Question

En la figura, el área del cuadrado $WXYZ$ es $25 \text{ cm}^2.$ Los cuatro cuadrados más pequeños tienen lados de $1$ cm de largo, ya sea paralelos a los lados del cuadrado grande o coincidiendo con ellos. En $\triangle ABC,$ $AB = AC,$ y cuando $\triangle ABC$ se dobla sobre el lado $\overline{BC},$ el punto $A$ coincide con $O,$ el centro del cuadrado $WXYZ.$ ¿Cuál es el área de $\triangle ABC,$ en centímetros cuadrados?

In the figure, the area of square $WXYZ$ is $25 \text{ cm}^2.$ The four smaller squares have sides $1$ cm long, either parallel to or coinciding with the sides of the large square. In $\triangle ABC,$ $AB = AC,$ and when $\triangle ABC$ is folded over side $\overline{BC},$ point $A$ coincides with $O,$ the center of square $WXYZ.$ What is the area of $\triangle ABC,$ in square centimeters?

$\dfrac{15}{4}$

$\dfrac{21}{4}$

$\dfrac{27}{4}$

$\dfrac{21}{2}$

$\dfrac{27}{2}$

Solución:

Obtenemos que los lados de $WXYZ$ miden $5$ cm, ya que $\sqrt{25} = 5.$

También sabemos que la distancia de $\overline{WZ}$ a $\overline{BC}$ es $2$ , ya que es la suma de los lados de $2$ cuadrados unitarios.

Finalmente, la distancia de $A$ a $\overline{BC}$ es la misma que la distancia de $\overline{BC}$ a $O,$ que es $2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{9}{2} \text{ cm}$ .

Ahora podemos hallar $BC,$ que es $WZ - 2 = 5 - 2 = 3 \text{ cm}$

Por lo tanto, el área de $\triangle ABC$ es $\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{27}{4} \text{ cm}^2$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We get that the side lengths of $WXYZ$ are $5$ cm, since $\sqrt{25} = 5.$

We also know that the distance from $\overline{WZ}$ to $\overline{BC}$ is $2$ since it is the sum of the side lengths of $2$ unit squares.

Finally, the distance from $A$ to $\overline{BC}$ is the same as the distance from $\overline{BC}$ to $O,$ which is $2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{9}{2} \text{ cm}$

Now, we can find $BC,$ which is $WZ - 2 = 5 - 2 = 3 \text{ cm}$

Therefore, the area of $\triangle ABC$ is $\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{27}{4} \text{ cm}^2$

Thus, C is the correct answer.

2003 AMC 8 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años