sus dígitos son $9,$ $9,$ $4;$ como $9 = Y$ y $4$ es un nuevo dígito $Z,$ la suma tiene la forma $YYZ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The hundreds digit of the sum comes from $X$ plus any carry, so if $X = 9$ the sum would spill over into four digits. The largest allowed value is $X = 8.$

To make the sum as large as possible, take $Y = 9:$ then $888 + 98 + 8 = 994.$ Its digits are $9,$ $9,$ $4;$ since $9 = Y$ and $4$ is a new digit $Z,$ the sum has the form $YYZ.$

Thus, the correct answer is D .

24.

Un cuadrado de $2$ por $2$ se divide en cuatro cuadrados de $1$ por $1$ . Cada uno de los cuadrados pequeños se pintará de verde o de rojo. ¿De cuántas maneras diferentes puede realizarse la pintura de modo que ningún cuadrado verde comparta su lado superior o derecho con algún cuadrado rojo? Puede haber desde cero hasta cuatro cuadrados pequeños verdes.

A $2$ by $2$ square is divided into four $1$ by $1$ squares. Each of the small squares is to be painted either green or red. In how many different ways can the painting be accomplished so that no green square shares its top or right side with any red square? There may be as few as zero or as many as four small green squares.

$4$

$6$

$7$

$8$

$16$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Si un cuadrado es verde, entonces el cuadrado directamente encima de él y el cuadrado directamente a su derecha también deben ser verdes

If a square is green, then the square directly above it and the square directly to its right must also be green

Pista grande:

Esto obliga a que los cuadrados verdes se agrupen hacia la parte superior derecha; cuenta según cuántos cuadrados son verdes

This forces the green squares to cluster toward the top-right; count by how many squares are green

Solución:

La regla dice que un cuadrado verde no puede tener un cuadrado rojo en su lado superior o derecho, así que cualquier cuadrado verde obliga a que los cuadrados de arriba y a su derecha también sean verdes. Por lo tanto, los cuadrados verdes deben agruparse hacia la esquina superior derecha.

Las coloraciones válidas son: los cuatro rojos; solo el superior derecho verde; toda la fila superior verde; toda la columna derecha verde; todos verdes excepto el inferior izquierdo; y los cuatro verdes. Son $6$ coloraciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The rule says a green square cannot have a red square on its top or right side, so any green square forces the squares above and to its right to be green as well. The green squares must therefore cluster toward the top-right corner.

The valid colorings are: all four red; only the top-right green; the whole top row green; the whole right column green; all green except the bottom-left; and all four green. That is $6$ colorings.

Thus, the correct answer is B .

25.

Halla la suma de los dígitos en la respuesta a

$\underbrace{9999\cdots99}_{94} \times \underbrace{4444\cdots44}_{94}$

donde una cadena de $94$ nueves se multiplica por una cadena de $94$ cuatros.

Find the sum of the digits in the answer to

$\underbrace{9999\cdots99}_{94} \times \underbrace{4444\cdots44}_{94}$

where a string of $94$ nines is multiplied by a string of $94$ fours.

$846$

$855$

$945$

$954$

$1072$

Conceptos:dígitos reconocimiento de patrones casos pequeños

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Prueba primero casos pequeños: $9 \times 4,$ $99 \times 44,$ $999 \times 444$

Try small cases first: $9 \times 4,$ $99 \times 44,$ $999 \times 444$

Pista grande:

El producto es un bloque de $4$ , luego un $3,$ luego un bloque de $5$ , luego un $6$ ; cuenta cuántos hay de cada uno

The product is a block of $4$ s, then a $3,$ then a block of $5$ s, then a $6$ ; count how many of each

Solución:

Los casos pequeños muestran el patrón: $99 \times 44 = 4356$ y $999 \times 444 = 443556.$ En general, una cadena de $n$ nueves por una cadena de $n$ cuatros da $(n-1)$ cuatros, luego un $3,$ luego $(n-1)$ cincos, luego un $6.$

Para $n = 94,$ el producto tiene $93$ cuatros, un $3,$ $93$ cincos, y un $6.$ La suma de los dígitos es $93(4) + 3$ $+ 93(5) + 6$ $= 93(9) + 9$ $= 94(9)$ $= 846.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Small cases show the pattern: $99 \times 44 = 4356$ and $999 \times 444 = 443556.$ In general, a string of $n$ nines times a string of $n$ fours gives $(n-1)$ fours, then a $3,$ then $(n-1)$ fives, then a $6.$

For $n = 94,$ the product has $93$ fours, one $3,$ $93$ fives, and one $6.$ The digit sum is $93(4) + 3$ $+ 93(5) + 6$ $= 93(9) + 9$ $= 94(9)$ $= 846.$

Thus, the correct answer is A .