Question

Un grillo salta al azar entre $4$ hojas, en cada turno saltando a una de las otras $3$ hojas con igual probabilidad. Después de $4$ saltos, ¿cuál es la probabilidad de que el grillo haya regresado a la hoja donde empezó?

A cricket randomly hops between $4$ leaves, on each turn hopping to one of the other $3$ leaves with equal probability. After $4$ hops, what is the probability that the cricket has returned to the leaf where it started?

$\displaystyle \dfrac{2}{9}$

$\displaystyle \dfrac{19}{80}$

$\displaystyle \dfrac{20}{81}$

$\displaystyle \dfrac{1}{4}$

$\displaystyle \dfrac{7}{27}$

Solución:

Sea $p_n$ la probabilidad de que el grillo esté en su hoja inicial después de $n$ saltos. Tenemos $p_0=1$ .

Si el grillo está en la hoja inicial, el siguiente salto debe abandonarla. Si el grillo no está en la hoja inicial, exactamente uno de los $3$ saltos posibles regresa al inicio. Por lo tanto $p_{n+1}=\frac{1-p_n}{3}.$

Así $\begin{gathered} p_1=0,\quad p_2=\frac13,\quad p_3=\frac29,\quad \\ p_4=\frac{1-\frac29}{3}=\frac{7}{27}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $p_n$ be the probability that the cricket is on its starting leaf after $n$ hops. We have $p_0=1$ .

If the cricket is on the starting leaf, the next hop must leave it. If the cricket is not on the starting leaf, exactly one of the $3$ possible hops returns to the start. Therefore $p_{n+1}=\frac{1-p_n}{3}.$

Thus $\begin{gathered} p_1=0,\quad p_2=\frac13,\quad p_3=\frac29,\quad \\ p_4=\frac{1-\frac29}{3}=\frac{7}{27}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 8 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años