Question

Los puntos $B,$ $D,$ y $J$ son puntos medios de los lados del triángulo rectángulo $ACG.$ Los puntos $K,$ $E,$ $I$ son puntos medios de los lados del triángulo $JDG,$ etc. Si el proceso de dividir y sombrear se realiza $100$ veces (se muestran los primeros tres) y $AC = CG = 6,$ entonces el área total de los triángulos sombreados es lo más cercano a

Points $B,$ $D,$ and $J$ are midpoints of the sides of right triangle $ACG.$ Points $K,$ $E,$ $I$ are midpoints of the sides of triangle $JDG,$ etc. If the dividing and shading process is done $100$ times (the first three are shown) and $AC = CG = 6,$ then the total area of the shaded triangles is nearest

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Solución:

El primer triángulo sombreado tiene catetos $3$ y $3$ , así que su área es $\dfrac12\cdot3\cdot3=\dfrac92$ .

En cada paso posterior, el triángulo correspondiente tiene la mitad de la longitud del cateto, así que el área sombreada se multiplica por $\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14$ .

Por lo tanto, el área sombreada total después de muchos pasos es muy cercana a la suma geométrica $\begin{gathered} \frac92\left(1+\frac14+\frac1{16}+\cdots\right) \\ {}= \frac92\cdot\frac1{1-1/4} \\ {}= 6. \end{gathered}$

Después de $100$ pasos la cola omitida es diminuta, así que el área total es lo más cercana a $6$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The first shaded triangle has legs $3$ and $3$ , so its area is $\dfrac12\cdot3\cdot3=\dfrac92$ .

At each later step, the relevant triangle has half the leg length, so the shaded area is multiplied by $\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14$ .

The total shaded area after many steps is therefore very close to the geometric sum $\begin{gathered} \frac92\left(1+\frac14+\frac1{16}+\cdots\right) \\ {}= \frac92\cdot\frac1{1-1/4} \\ {}= 6. \end{gathered}$

After $100$ steps the omitted tail is tiny, so the total area is nearest $6$ .

Thus, A is the correct answer.

1999 AMC 8 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años